1、 - 1 - 2016 2017年上学期第二次月考试卷 高二数学（文） 一选择题：（共 12题，每题 5分，总分分） 1某大学共有本科生 5000 人，其中一、二、三、四年级的人数比为 4： 3： 2： 1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A 20 B 40 C 60 D 80 2函数 f（ x） =ax3 x在（ ， + ）内是减函数，则实数 a的取值范围是（ ） A a0 B a 1 C a 2 D a 3已知 x、 y取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 从所得的散点图
2、分析可知： y与 x线性相关，且线性回归方程为 y=0.95x+a，则 a=（ ） A 1.30 B 1.45 C 1.65 D 1.80 4.下列有关命题的说法错误的是（ ） A若 “ ” 为假命题，则 均为假命题 B “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 C “ ” 的必要不充分条件是 “ ” D若命题 ，则命题 5.设 )(xf 是可导函数，且 3)2()(lim 000 ? ? x xxfxxfx，则 ? )( 0xf （ ） A 21 B. 2? C 1? D 0 6 过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线 l与抛物线交于 A、 B两点，若 A、 B两点的横坐标之和为 ，则 |AB|=
3、（ ） A B C 5 D 7.已知 .若在区域 中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域 中的概率为（ ） - 2 - A B C D 8 曲线 3 1yx?在点 ( 1,0)? 处的切线方程为 （ ） A 3 3 0xy? ? ? B 3 3 0xy? ? ? C 30xy? D 3 3 0xy? ? ? 9已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的 b值为 16，则循环体的判断框内 处应填（ ） A a 3？ B a3 ？ C a3 ？ D a 3？ 10 如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点， A， B 分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB AB 时，此类椭圆称为“黄金椭圆”类比“
4、黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 （ ） A. 512? B. 512?C. 312? D. 212? 11已知点 A（ 5， 0），抛物线 C： y2=4x的焦点为 F，点 P在抛物线 C上，若点 F恰好在 PA的垂直平分线上，则 PA 的长度为（ ） A 2 B C 3 D 4 12 已知函数 f（ x） =x3 3x 1， g（ x） =2x a，若对任意 x1 0， 2，存在 x2 0， 2使 |f（ x1） g（ x2） | 2，则实数 a的取值范围（ ） A 1， 5 B 2， 5 C 2， 2 D 5， 9 二填空题：（共 4题，每题 5分） - 3 - 13已知 x
5、0， ，使 sinx 的概率为 14函数 y=f（ x）的图象在点 M（ 1， f（ 1）处的切线方程是 y=3x 2， 则 f（ 1） +f （ 1） = 15.已知 A、 B为双曲线 E的左右顶点，点 M在 E上， ABM为等腰三角形，且顶角为 120 ，则 E的离心率为 _ 16 直线 y a与函数 f(x) x3 3x的图象有三个相异的公共点 ， 则 a的取值范围是 _ 三解答题：（共 6道题，合计 70分） 17（ 10分） 给定两个命题， P：对任意实数 x都有 ax2+ax+1 0恒成立； Q：关于 x的方程x2 x+a=0有实数根；如果 P与 Q中有且仅有一个为真命题，求实数
6、a的取值 范围 18（ 12分） 某校 100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 ： ： （ 1）求图中 a的值； （ 2）根据频率分布直方图，估计这 100名学生期中考试数学成绩的平均分； （ 3）现用分层 抽样的方法从 第 3、 4、 5组中随机抽取 6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取 2名，求其中恰有 1人的分数不低于 90 分的概率？ 19. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行 “ 一元钱，一片心，诚信用水 ” 活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱现统计了连续 5天的售出和收益情况，如表： 售出水量 x（单位：箱） 7 6 6 5
7、6 收益 y（单位：元） 165 142 148 125 150 （ ）求 y关于 x的线性回归方程； （ ）预测售出 8箱水的收益是多少元？ - 4 - 附：回归直线的最小二乘法估计公式分别为： = ， = ， 20 已知函数 f（ x） =x2 lnx （ 1）求曲线 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）求函数 f（ x）的单调递减区间： （ 3）设函数 g（ x） =f（ x） x2+ax， a 0，若 x （ O， e时， g（ x）的最小值是 3，求实数a 的值（ e为自然对数的底数 ） 21.已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上 . (1)求 的方程； (2)直
8、线 不经过原点 ，且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 中点为 ，证明：直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值 . 22已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y+ =0相切 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）若过点 M（ 2， 0）的直线与椭圆 C相交于两点 A， B，当 时，求直线斜率的取值范围 - 5 - 高二数学考试文科答案 一 选择题： 1B 2A 3B 4C 5C 6 D 7 A 8D 9C 10C 11A 12B 二 填空题： 13 14 4 15 16 (-2,2) 三解答题： 17 解：对任意实数 x 都有 a
9、x2+ax+1 0恒成立 ?0a 4； 关于 x的方程 x2 x+a=0有实数根 ； ? (4 分 ) 如果 P正确，且 Q不正确，有 ； 如果 Q正确，且 P不正确，有 ? (8分 ) 所以实数 a的取值范围为 ? ? .(10分 ) 18 解：（ 1）由题意得 10a+0.0110+0.0210+0.0310+0.03510=1 ，所以 a=0.005 ? .(3分 ) （ 2）由直方图分数在 50， 60的频率为 0.05， 60， 70的频率为 0.35， 70， 80的频率为0.30， 80， 90的频率为 0.20， 90， 100的频率为 0.10，所以这 100名学生期中考试数
10、学成绩的平均分的估计值为：550.05+650.35+750.30+850.20+950.10=74.5? （ 6分） （ 3）由直方图，得： 第 3组人数为 0.3100=30 。 第 4组人数为 0.2100=20 人， 第 5组人数为 0.1100=10 人 所以利用分层抽样在 60名学生中抽取 6名学生， 每组分别为： 第 3组： 人， - 6 - 第 4组： 人， 第 5组： =1人 所以第 3、 4、 5组分别抽取 3人、 2人、 1人 ? 设第 3组的 3位同学为 A1， A2， A3，第 4组的 2位同学为 B1， B2，第 5组的 1位同学为 C1，则从六位同学中抽两位同学有
11、 15种可能如下： （ A1， A2），（ A1， A3），（ B1， B2），（ A2， A3），（ A1， B1） ，（ A1， B2），（ A2， B1），（ A2，B2），（ A3， B1），（ A3， B2），（ A1， C1），（ A2， C1），（ A3， C1），（ B1， C1），（ B2， C1）， 其中恰有 1人的分数不低于 90（分）的情形有：（ A1， C1），（ A2， C1），（ A3， C1），（ B1，C1），（ B2， C1），共 5 种 ? 所以其中第 4组的 2位同学至少有一位同学入选的概率为 ? （ 12分） 19【解答】解：参考数据： 7 165+6
12、 142+6 148+5 125+6 150=4420 【考点】线性回归方程 【分析 】（ ）首先求出 x， y的平均数，得到样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可写出线性回归方程 （ ）当自变量取 8时，把 8代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字 【解答】解：（ ） 由所给数据计算得 = （ 7+6+6+5+6） =6， = =146， =72+62+62+52+62=182， = = =20， = =146 20 6=26， 所求回归直线方程为 =20x+26； （ ）将 x=8代入回归方程可预测售出 8箱水的收益为 - 7 - =20 8+26=186（
13、元） 20（ 1） f （ x） =x2 lnx f （ x） =2x f （ 1） =1 又 f （ 1） =1， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y 1=x 1即 x y=0 （ 2）因为函数 f（ x） =2x2 lnx的定义域为（ 0， + ）， 由 f （ x） =2x 0，得 0 x 所以函数 f（ x） =x2 lnx的单调递减区间是（ 0， ） （ 3） g （ x） =ax lnx， g （ x） = ，令 g （ x） =0，得 x= ， 当 e 时，即 0 a 时， g （ x） = 0 在（ 0， e上恒成立， 则 g（ x）在（ 0， e上
14、单调递减， g（ x） min=g（ e） =ae 1=3， a= （舍去）， 当 0 e时，即 a 时，列表如下： 由表知， g（ x） min=g（ ） =1+lna=3， a=e2，满足条件 综上，所求实数 a=e2，使得当 x （ 0， e时 g（ x）有最小值 3 21 证明：直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值 . 考点：圆锥曲线综合椭圆 答案：见解析 试题解析： ( )由题意有 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 - 8 - （ ）设直线 ， 把 代入 得 ， 故 ， 于是直线 的斜率 ，即 ， 所以直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值 . 22 （ 【解答】解：（ ）由题意可得 e
15、= = ， 以 x2+y2=b2的圆与直线 x y+ =0相切，可得 =b，即 b=1， 即为 a2 c2=1， 解得 a= ， b=1， 即有椭圆方程为 +y2=1； （ ）设过点 M（ 2， 0）的直线为 y=k（ x 2）， 代入椭圆方程 x2+2y2=2，可得 （ 1+2k2） x2 8k2x+8k2 2=0， 可得 =64k4 4（ 1+2k2）（ 8k2 2） 0， 即为 k ， 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 即有 x1+x2= ， x1x2= ， 由弦长公式可得 |AB|= ? = ? = ， 由题意可得 ， - 9 - 化简可得 56k4+38k2 13 0， 解得 k2 ，即有 k 或 k ， 综上可得直线的斜率的范围是（ ， ） （ ， ） I） 1a? 时， 1( ) ln 1f x x x? ? ? 所以/ 21() xfx x?12【分析】先将问题等价为， f（ x） max g（ x） max 2，且 f（ x） min g（ x） min 2，再分别对
