1、12.5 因式分解 第12章 整式的乘除 2. 公式法 学习目标 认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分解因 式（重点）（难点） 导入新课导入新课 复习引入 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？ 它们有什么关系？ 1. a(x+y)=ax+ay 2. ax+ay=a(x+y) 整式乘法 因式分解 它们是互为方向相反的变形 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.
2、定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： 两数和（差）的平方公式： 222 =2abaabb（） 22 =aba bab（）（ - ） 讲授新课讲授新课 运用平方差公式因式分解 一 想一想： 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式. ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )(
3、 ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ 符合平方差的形式的多项式才 能用平方差公式进行因式分解， 即能写成: ( )2-( )2的形式. （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 2 (1) 49;x 例1 分解因式： 22 (2 )3x(23)(23);xx 22 (2) ()(
4、) .xpxq a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x 3 3 ()()()()xpxqxpxq (2)原式 (2)().xpqpq 22 ()()xpxqa b 典例精析 例2 分解因式： 443 (1);(2).xya bab 2 2 22 (1) ()()y x 解： 原式 22 22 ()() yy xx 22 ()()();xyxy xy 2 (2)(1)ab a原式 (1)(1).ab aa 一提（公因式） 二套（公式） 三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 运用完全平方公式因式分解 二 完全平方公式: 22 2
5、baba 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a b）2 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便 实现了因式分解. 222 2()首首 尾尾首尾 a2 2 a b b2 . + . = (a b) 3、a +4ab+4b =( ) +2 ( ) ( )+( ) =( ) 2、m -6m+9=( ) - 2 ( ) ( )+( ) =( ) 1、x +4x+4= ( ) +2 ( ) ( )+( ) =( ) x 2 x + 2 a a
6、2b a + 2b 2b 对照公式a 2ab+b =(ab) 进行因式分解，你会吗？ m m - 3 222 )(2尾首尾尾首首 a2 2 a b b2 . + . （ a b ) = 3 x 2 m 3 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因 式，这种分解因式的方法叫做公式法. 下列各式是不是完全平方式？ （1）a24a+4; （2）1+4a ; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b 与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 22 2
7、尾尾首首 a2 2 a b b2 . + . 例3 分解因式： （1）16x2+24x+9； 分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2 4x 3, 9=3 , 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2 4x 3 + (3)2 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2 4x 3 + (3)2 = (4x + 3)2； (首)+2首尾+(尾) （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =- (x -2y)2. 例4 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy
8、+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）（）（a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2 (a+b) 6+62 =(a+b-6)2. 例5 把下列完全平方公式分解因式： 1002210099+99 解：原式=（10099) =1. 本题利用完全平方公式分 解因式的方法，大大减少 计算量，结果准确. 当堂练习当堂练习 1.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2 (2) (a+b)
9、2-(a-b)2 (3) 9xy3-36x3y (4) -a4+16 (4a+3b)(4a-3b) 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (4+a2)(2+a)(2-a) 2.把下列多项式因式分解. （1）x212x+36; （2）4a2-4a+1. 解：(1)原式 =x22 x 6+（6）2 =（x6）2; (2)(2)原式=（2a） 2 2a 1+（1） =（2a 1）2. (1)(1). yxyx 2 (20142013) 1. 3.多项式4a +ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ） A.6 B.12 C. 12 D. 12 D 22 (2014)220142013(2013) 解：原式 22 2014201440262013 . 4.计算： 5.分解因式： 22 21. yyx 22 (1)yx解：原式 课堂小结课堂小结 公式法因式 分解 公式 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再 分解为止. 完全平方公式a22ab+b2=(ab)2
