1、第21章 二次根式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 21.121.1 二次根式二次根式 学习目标 1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点) 3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点) 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 . a 用 (a0)表示. a 观察与思考 导入新课导入新课 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根
2、就是0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根. S 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为_. S 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 . b-3 2500 2 a3b s 表示一些正数的算术平方根 你认为下列各代数式有哪些共同特点？ 3b 讲授新课讲授新课 二次根式的定义及有意义的条件 一 a a 一般地，我们把形如 a (a0)的式子叫做二次根 式.“”称为二次根号，a 叫做被开方数. 二次根式的定义二次根式的定义 理解要点： 两个必备特征 外貌特征：含有“ ” 内在特征：被开方数a
3、0 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 知识归纳 请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！ 例 下列各式是二次根式吗? m 1 xy a. 2 23 3 (1) 32, (2) 6, (3) 12, (1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - (5) (4) - (5) ， (6) , (7) 5(6) , (7) 5 ( (m0), ), ( (x,y 异号异号) ) 解析： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属于 “非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy
4、0, （7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实 数范围内，负数没有平方根. 2 a 典例精析 2 2 2 4 2 0 2 3 1 4 3 1 2 0 2 22 2222 是 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 的非负数，因此有（） 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据 二次根式的性质1及应用 二 一般地，有 性质 1.( a )2=a (a0) 归纳 由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2, a, 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. a 计算 2 1 (1)() 2 2
5、2 (2)(5) 3 解： 2 11 (1)() 22 222 22420 (2)(5)( )( 5)5 3399 （2）用到了 （ab）2=a2b2这个 结论. 练一练 2 2 2 2 2 2 2 393 7 = 0 5 5 0 3= 9=3=3 7 = 0 5= 5 , . . 又如， 类似地，计算： 再计算： 7 5 0.5 0 7 5 0.5 二次根式的性质2及应用 三 一般地，有 性质性质 2： a -a (a0) (a0) 归纳 2 aa 2.从取值范围来看, 2 aa0 a取任何实数 1.从运算顺序来看, 2 a 2 a先开方,后平方 先平方,后开方 3.从运算结果来看: =a
6、a (a0) 2 a 2 a -a(a0) = =a 22 () ? aa与 有区别吗 2 a 知识要点 化简化简 (1) 16 2 (2) ( 5) 2 (3)( 7) 2 (4) 7 解：解： 2 (1) 1644 22 (2) ( 5)55 2 (3)( 7)7 2 1 (4) 7 7 练一练练一练 解：由x-10，得 x1 1. 当x取何值时, 二次根式有意义? 1x 当x1时， 在实数范围内有意义. 1x 试求当x=5时，二次根式 的值. 1x 当x=5时， 15 142.x 思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 2 x x为全体实数. 当堂练习当堂练习 2.（1）若 ,
7、 则a-b+c=_ ； 0)4(32 2 cba 112yxxxy(2)设+2015,试求的值. 解： （1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. （2）由题意知1-x0,且x-10,联立解得x=1.从而知y=2015, 所以x+2y=1+22015=4031. （1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值 一般地，我们把形如 a (a0)的式子叫做二次根 式.“”称为二次根号，a 叫做被开方数. 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 课堂小结课堂小结 二 次 根 式 定义 性质 a （a0） 0(0)aa （即 表示一个非负数） a 2 2 0 ; 0 =. -0 aa a a a aa a a （） （ ）
