1、复习和小结 第第2424章章 解直角三角形解直角三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 锐角三角 函数 特殊角的三 角函数 解直角三 角形 简单实际 问题 c a b A B C 知识构架知识构架 锐角三角 函数 sin a A c cos b A c b a Atan （两边之比） 特殊角的三 角函数 2 1 30sin 2 3 30cos 3 3 30tan 2 2 45sin 2 2 45cos 145tan 2 3 60sin 2 1 60cos 360tan 3 2 1 30 2 1 1 45 3 2 1 60 30 60 = 90 解直角 三角形 A B90 a2+b2=c
2、2 三角函数 关系式 计算器 由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角 AbBcAcatancossin A a BcAcb tan sincos B b A b B a A a c sincoscossin 简单实 际问题 数学模型 解直角三角形 梯形 组合图形 三角形 构建 作高转 化为直 角三角 形 1锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 如图如图所示：在所示：在 Rt ABC 中，中，C90 ，a，b，c 分别是分别是A， B，C 的对边的对边 回顾思考回顾思考 (2)A的余弦：的余弦：cosA ； (3)A的正切：的正切：tanA . (1)A 的正弦：的正弦：sinA A的对边的对边
3、 斜边斜边 a c； ； A的邻边的邻边 斜边斜边 b c A的对边的对边 A的邻边的邻边 a b 易错点 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前 提是在直角三角形中 230，45，60角的三角函数值 sin30 ，sin45 ，sin60 ； cos30 ，cos45 ，cos60 ； tan30 ，tan45 ，tan60 . 3解直角三角形的依据 (1)在RtABC中，C90，a，b，c分别是A， B,C的对边 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 3 1 3 三边关系： ； 三角关系： ； 边角关系：sinAcosB ，cosAsinB ， tanA ，tanB .
4、(2)直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是 边)，就可以求出其余的3个未知元素 a2b2c2 A90B a c b c sinA cosA sinB cosB 解法：一边一锐角，先由锐角关系求出另一锐角；知 斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一 直角边，再用正弦或勾股定理求斜边知两边：先用勾股 定理求另一边，再用边角关系求锐角斜三角形问题可通 过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题 1.如图，在ABC中，C90，点D在BC上，BD4，AD BC，cosADC= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值 5 3 分析：题中给出了两个
5、直角三角形，DC和sinB可分别在 RtACD和ABC中求得，由ADBC，图中CDBCBD，由 此可列方程求出CD A B C D 随堂练习随堂练习 解：（1）设CDx，在RtACD中，cosADC= , xAD AD x 3 5 , 5 3 , 3 5 ,xBCBCAD 又BCCDBD 4 3 5 xx 解得x=6 CD=6 A B C D 5 3 (2) BC=BD+CD=4+6=10=AD 在在RtACD中中 8610 2222 CDADAC 在在RtABC中中 41210064 22 BCACAB 41 414 412 8 sin AB AC B 2.如图如图所示，在所示，在 RtAB
6、C 中，中，C90 ，AC 3.点点 D 为为 BC 边边 上一点，且上一点，且 BD2AD，ADC60 .求求ABC 的周长的周长(结果保留结果保留 根号根号). 解析 要求ABC的周长，先通过解RtADC求出CD和 AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长 解：在 RtADC 中， sinADCAC AD， AD AC sinADC 3 sin602. BD2AD4. tanADCAC DC， DC AC tanADC 3 tan601. BCBDDC5. 在 RtABC 中，AB AC2BC22 7. ABC 的周长ABBCAC2 75 3. 3.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一
7、栋大楼， 某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔 顶B的仰角为39. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米) 解：解：(1)由题意得由题意得ACB45 ，A90 ， ABC 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ACAB610(米米) (2)DEAC610，在，在 RtBDE 中，中， tanBDEBE DE， ， BEDE tan39 . CDAE， CDABDE tan39 610610tan39 116(米米) 答：大楼的高度答：大楼的高度 CD 约为约为 116 米米 解析 (1)利用ABC是等腰直角三角形易得AC的长； (2)在Rt
8、BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出 BE的长，用AB的长减去BE的长度即可 tan Aa A Ab 的对边 的邻边 sin Aa A c 的对边 斜边 cos Ab A c 的邻边 斜边sin Bb B c 的对边 斜边 cos Ba B c 的邻边 斜边 tan Bb B Ba 的对边 的邻边 A B C b a c 课堂小结课堂小结 解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三 角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角 三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况 的答案 解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余 弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中对于较复杂的 图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、 公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起， 从而达到解题的目的
