1、 第一节第一节 圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质 (10年年12考，考则考，考则13题，题，318分分) 目 录 考点精讲考点精讲 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 教材改编题教材改编题 中考试题中的核心素养中考试题中的核心素养 【对接教材】北师：九下第三章北师：九下第三章P65P88. 考点精讲考点精讲 圆的基本 概念及性质 圆周角定理 圆的有关 概念及性质 圆周角定理推论 圆与多边形 垂径定理 及其推论 弧、弦、圆 心角的关系 概念 性质 定理 推论 定理 推论 三角形的外接圆 圆的内接四边形 正多边形和圆 概念（如 图） 圆心角：顶点在圆心，幵且两边都不圆相交的角，
2、如BOC,AOC 圆周角：顶点再圆上，幵且两边都不圆相交的角，如BAC 弦：连接圆上任意两点的线段，如AC，经过圆心的弦叫做_,如AB 圆弧：圆上任意两点间的部分，大于半圆的弧叫做_,如 ， 小于半圆的弧叫做_,如 圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是_ 图形，任何一 条直径所在的直线都是它的对称轴，_是它的对称中心 圆具有旋转丌变性：却围绕着它的圆心任意旋转一个角度都能不原 来的圆重合 性质 圆的 基本 概念 及性 质 AC ABC 直径 优弧 劣弧 中心对称 圆心 图 返回思维导图返回思维导图 垂径定理 及其推论 （如图） 1.平分弦（丌是直径）的直径垂直于弦，幵且平分弦所对的两条弧 2.弦
3、的垂直平分线经过圆心，幵且平分弦所对的两条弧 3.平分弦所对的一条弧的直径_于弦，幵且平分弦所对的另一条弧 4.圆的两条平行弦所夹的弧相等 定理：垂直于弦的直径_弦，幵且平分弦所对的两条弧 推论 【满分技法】根据圆的对称性 ，如图，在以下五个结论中：1. ； 2. =_；3.AE=BE；4.AB_；5.CD是直径，只要满足其中两个， 另外三个结论一定成立，即知二推三 平分 垂直 CD ACBC AD BD 图 返回思维导图返回思维导图 内容内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_ 情况情况 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角内部 圆心在圆周角外部 图形图形 结论结论 APB=_ 圆周角
4、 定理 一半 1 2 AOB 返回思维导图返回思维导图 推论推论1 推论推论2 内容内容 同弧或等弧所对的圆周角_ 半圆所对的圆周角是_;90 的圆周角所对的弦是直径 字母表字母表 达如图达如图 1. , 1=2 2. ,1=2=3 1.AB是直径，ADB=90 2.ADB=90，AB是直径 作用作用 证明圆周角相等 确定圆的直径 圆周角定 理推论 图 相等 90 BDBD BDDE 返回思维导图返回思维导图 弧、弦、 圆心角 的关系 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 _,所对的弦相等 2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的优弧和劣弧分别
5、相等 3.弧的度数等于它所对圆心角的度数 定理：_,所对的弦也相等 推论 【满分技法】在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相等，它们所对应的其余各组量也相等，简记为知一推二 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 相等 返回思维导图返回思维导图 三角形 的外接 圆（如 图) 1.概念：经过三角形的三个顶点形成的圆 2.圆心O的名称：外心：三角形三条边的_的交点 3.性质：三角形的外心到三角形_的距离相等 图 垂直平分线 三个顶点 圆不多边形 返回思维导图返回思维导图 圆的内 接四边 形(如 图) 1.圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_，即即BD180，ABCD 180 2
6、.圆内接四边形的任意一个圆内接四边形的任意一个_等于它的内对角等于它的内对角(和它相邻的内和它相邻的内 角的对角角的对角)，即即DCEA 定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接 四边形 性质 图 互补 外角 圆 不 多 边 形 返回思维导图返回思维导图 正多边 形和圆 (如图 ) 中心角中心角：正正n边形的每个中心角为边形的每个中心角为 图 内角：正内角：正n边形的每个内角为边形的每个内角为 (n-2).180 n =180- 360 n 360 n 外角：正外角：正n边形的每个外角为边形的每个外角为 360 n 边心距：边心距： 周长：正周长：正n边形的周长边形的周长
7、na(a为边长为边长 ) 面积：正面积：正n边形的面积边形的面积S rl (r为边心距为边心距，l为周长为周长) 1 2 圆内接正六边形的相关计算：周长圆内接正六边形的相关计算：周长6R，边心距边心距r R 3 2 面积面积 注：圆内接正六边形的边心距等于该正六边形内切圆的半径注：圆内接正六边形的边心距等于该正六边形内切圆的半径 l 圆 不 多 边 形 2 13 3 6 22 R rR 22 ( ) 2 a rR 返回思维导图返回思维导图 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 垂径定理垂径定理（仅2012年单独考查，其余均在圆的综合题中涉及） 命题点命题点 1 第1题图 1.(2
8、012成都成都14题题4分分)如图如图，AB是是 O的弦的弦，OCAB于于C. 若若AB2 ，OC1， 则半径则半径OB的长为的长为_. 2 3 垂径定理运用中的“两注意”： 1. 方法：两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的一端(即半径)， 这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解； 2方程思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为x， 利用勾股定理构造关于x的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的思 路 满分技法满分技法 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论（10年4次单独考查，其余均在圆的综合 题中涉及） 命题点命题
9、点 2 第2题图 2. (2013成都成都10题题3分分)如图如图，点点A，B，C在在 O上上，A50，则则BOC的度数的度数 为为( ) A. 40 B. 50 C. 80 D. 100 D B 3.(2011成都成都7题题3分分)如图如图，若若AB是是 O的直径的直径，CD是是 O的弦的弦，ABD58， 则则BCD( ) A. 116 B. 32 C. 26 D. 64 第3题图 圆周角定理及其推论运用中的圆周角定理及其推论运用中的“两注意两注意”： 1. 注意利用半径相等注意利用半径相等，构造等腰三角形；构造等腰三角形； 2. 有直径求角度时有直径求角度时，注意构造直角三角形注意构造直角
10、三角形 考查圆周角、圆心角的几个基本图形：考查圆周角、圆心角的几个基本图形： 满分技法满分技法 第4题图 4. (2010成都成都13题题4分分)如图如图，在在ABC中中，AB是是 O的直径的直径，B60，C 70，则则BOD的度数是的度数是_. 5. (2016成都成都B卷卷23题题4分分)如图如图， ABC内接于内接于 O，AHBC于点于点H，若若AC24， AH18， O的半径的半径OC13，则则AB_ 第5题图 100 39 2 拓展训练拓展训练 6. (2019锦江区一诊锦江区一诊)如图如图，正方形正方形ABCD内接于内接于 O，点点P在劣弧在劣弧 上上，则则BPC等等 于于( )
11、A. 30 B. 40 C. 45 D. 60 7. (2019金牛区一诊金牛区一诊)如图如图，在在ABC中中，ABAC，以以AC为直径的为直径的 O与边与边BC相交相交 于点于点E，过点过点E作作EFAB于点于点F，延长延长FE、AC相交于点相交于点D，若若CD4，AF6，则则 BF的长为的长为_ C 2 第6题图 第7题图 AD 圆基本性质的综合证明与计算圆基本性质的综合证明与计算（10年4次单独考查，1次 在几何图形综合题中涉及） 命题点命题点 3 第8题图 8. (2010成都成都B卷卷25题题4分分)如图如图， ABC内接于内接于 O，B90，AB BC，D是是 O上与点上与点B关于
12、圆心关于圆心O成中心对称的点成中心对称的点，P是是BC边上一边上一 点点，连接连接AD，DC，AP.已知已知AB8，CP2，Q是线段是线段AP上一动点上一动点， 连接连接BQ并延长交四边形并延长交四边形ABCD的一边于点的一边于点R，且满足且满足APBR，则则 的值为的值为_ 12 13 1或或 BQ QR 第9题图 9. (2010成都成都B卷卷27题题10分分)已知：如图已知：如图， ABC内接于内接于 O，AB为直径为直径，弦弦CEAB 于于F，C是是 的中点的中点，连接连接BD并延长交并延长交EC的延长线于点的延长线于点G，连接连接AD，分别交分别交CE， BC于点于点P，Q. (1)
13、求证：求证：P是是ACQ的外心；的外心； (2)若若tanABC ，CF8，求求CQ的长；的长； (3)求证：求证：(FPPQ)2FP FG. AD 3 4 (1)证明：证明：C是是 的中点，的中点， ，CADABC， AB是是 O的直径，的直径，ACB90，CADAQC90， 又又CEAB，ABCPCQ90， AQCPCQ，(1分) PCPQ. AD ACCD CEAB， . ， ACECAD. PAPC，(2分分) PAPCPQ，P为为AQ的中点，的中点， 又又ACQ为直角三角形，为直角三角形，P是是ACQ的外心；的外心； (3分分) AC CD AE AE (2)解：由解：由(1)知知A
14、CECADABC， tanACEtanABC ， 在在RtACF中，中，tanACE ， ， AF6， 由勾股定理得，由勾股定理得， AC 10， 又又在在RtACQ中，中， tanCADtanABC ， CQ AC 10 ；(6分分) 3 4 3 84 AF AF CF 3 4 CQ AC 15 2 3 4 3 4 22 AFCF (3)证明：证明：AB是是 O的直径，的直径， ADB90.DABABD90. 又又CFAB，ABGG90.DABG， RtAFPRtGFB， ，即，即AF BFFP FG，(7分分) AFFP FGBF 由由(1)可知可知ACEABC，CEAB，RtACFRtC
15、BF， ， FC2AF BF，(8分分) FC2FP FG. 由由(1)知知PCPQ，FPPQFPPCFC. (FPPQ)2FP FG.(10分分) AFFC FCBF 10. (2016成都成都20题题10分分)如图在如图在Rt ABC中中，ABC90，以以CB为半径作为半径作 C，交交 AC于点于点D，交交AC的延长线于点的延长线于点E，连接连接BD，ED，BE. (1)求证：求证：ABDAEB； (2)当当 时时，求求tanE; (3)在在(2)的条件下的条件下，作作BAC的平分线的平分线，与与BE交于点交于点F，若，若AF2，求求 C的半径的半径 第10题图 3 4 AB BC 【思维
16、教练】【思维教练】(1)要证明要证明ABDAEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再，已经有一组对应角是公共角，只需要再 找出另一组对应角相等即可；找出另一组对应角相等即可； (2)要求要求tanE，即要求，即要求 ，设，设AB4x，易知，易知BC3x，从而可得，从而可得AC的长，进而可的长，进而可 得得AD的长，利用的长，利用ABDAEB即可求解；即可求解； (3)设设AB4x，BC3x，由于已知，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方 程求出程求出x的值，即可知道半径的值，即可知道半径3x的值的值 BD BE (1)证明：证明：ABC90，
17、 ABDDBC90， CBCE，CBEE， DE是是 C的直径，的直径，DBE90， DBCCBEDBCABD90， ABDCBEE， 又又BADEAB， ABDAEB；(3分分) (2)解：令解：令AB4x，则，则BC3x，由勾股定理得，由勾股定理得，AC5x， CDBC3x， AD2x，AE8x， 由由(1)知，知，ABDAEB， ， ， DBE90， tanE ；(7分分) ABBDAD AEEBAB 21 42 BDx EBx 1 2 BD EB (3)解：如解图，过点解：如解图，过点A作作EB延长线的垂线，垂足为点延长线的垂线，垂足为点G， AF平分平分BAC， 12， 又又BCCE
18、， 3E. 在在BAE中，有中，有123E1809090， 2(2E)90， 42E45， GAF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， AF2， AG ， 2 第10题解图 由由(2)可知，可知，AE8x，tanE ， 设设BDa，则，则BE2a， DE a， sinE ， AG AE x， x ， 半径半径r3x .(10分分) 1 2 BD BE 5 5 BD DE 5 5 8 5 5 10 8 3 10 8 5 11. (2014成都成都B卷卷27题题10分分)如图如图，在在 O的内接的内接ABC中中，ACB90，AC 2BC，过过C作作AB的垂线的垂线l交交 O于另一点于另一点D，垂足
19、为垂足为E.设设P是是 上异于上异于A，C的一个的一个 动点动点，射线射线AP交交 于点于点F，连接连接PC与与PD，PD交交AB于点于点G. (1)求证：求证：PACPDF； (2)若若AB5， ，求求PD的长；的长； (3)在点在点P运动过程中运动过程中，设设 x，tanAFDy，求求y与与x之间的函数关系式之间的函数关系式(不不 要求写出要求写出x的取值范围的取值范围) AC APBP 第11题图 AG BG l (1)证明：证明：ACB90，AB是是 O的直径，的直径， ABCD， ，ABCAPD， ， ， 所对的圆周角分别为所对的圆周角分别为APD，ABC，CPD， APDABCCP
20、D180， APDAPDCPD180， APDCPA180.(2分分) AC AC AD ADCD 又又APDFPD180，FPDCPA， 又又 所对的圆周角所对的圆周角PDCPAC， PAC PDF；(3分分) PC (2)解：如解图解：如解图，连接，连接OP，在，在RtACB中，中，AC2BC2AB2，AC2BC， AB5， (2BC)2BC225， 即即5BC225， BC ，AC2 . AECACB90，EACCAB， ACEABC， ， ，即，即AE4，CE2. 第11题解图 ACAECE ABACBC 2 5 52 55 AECE 55 又又 为直径所对的弧，为直径所对的弧，AOP
21、POB90， 又又AOPO，AOP是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，PAB45， 又又AEF90，AEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， FEAE4，(5分分) APBPAPB 由垂径定理可知由垂径定理可知CEED2，FDFEED426， 在等腰在等腰RtAOP中中AP ， 又又PACPDF， ，即，即 ， DP ；(6分分) 55 2 4524522 2 2 AOAB sinsin 5 2 2 5 2 6DP 3 10 2 APAC DPDF 又又PABEAF， APBAEF，ABPAFE， ACGAFE，(8分分) MGAC，AMGACB90，MGBC (3)解：如解图解：如解图，连
22、接，连接CG，PB，过点，过点G作作AC的垂线，交的垂线，交AC于点于点M. AB为为 O的直径，且的直径，且AB垂直于垂直于CD，CGGD， ， GCEGDE，ACDABC， 又又GDEPBC，PBCGCE， ACGGCEACDABCPBCABP， ACGABP， AB是是 O的直径，的直径，APB90，APBAEF， 第11题解图 ACAD ，AMGACB， MC ， ， 又又AC2BC，得，得MG ， tanAFDtanACG ， y .(10分分) AGAM x GBMC AM x MGAM CBAC 1 2 AM 1 2 AM MG y AM MC x 2 x 【思维教练】要求【思维
23、教练】要求CPD，连接，连接OC、OD，可先求得，可先求得COD的度数，的度数， 再利用圆周角定理即可求解利用正再利用圆周角定理即可求解利用正n边形每一条边所对应的圆心角边形每一条边所对应的圆心角 为为 即可求得即可求得COD的度数的度数 正多边形与圆的有关计算正多边形与圆的有关计算（10年2考） 命题点命题点 4 12.(2019成都成都9题题3分分)如图如图，正五边形正五边形ABCDE内接于内接于 O，P为为 上的上的 一点一点(点点P不不与点与点D重合重合)，则则CPD的度数为的度数为( ) A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 第12题图 B DE 360 n 3 3 第13
24、题图 13. (2015成都成都10题题3分分 源自北师九下源自北师九下P97例题例题)如图如图，正六边形正六边形ABCDEF内接于内接于 O， 半径为半径为4，则这个正六边形的边心距则这个正六边形的边心距OM和和 的长分别为的长分别为( ) A. 2， B. 2 ， C. ， D. 2 ， D BC 4 3 2 3 3 3 第1题图 教材改编题教材改编题 1. (北师九下北师九下P72习题例题改编习题例题改编)如图如图，A，B，C是是 O上三点上三点，四边形四边形ACBO是菱形是菱形， 则则ACB的度数为的度数为_ 2. (北师九下北师九下P77习题习题3.3第第4题改编题改编)已知已知M是
25、是 O内一点内一点，过点过点M的最长弦为的最长弦为10 cm， 最短弦为最短弦为6 cm，则则OM的长为的长为_ 120 4 cm 第3题图 3. (北师九下北师九下P84习题习题3.5第第3题改编题改编)如图如图，圆内接四边形圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分两组对边的延长线分 别相交于点别相交于点E，F，EF100，则则A的度数为的度数为_ 40 4. (北师九下北师九下P77习题习题3.3第第3题改题改编编)如图如图，两个圆都以点两个圆都以点O为圆心为圆心，小圆的弦小圆的弦CD与与 大圆的弦大圆的弦AB在同一直线上在同一直线上，AB6 cm，CD4 cm，求圆环的面积求圆环的面积 第4题图 解：如解图，过点解：如解图，过点O作作OHAB于点于点H，连接，连接OA，OC， AB6 cm，CD4 cm， AHBH3 cm，CHHD2 cm. S圆环 圆环 OA2 OC2(OA2OC2) AH2OH2(CH2OH2) (AH2CH2)(3222)5 cm2. 第4题解图 点击链接至练习册点击链接至练习册 W
