1、 第 13 章 全等三角形 131 命题、定理与证明 131.1 命题 1了解命题的概念，理解命题的结构 2会识别命题的真假，会说明一个命题是假命题 重点 命题的结构，真命题与假命题的识别 难点 识别命题的真假 一、创设情境 情境：小亮和小刚正在津津有味地阅读我们爱科学 小亮：“哈！这个黑客终于被逮住了” 小刚：“是的，现在网络广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但” 坐在旁边的两个人一边听着他的谈话，一边也在悄悄地议论着， “这个黑客是个小偷 吗？” “可能是喜欢穿黑衣服的贼” 你听完这则片段故事，有何想法？ 同学们各抒己见后， 教师给予同学的各种回答评价后， 发表自己的看法： 在日常
2、生活中， 我们会遇到许多概念， 以致无法进行正常的交流 同样， 在数学学习中， 要进行严格的论证， 也必须首先对所涉及的概念下定义本节课我们就一起来学习命题 二、探究新知 1提出问题 我们已经学过一些图形的特性例如： (1)三角形的内角和等于 180； (2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； (3)两直线平行，同位角相等； (4)直角都相等 引导学生观察、分析它们的共性，得出命题的概念 即它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题 2练习 下列句子哪些是命题？ 动物都需要水； 猴子是动物的一种； 玫瑰花是动物； 美丽的天空； 负数都小于零； 你的作业做完了吗？ 所有的质数
3、都是奇数； 过直线外一点作 l 的平行线； 如果 ab，ac，那么 bc. 3观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流 (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； (2)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； (3)如果 a2b2，那么 ab. 总结：在数学中，许多命题是由条件和结论两部分组成的条件是已知事项，结论是由 已知事项推出的事项 这种命题常可写成“如果， 那么”的形式 其中， 用“如果” 开始的部分是条件， 用“那么”开始的部分是结论 例如， 在命题(1)中， “两个角是对顶角” 是条件， “这两个角相等”是结论 例 把命题“三个角都相等的
4、三角形是等边三角形”改写成“如果， 那么”的 形式，并分别指出命题的条件与结论 解：这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有三个角相等，那么这个三角形是等边 三角形 ”这里的条件是“在一个三角形中有三个角相等”， 结论是“这个三角形是等边三 角形” 4真、假命题 思考：试判断下列句子是否正确 (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； (2)三角形的内角和是 180； (3)同位角相等； (4)同角的余角相等； (5)一个锐角与一个钝角的和等于 180. 根据已有的知识可以判断出句子(1)、(2)、(4)是正确的，句子(3)、(5)是错误的从而引 导学生概括出真、假命题的定义 即条件成立，结
5、论一定成立的命题，称为真命题 条件成立，不能保证结论总是成立的命题，称为假命题 三、练习巩固 1指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题请举一个反例说明 (1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)两个无理数之和仍是无理数 2命题“一个角的补角一定大于这个角”的条件是_，结论是 _，它是一个_，反例为_ 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？你有什么收获？有何困惑？与同伴交流， 在学生交流发言的基础 上，教师归纳总结 作业 教材第 58 页习题 13.1 第 1，2，3 题 本节内容较少，比较简单，但命题的概念比较抽象，应从形式到内容帮助学生分析命 题的条件与结论
6、是辨别命题真假的关键，又是后面学习逆命题的基础，应掌握针对学习情 况对理解不深刻的同学给予单独的辅导 131.2 定理与证明 1理解已学的 5 个基本事实，理解定理的概念 2理解证明的概念，体会证明的必要性 重点 证明的过程与步骤 难点 证明的必要性 一、回顾 1什么是命题？命题的结构是什么？ 2命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 3今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法 二、探究新知 (一)基本事实 教师讲解，并板书： (1)两点确定一条直线； (2)两点之间，线段最短； (3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5)两条直线
7、被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 上述五个命题是被公认的真命题， 我们将它们当作基本事实， 是我们用来判断其他命题 真假的原始依据，即出发点 (二)定理与证明 教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的 从而说明证明的重 要性 1教师讲解：请大家看下面的例子： 当 n1 时，(n25n5)21； 当 n2 时，(n25n5)21； 当 n3 时，(n25n5)21. 我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数(n25n5)2的值都是 1 呢？实际上 我们的猜测是错误的，因为当 n5 时，(n25n5)225. 2教师再提出一个问题让学生回答：如果 ab，那
8、么 a2b2.由此我们猜想：当 ab 时，a2b2.这个命题是真命题 答案：上面的说法不正确，举一个反例来看，因为 35，但 32(5)2. 教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多 几何图形的性质但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性也就 是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题 教师讲解： 数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的， 并且 可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 (三)定理的证明 直角三角形两锐角互余 教师引导：将文字语言转化为几何语言，注意推理步步有据，并在后面的
9、括号里写上每 步的依据 教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性， 而且可以作为进一步确认其他命题 真假的依据 三、练习巩固 1请你说出学过的知识中，哪些是公理，哪组说得又多又准就是获胜者 如： (1)两点确定一条直线； (2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 2试证明：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角的角平分线互相垂直 3如图，ADBC，AC.求证：ABCD. 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结
10、作业 教材第 58 页练习第 1，2 题 本节课从同学们已学的五个性质入手， 讲解了基本事实的概念作用与地位； 从发现命题 的结论不具有一般性让学生理解证明的必要性； 从直角三角形两锐角互余的证明让学生感知 证明的步骤与要求 本节课有很多理性认识，学生不可能一蹴而就，而是在学习中及时完善与提升对证明 的条理问题应提出更高的要求，以培养学生更严谨的逻辑思维能力 13.2 三角形全等的判定 132.1 全等三角形 132.2 全等三角形的判定条件 1理解全等三角形、对应边、对应角的概念 2理解全等三角形的性质 3初步感知全等三角形的三种变换方式 重点 1全等三角形的对应边，对应角 2全等三角形的性
11、质 难点 全等三角形的变换方式 一、创设情境 1先在一张纸板上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？ 2 重新在一张纸板上画出任意一个三角形， 再用剪刀剪下， 思考得到的图形有何特点？ 二、探究新知 学生活动：动手操作、用脑思考、与同伴讨论、得出结论 教师活动：指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形 学生在操作过程中， 教师要让学生事先在纸板上画出三角形， 然后固定重叠的两张纸板， 注意整个过程要细心 互动交流：剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合这样 的两个图形叫做全等形，用“”表示 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 教师活动： 在
12、纸板上任意剪下一个三角形， 要求各小组选派学生拿一个三角形做如下运 动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形是否全等 学生活动：要求学生实践感知、得出结论：两个三角形全等 教师活动：要求学生将剪下的两个三角形顶点标上字母，看重合的边角有何关系？ 学生活动：将两个三角形按要求标上字母，并注意放置，与同桌交流何时可重合 教学说明：根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范 1概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做 对应边，重合的角叫做对应角 2证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果图 1 中 ABC 和DBC全等，点 A 和点 D，
13、点 B 和点 B，点 C 和点 C是对应顶点，记作 ABCDBC. 3全等三角形的对应边相等，对应角相等 4一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以 平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略 三、练习巩固 1如图，ACEDBF，点 A，B，C，D 在同一条直线上，且 AEDF，CEBF， AD8，BC2.(1)求 AC 的长；(2)求证：CEBF. 2如图，ABCDEF，ABDE，AD，找出图中的所有相等的线段与角 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结
14、作业 完成本课时后面对应的练习 本节课通过动手剪出两个完全相同的三角形，通过比较、运动，如平移、翻折、旋转来 学习全等三角形、对应角、对应边的概念，进而归纳出全等三角形的性质教师应结合刚开 始学习的学生不注意将对应的顶点写在对应的位置的特点并不断强化，因此如何找对应边、 对应角是本节的难点， 教师应结合例题习题归纳： 有公共边(角)的， 公共边(角)为对应边(角)； 有相等边(角)的，相等的边(角)为对应边(角)；有对顶角的，对顶角是对应角，对应边对的是 对应角，对应角对的是对应边 132.3 边角边 掌握全等三角形的判定(S.A.S.)，会进行全等的简单推理 重点 会用 S.A.S.证明两个
15、三角形全等 难点 应用综合法的格式证明三角形全等 一、动手操作 教师活动：按教材第 63 页要求同排两个同学各画一个三角形，再放在一起判断它们是 否全等 二、探究新知 要画一个三角形与教师在黑板上画的三角形 ABC 全等，需要几个与边或角的大小有关 的条件呢？ 1画一画 (1)只给一个条件：一条边 BC6 cm，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？ 一个角B30，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？ (2)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？这两个三角形一定会全等吗？分别 按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否 全等 三角形的一个内角
16、为 60，一条边为 3 cm； 三角形的两个内角分别为 30和 70； 三角形的两条边分别为 3 cm 和 5 cm. 你们在画图和同学比较过程中，能得出什么结论？ 学生各抒己见后，教师归纳：你们一定会发现，如果只知道两个三角形有一个或两个对 应相等的部分(边或角)，那么这两个三角形不一定全等 2议一议 如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？ 教师讲解： 如果两个三角形有 3 组对应相等的元素， 那么含有以下四种情况： 两边一角、 两角一边、三角、三边 我们将对这四种情况分别进行讨论 如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？如图所 示，此时应该有两种
17、情况，一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一种情况是角 不夹在两边的中间，形成两边一对角 (1)已知两边一夹角作三角形唯一性的体验 教师提出问题，我们按下面的条件画一个三角形如图，已知两条线段和一个角，以这 两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？ 换两条线段和一个角试试，看看是否有同样的结论 教师边讲边按下述步骤作图，要求学生模仿： 第 1 步：画一条线段 AB，使它等于 3 cm； 第 2 步：画MAB45； 第 3 步：在射线 AM 上截取 AC2.5 cm； 第 4 步：连结 BC. ABC 即为所
18、求 通过学生亲自实践，初步体会已知三角形两边一夹角作三角形的确定性，为证明 S.A.S. 提供实践体验 (2)S.A.S.的证明 教师给出证明 S.A.S.定理的条件：如图，在ABC 和ABC中，已知 ABAB，B B，BCBC，我们要证明这两个三角形是全等的 由于 ABAB，我们移动其中的ABC，使点 A 与点 A、点 B 与点 B重合因为B B，因此可以使B 与B的另一边 BC 与 BC重叠在一起，而 BCBC，因此点 C 与点 C重合，这就说明这两个三角形全等由此可得判定三角形全等的一种简便方法： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为 S.A.S.(或边角边) (3)已知两边一对
19、角问题探究 教师提出问题：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段 为已知角的对边画一个三角形 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较， 那么所有的三角形都全等吗？此时符 合条件的三角形的形状能有多少种呢？ 上图中，B45，AB3 cm，ACAC2.5 cm，可以看出我们可以作出两个不 全等的三角形， 可见已知两个三角形的两边和其中一边的对角分别对应相等， 三角形不一定 全等 三、练习巩固 1如图，ABAC，ADAE，12.求证：ABDACE. 2如图，ABCD，ABCD.求证：ADBC. 四、小结与作业 小结 1两边一夹角分别对应相等，两个三角形全等 2两边和其中一
20、边的对角分别对应相等，两个三角形不一定全等 作业 教材第 76 页习题 13.2 第 2 题 这节课学习全等三角形的判定方法，通过学生画一画、比一比，得出基本事实 S.A.S.， 再利用 S.A.S.证明两个三角形全等教师应着重强调角应为夹角，防止学生任意找两边及一 角证明两个三角形全等学生刚学严格证明，应注意强化，条理要清晰，说理有据，因果关 系分明 13.2.4 角边角 理解和掌握全等三角形的判定方法 A.S.A.和 A.A.S. 重点 用 A.S.A.和 A.A.S.证明两个三角形全等 难点 用综合法解决几何难题 一、创设情境 小菁做了一个如图 1 所示的风筝，其中EDHFDH，EDFD
21、，将上述条件注在图 中，小明不用测量就能知道 EHFH 吗？与同伴交流 二、探究新知 1引入：请问到本节为止，我们探讨两个三角形满足三个条件的哪几种情况三角形全 等，情况如何呢？ (如果两个三角形有两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形就一定全等如 果两个三角形的两边及其一边所对的角对应相等，那么这两个三角形不一定全等) 还有哪些情况还没有探讨呢？ (如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？) 本节我们探讨两个三角形的两个角及一条边分别对应相等， 这两个三角形是否全等的课 题 2问题 如果已知一个三角形的两角及一条边，那么有几种可能的情况呢？ (一种情况是两个
22、角及两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边) 每一种情况下得到的三角形都全等吗？ 3请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组 (1)共同商定画出任意一条线段 AB，与两个角A，B(AB180)； (2)两位同学各自在硬纸板上画线段 AB的长等于商定线段 AB 的长，在 AB的同旁， 画BAC等于商定的A，画ABC等于商定的B，设 AC与 BC相交于点 C，便得到 ABC； (3)用剪刀各自剪出ABC， 将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其 他各桌的同学是否也有同样的结论呢？ 同学们各抒己见后，总结：已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都 是全等的 由此得到
23、另一种识别全等三角形的简便方法： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等简记为 A.S.A.(或角边角) 4思考：如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这 两个三角形是否一定全等？ 动手画一画：比如A45，C60，AB3 cm，你能画这个三角形吗？ 提示： 这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为实验中的条 件吗？ 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 现在两组同学按 45角所对的边为 3 cm 画， 另两组同学换两个角和一条线段， 试试看， 你们得出什么结论？ 同学们各抒己见后，总结：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等简记为 A.
24、A.S.或(角角边) 三、练习巩固 1如图，ABCDCB，ACBDBC.求证：ABCDCB，ABDC. 2如图，在ABC 中，D 是边 BC 的中点，过点 C 画直线 CE，使 CEAB，交 AD 的延长线于点 E.求证：ADED. 3如图，在ABC 和DBC 中，ACBDBC90，E 是 BC 的中点，EFAB 于点 F，且 ABDE. (1)求证：BDBC； (2)若 BD8 cm，求 AC 的长 四、小结与作业 小结 两角一夹边对分别应相等，两个三角形全等；两角一对边分别对应相等，两个三角形全 等 作业 教材第 76 页习题 13.2 第 4，5 题 本节课从复习 S.A.S.入手，导入
25、新课，让学生动手操作得出基本事实“A.S.A.” ，进而由三 角形的内角和得出“A.A.S.” ，整个教学过程以学生为主体，教师是引线人，注重学生获得知 识的过程 在运用“A.S.A.”或“A.A.S.”时，注重引导学生分析已有条件，寻找需要转化的条件，提 升了学生逆向思维能力与分析问题能力， 本节课内容较多， 注意对学习困难的学生给予适当 的辅导 132.5 边边边 掌握 S.S.S.判定两个三角形全等，会用 S.A.S.， AS.A.，A.A.S.，S.S.S.判定三角形全等 重点 会用 S.S.S.判定两个三角形全等 难点 证明全等时，判定方法的选择 一、创设情境 教师出示道具 提出问题
26、：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图 1 所示的残片，你对图中的残片作哪 些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃、与同伴交流 教师引导学生观察，思考，回答教师的问题方法如下：可以将图 1 的玻璃碎片放在一 块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形如图 2，剪下模板就可以去割 玻璃了 其中的教学道理，让我们一起来探究！ 二、探究新知 1问题 1 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形会全等吗？ 做一做：给你三条线段 a，b，c，分别为 4 cm、3 cm、4.8 cm，你能画出这个三角形吗？ 先请几位同学说说画图思路后，教师指导，同学们动手画，教师演示并叙述画图步骤 步骤：
27、 (1)画一条线段 AB 使它的长度等于 c(4.8 cm)； (2)以点 A 为圆心，以线段 b(3 cm)的长为半径画圆弧；以点 B 为圆心，以线段 a(4 cm) 的长为半径画圆弧；两弧交于点 C； (3)连结 AC，BC. ABC 即为所求 把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会发现什么？ 换三条线段，再试试看，是否有同样的结论？ 请你结合画图、对比，说说你发现了什么？ 同学们各抒己见，教师总结：给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角 形都是全等的 这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法：三边分别相等的两个三角形全 等简记为 S.S.S.或(边边边) 2问题
28、 2 你能用三角形全等的识别法“S.S.S.”解释三角形具有稳定性吗？ (只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了) 3试一试：已知一个三角形的三个内角分别为 40，60，80，你能画出这个三角 形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，你发现了什么？ (所画出的三角形都是相似的，但大小不一定相同) 三个对应角相等的两个三角形不一定全等 4让学生阅读教材第 72 页“读一读”和“概括”，并填写所给表格，总结出证明三角 形全等的规律 教师强调所总结的规律，并给予学生适当时间思考记忆 三、练习巩固 1如图，在ABC 中，ABAC，AD 是中线求证：BC. 2如图，在ABC 与D
29、CB 中，ABDC，ACBD，AC 与 BD 交于点 M.求证：BM CM. 3如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC.求证：ADBC. 四、小结与作业 小结 本节课探讨出可用 S.S.S.来识别两个三角形全等，并能灵活运用 S.S.S.来识别三角形全 等三个角对应相等的两个三角形不一定会全等学会如何依据题中所给条件，寻求证明方 法等 作业 教材第 76 页习题 13.2 第 1 题 这节课探索 S.S.S.时，学生通过全过程的画图、观察、比较、交流，逐步得出基本事实 S.S.S.在这个过程中不仅得到了全等三角形全等的判定方法，同时增加了学生的数学体验， 在探索过程中体验了数学的乐趣
30、 基于课程标准，让不同的学生得到不同的发展，典例精析中两次用到全等三角形，可能 有少数学生还不是很适应，教师应引导他们如何逆向分析，寻找证明条件，提升解题能力 132.6 斜边直角边 1会用“H.L.”判定两个直角三角形全等 2会综合应用各种方法判定两个直角三角形全等 重点 用“H.L.”判定两个直角三角形全等 难点 用综合法证明两个直角三角形全等 一、创设情境 问题： 舞台背景的形状是两个直角三角形， 工作人员想知道这两个直角三角形是否全等， 但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量 (1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 问题(1)学生可以回答去量斜
31、边和一锐角，或直角边和一个锐角；但对于问题(2)，学生 则难肯定 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边， 发现它们分别对应相等， 于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？ 二、探究新知 我们已经知道， 对于两个三角形， 如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边 边边”分别对应相等，那么这两个三角形一定全等；如果有“角角角”分别对应相等，那么 不能判定这两个三角形全等， 这两个三角形可以有不同的大小； 如果有“边边角”分别对应 相等，也不能保证这两个三角形全等 那么在两个直角三角形中， 当斜边和一条直角边分别对应相等时， 也具有“边边角”对 应相等的条件，这时
32、这两个直角三角形能否全等吗？ 如图，已知两条线段(这两条线段长不相等)，以长的线段为斜边、短的线段为一条直角 边，画一个直角三角形 把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等 吗？ 换两条线段，试试看，是否有同样的结论？ 步骤： 1画一线段 AB，使它等于 2 cm； 2画MAB90； 3以点 B 为圆心，以 3 cm 长为半径画圆弧，交射线 AM 于点 C； 4连结 BC. ABC 即为所求 如图，在 RtABC 和 RtABC中，已知ACBACB90，ABAB， ACAC. 由于直角边 ACAC，我们移动其中的 RtABC，使点 A 与点 A，点 C 与点
33、C重合， 且使点 B 与点 B分别位于线段 AC的两侧因为ACBACBACB90，故 BCBACBACB180，因此点 B，C，B在同一条直线上由翻折可得 BB.由“角角边”便可知这两个三角形全等于是可得： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简记为 H.L.(或斜边直角边) 三、练习巩固 1如图，ACAD，BCBD，OECD，ACBD.求证：DECE. 2如图，ACBC，ADBD，CEAB 于点 E，DFAB 于点 F，ACBD.求证：CE DF. 四、小结与作业 小结 这节课， 你学习了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流的基础上， 教师进行归纳 总结 作业 教材第 76 页习题
34、 13.2 第 6 题 本节课是在前面已经学习过的一般三角形的五种判定方法的基础上， 研究直角三角形独 有的判定方法“H.L.” ，整节课按“操作发现归纳运用”程序展开教学中应将五种一 般方法与“H.L.”综合运用，提高学生综合运用知识的能力，有时证明题中会涉及两次用全 等的方法证明线段(或角)相等，要及时帮助同学们归纳总结，提升思维能力 133 等腰三角形 133.1 等腰三角形的性质 1使学生掌握等腰三角形的性质(等边对等角和三线合一) 2使学生掌握等边三角形的性质 重点 等腰三角形的性质 难点 等腰三角形性质的探索 一、创设情境 1 复习提问： 向学生们出示几张精美的建筑物图片； 问题：
35、 轴对称图形的概念是什么？ 这些图片中有轴对称图形吗？ 2引入新课：再次通过精美的建筑物图片，找出里面的等腰三角形 二、探究新知 1给出相关概念 教师任选一名学生所作的等腰三角形进行投影， 指出有关概念： 等腰三角形、 腰、 底边、 顶角、底角 换另一位学生所作的等腰三角形讲解有关概念 2操作 学生动手完成教材第 78 页“做一做” 教师巡回指导，然后在投影仪上演示 结论：(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)对折后的两部分完全重合 BC；D 是 BC 中点，BDCD，AD 是ABC 的中线；ADBADC， AD 是底边 BC 上的高；BADCAD，AD 是ABC 中BAC 的平分线 3 引导学
36、生用“推理”的方法， 对“等腰三角形的两底角相等”的结论给出证明过程 4归纳 对上面结论可以用一句话概括：等边对等角，则对可以怎样概括呢？注意 AD 的特殊性 教师活动：引导归纳并板书 等腰三角形的底边上的高、中线及顶角平分线互相重合(简称“三线合一”) 5探索 三条边都相等的三角形是等边三角形，这种三角形的每个角的度数是多少呢？ 每位同学画一个等边三角形，并用量角器量每一个内角的度数 结论：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60. 三、练习巩固 1在ABC 中，ABAC，B80，求C 和A 的大小 2如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的中点，B30.(1)求ADC
37、的大 小；(2)求1 的大小 3如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BA 延长线上的一点，E 在 AC 上，且 AD AE.求证：DEBC. 四、小结与作业 小结 1等边对等角 2三线合一 3等边三角形是特殊的等腰三角形，各个内角都相等，都等于 60. 作业 教材第 81 页练习第 1，2，3 题 本节课知识结构的安排以“问题情境获取新知应用与拓展”的模式展开， 符合 八年级学生的认知规律，本节课力求体现“学会学习，为终身学习做准备”的理念，努力实 现学生的主体地位， 使数学教学成为一种过程教学， 让学生在活动中获得知识， 形成能力 整 堂课以问题为思维主线，引导学生观察、探索、归纳、论证，
38、充分体现探索的快乐与成功的 乐趣 133.2 等腰三角形的判定 1等腰三角形的判定 2等边三角形的判定 3等腰三角形的性质与判定的综合运用 重点 等腰三角形(含等边三角形)的判定 难点 等腰三角形的性质与判定的综合运用 一、创设情境 我们学过等腰三角形两底角相等， 反过来， 有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？同 学们画一画、量一量，你有什么结论？请表达 二、探究新知 1 等腰三角形具有特殊的性质， 在应用上极为广泛， 那么怎样判断一个等腰三角形呢？ 2我们看另一种方法 操作： (1)在准备的半透明纸上画一条线段 BC； (2)分别以 B，C 为顶点，BC 为边，在 BC 的同一侧用量角器作出
39、两个相等的角，两角 的另一边交于点 A； (3)用刻度尺找出 BC 的中点 D，连结 AD； (4)沿 AD 对折 教师示范 问题：(1)AB 与 AC 重合吗？ (2)从以上操作过程及结果中，你能得到一个什么结论？ 3归纳 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等 边”) 引导学生用推理的方法对结论的正确性进行证明 4小结 现在判断一个三角形是等腰三角形的办法有几种？ 5运用(学习教材例 3) 例 在ABC 中，已知A40，B70.求证：ABAC. 教师巡回指导 证明：C180AB 1804070 70， CB. ABAC. 6思考 三个角都是 60的三角形是
40、等边三角形吗？你能说明理由吗？ 教师指导 7给出等腰直角三角形的定义 顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形 问题：请计算等腰直角三角形每个内角的大小 8引申 如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，CDAB 于点 D，则图中共有多少个 等腰直角三角形？ 9学习课本第 83 页例 4、例 5. 学习时，可先让学生思考、交流，寻找思路，然后师生共同写出解答过程 三、练习巩固 1如图，OBOC，ABOACO.求证：ABAC. 2如图，在ABC 中，AD 平分FAC，ADBC，AE 是中线求证：AEAD. 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流， 教师在学生发言
41、的基础上 归纳总结 作业 教材第 84 页练习第 1，2，3 题 本节课通过学生操作、观察、发现、论证得出等腰三角形的判定方法，进而利用等腰三 角形的判定方法研究得出等边三角形的判定方法，知识上层层推进，方法上相互映衬，符合 学生的认知规律，提高了课堂效率 本节课中等腰三角形的基本图形是学生解题的关键， 教师积极引导学生归纳， 不断升华 学生的认知层次，提升解题能力，让学生感受解题成功的喜悦 134 尺规作图 第 1 课时 尺规作图(1) 1掌握五种基本作图的方法 2会用五种基本作图的方法来解决简单的作图题 重点 五种基本作图的方法 难点 作图语言的叙述 一、自学教材 自学教材第 8588 页
42、，体会前三种基本作图的方法学生自学教材，交流归纳作一条 线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线的方法 二、探究新知 教师演示作图过程 1作一条线段等于已知线段 已知：线段 AB.求作：线段 AB，使 ABAB. 作法：(1)作射线 AC； (2)以点 A为圆心，以 AB 的长为半径作弧，交射线 AC于点 B.AB就是所要求作的线 段 2作一个角等于已知角 如图，已知AOB 和射线 OB，用尺规作图法作AOBAOB. 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； 以点 O为圆心，OC 长为半径作弧，交 OB 于点 C； 以点 C为圆心，CD 长为半径
43、作弧交前弧于点 A； 以点 O为顶点作射线 OA.AOB即为所求 3作已知角的平分线 已知：AOB.求作：AOB 的平分线作法： 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；分别以点 M， N 为圆心，大于1 2MN 的长为半径作弧，两弧在AOB 的内部交于点 C；作射线 OC.射线 OC 即为所求 教师活动：同排两个同学互相交流尺规作图的注意事项，并实际动手操作 学生活动：组织积极讨论，小组交流，代表发言 教师总结：尺规作图注意事项：尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；几何作 图必须保留作图痕迹 三、练习巩固 1如图，已知AOB.(1)求作EDF，使EDFA
44、OB；(2)求作EDF 的平分线 DG. 2如图，已知A，B，求作一个角，使其等于A2B. 3如图，已知线段 AB，CD，求作一个等腰三角形，使其腰长等于 AB，底边长等于 CD. 四、小结与作业 小结 1尺规作图的概念 2用尺规作一条线段等于已知线段及线段的和、差的作法 3作一个角等于已知角及角的和差的作法 作业 教材第 91 页习题 13.4 第 2 题 这节课内容较多，前三个基本作图较简单，主要是学生自学后独立操作，教师演示的目 的是规范作图语言，搞清其中的几何道理后两个作图实际上用到了转化思想，较为复杂， 要让学生搞明白作图的原理，是掌握作图步骤的关键 运用基本作图方法解作图题时，应让
45、学生先分析作图顺序后，再完成对于作图语言应 逐步规范 第 2 课时 尺规作图(2) 1进一步掌握并熟练尺规作图的方法及一般步骤 2介绍另外两种基本作图，明确尺规作图的意义 3熟练掌握基本作图语言 重点 掌握过一点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线 难点 理解作图的理论依据以及利用基本作图画一些其他图形 一、创设情境 复习提问： (1)什么是尺规作图？基本作图？ (2)我们已经学习了哪三种基本作图？ (3)在练习本上画出这三种基本作图，并准确写出作法 圆规和直尺除了可以画出上述三个图形外， 还可以画出哪些图形呢？这节课我们再介绍 两种基本作图 二、探究新知 前面我们学习了用尺规作线段，那么
46、你能利用尺规作图作以下图形吗？ 1过直线上一点，作已知直线的垂线 教师演示作图过程；学生动手完成作图过程并思考作图道理 教师点评：过直线上一点，作已知直线的垂线，实质是作平角的平分线 2过直线外一点，作已知直线的垂线 教师演示，学生动手完成，最后教师点评，过直线外一点，作已知直线的垂线 教师点评：实质是作以直线外一点为顶点所构造的一个角的角平分线 3作已知线段的垂直平分线 分析：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离 相等的点在线段的垂直平分线上 因此如果能找到两个到线段两端点的距离相等的点， 那么 过这两点就可以作出线段的垂直平分线 已知：线段 AB. 求作：
47、线段 AB 的垂直平分线 作法：(1)分别以点 A 和点 B 为圆心，大于1 2AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N.(2)作直线 MN. 直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线 注：1.若半径等于或小于1 2AB，两弧就没有交点； 2直线 MN 与线段 AB 的交点，就是 AB 的中点，所以我们也可以用这种方法作线段 的中点 引导学生思考：(1)已知直线上的一点作这条直线的垂线；(2)已知直线外的一点作这条 直线的垂线 三、练习巩固 1如图，过点 P 作O 两边的垂线 2如图，把图中所示的角四等分 3作一个四边形，使它的面积等于如图所示的三角形面积的 2 倍 四、小结与作业 小结
48、 通过对基本作图的学习， 掌握作图的一般步骤， 熟练叙述一些作图的规范语句， 主要有： (1)过点，作直线，或作直线，或作射线；(2)连结、两点，或连 结；(3)在上截取；(4)以点为圆心，为半径作弧(或圆)；(5)以点 为圆心，为半径作弧，交于点；(6)分别以点和点为圆心，以， 为半径作弧，两弧相交于点， 作业 教材第 88 页练习第 1，2 题，第 90 页练习第 1，2 题 这节课内容较多，前三个基本作图较简单，主要是学生自学后独立操作，教师演示的目 的是规范作图语言，搞清其中的几何道理后两个作图实际上用了转化思想，较为复杂，要 让学生搞明白作图的原理，是掌握作图步骤的关键 运用基本作图解作图题时，应让学生先分析作图顺序后，再完成对于作图语言应逐步 规范 135 逆命题与逆定理 135.1 互逆命题与互逆定理 1理解逆命题的概念，并会判断一个命题、逆命题的真假 2理解逆定理与互逆定理的概念 重点 逆命题与逆定理的概念 难点 判断逆命题的真假 一、创设情境 观察下列两个命题：(1)“两直线平行，内错角相等”；(2)“内错角相等，两直线平 行” 你能分别说出它们的条件与结论吗？两者的条件与结论位置上有什么关系？从而导入 新课 二、探究新知
