1、 1 2017-2018 学年第一学期高二年级 9 月测试 数学试题 （考试时间： 90 分钟 满分： 100 分 内容：必修四、必修五） 一、选择题（每题 3 分，共 36 分） 1 若 0?ba ，则下列不等式成立的是（ ） A. 2bab? B. ba 11? C. 2aab? D. | ba? 2 10sin3? 的值是（ ） A. 12 B. 32 C. 32? D. 12? 3 已知角 ? 的终边与单位圆交于点 31,22P?，则 cos? 的值为（ ） A. 32 B. 12 C. 12? D. 32? 4 已知向量 ? ? ? ?2 ,1 , 1, 3ab? ? ? ?，则（
2、） A. /ab B. ab? C. ? ?a a b? D. ? ?/a a b? 5 设 nS 是等差数列 ?na 的前 n 项和，已知 263, 11aa?，则 7S 等于（ ） A. 13 B. 35 C. 49 D. 63 6 同时具有性质 “ 最小正周期是 ? ； 图象关于直线 3x ? 对称； 在 ,63?上是增函数 ” 的一个函数是（ ） A. sin26xy ?B. cos 23yx?C. sin 26yx?D. cos 26yx?2 7 若不等式 2 10ax bx ? 的解集为 1| 1 3xx? ? ?，则 ab? 的值为 ( ) A. 5 B. 5? C. 6 D.
3、6? 8 已知 ? ?12ta n , ta n25? ? ? ? ? ?，那么 ? ?tan 2? 的值为（ ） A. 112 B. 34 C. 98? D. 98 9 下列各函数中，最小值为 4 的是 （ ） A. 4yxx? B. 4s in (0 )s iny x xx ? ? ? ? C. 34log log 3xyx? D. 4 xxy e e? 10在边长为 1 的正 ABC? 中， D ， E 是边 BC 的两个三等分点（ D 靠近于点 B ），AD AE? 等于（ ） A. 16 B. 29 C. 1318 D. 13 11 在 ABC? 中，若 2sin sin cos 2
4、ABC? ，则下面等式一定成立的为（ ） A. AB? B. AC? C. BC? D. A B C? 12 已知 34a? 和 4 的等比中项为 2b ，且 1a? ，则2211ab?的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 13 已知 ?na 为等比数列， 472aa?， 29 8aa? ，则 1 10aa? 14 在 ABC? 所在平面上有一点 P ，满足 2PA PB PC AB? ? ?，则 APC? 与 ABC? 的面积比为 15 已知函数 ? ?2sinyx? ( 0, 0 )? ? ? ? ?的部分图象如图所示，则 ?
5、3 16某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机 A 处测得正前方河流的两岸 B ， C 的俯角分别为 75? ， 30? ，此时无人机的高是 60 米，则河流的宽度 BC 等于 米 三、解答题（ 17、 18 每题 8 分， 19、 20 每题 10 分， 21 题 12 分） 17 已知函数 )32s in (2s in)( ? xxxf . （ 1）求函数 )(xf 的单调递增区间； （ 2）若将函数 )(xfy? 的图像向右平移 6? 个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的 2倍，得到函数 )(xg 的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程 . 18 已知 ? ?4, 1, 3
6、ab? ? ? . （ 1）若 /ab，求 a 的坐标； （ 2）若 a 与 b 的夹角为 0120 ，求 ab? . 4 19 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc ，面积为 S ，已知22 52 c o s 2 c o s2 2 2CAa c b?. (1)求证： ? ?23a c b?； (2)若 1cos 4B? ， 15S? ，求 b . 20 已知数列 ?na 的前 n 项和 nS ，且 na 是 2 与 nS 的等差 中项 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 21n nnb a?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 21 已知向量 33c
7、o s , sin22xxa ? ?， cos , sin22xxb ?，函数 ? ? 1f x a b m a b? ? ? ? ?， ,34x m R? ? ?. （ 1）若 ?fx的最小值为 -1，求实数 m 的值； （ 2）是否存在实数 m ，使函数 ? ? ? ? 22449g x f x m?， ,34x ?有四个不同的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 5 9 月数学答案 一、选择题（每题 3 分，共 36 分） 1 若 0?ba ，则下列不等式成 立的是（ ） A. 2bab? B. ba 11? C. 2aab? D. | ba? 2 10sin3?
8、 的值是（ ） A. 12 B. 32 C. 32? D. 12? 3 已知角 ? 的终边与单位圆交于点 31,22P?，则 cos? 的值为（ ） A. 32 B. 12 C. 12? D. 32? 4 已知向量 ? ? ? ?2 ,1 , 1, 3ab? ? ? ?，则（ ） A. /ab B. ab? C. ? ?a a b? D. ? ?/a a b? 5 设 nS 是等差数列 ?na 的前 n 项和，已知 263, 11aa?，则 7S 等于（ ） A. 13 B. 35 C. 49 D. 63 6 同时具有性质 “ 最小正周期是 ? ； 图象关于直线 3x ? 对称； 在 ,63?
9、上是增函数 ” 的一个函数是（ ） A. sin26xy ?B. cos 23yx?C. sin 26yx?D. cos 26yx?7 若不等式 2 10ax bx ? 的解集为 1| 1 3xx? ? ?，则 ab? 的值为 ( ) A. 5 B. 5? C. 6 D. 6? 8 已知 ? ?12ta n , ta n25? ? ? ? ? ?，那么 ? ?tan 2? 的值为（ ） 6 A. 112 B. 34 C. 98? D. 98 9 下列各函数中，最小值为 4 的是 （ ） A. 4yxx? B. 4s in (0 )s iny x xx ? ? ? ? C. 34log log
10、3xyx? D. 4 xxy e e? 10在边长为 1 的正 ABC? 中， D ， E 是边 BC 的两个三等分点（ D 靠近于点 B ），AD AE? 等于（ ） A. 16 B. 29 C. 1318 D. 13 11 在 ABC? 中，若 2sin sin cos 2ABC? ，则下面等式一定成立的为（ ） A. AB? B. AC? C. BC? D. A B C? 12 已知 34a? 和 4 的等比中项为 2b ，且 1a? ，则2211ab?的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 13 已知 ?na 为等比数列， 4
11、72aa?， 29 8aa? ，则 1 10aa? 7? 14 在 ABC? 所在平面上有一点 P ，满足 2PA PB PC AB? ? ?，则 APC? 与 ABC? 的面积比为 13 15 已知函数 ? ?2sinyx? ( 0, 0 )? ? ? ? ?的部分图象如图所示，则 ? 3? 16某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机 A 处测得正前方河流的两岸 B ， C 的俯角分别为 75? ， 30? ，此时无人机的高是 60 米，则河流的宽度 BC 等于 7 米 ? ?120 3 1? 米 三、解答题（ 17、 18 每题 8 分， 19、 20 每题 10 分， 21 题
12、12 分） 17 已知函数 )32s in (2s in)( ? xxxf . （ 1）求函数 )(xf 的单调递增区间； （ 2）若将函数 )(xfy? 的图像向右平移 6? 个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的 2倍，得 到函数 )(xg 的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程 . 试题解析： （ 1） 令 ，解得 所以 的单调增区间为 : . （ 2）由已知 ，对称轴方程为： 18 已知 ? ?4, 1, 3ab? ? ? . （ 1）若 /ab，求 a 的坐标； 8 （ 2）若 a 与 b 的夹角为 0120 ，求 ab? . 试题解析： （ 1） ? ?1, 3b? ， 2b?
13、 ，与 b 共线的单位向量为 13,22bc b ? ? ? ? ?. 4, / /a a b? ， ? ?2, 2 3a a c? ? ?或 ? ?2,2 3? . （ 2） 04 , 2 , , 1 2 0a b a b? ? ?， c o s , 4a b a b a b? ? ? ?， ? ? 2 222 2 8a b a a b b? ? ? ? ? ? ?， 27ab? . 19 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc ，面积为 S ，已知22 52 c o s 2 c o s2 2 2CAa c b?. (1)求证： ? ?23a c b?； (2)若 1cos
14、4B? ， 15S? ，求 b . 试题解析： (1)由条件： ? ? ? ? 51 c o s 1 c o s 2a C c A b? ? ? ?， 由于： cos cosa C c A b?，所以： 32a c b? ， 即： ? ?23a c b?. (2) 1cos 4B? ，所以： 15sin 4B? . 11s i n 1 5 1 528S a c B a c? ? ?， 8ac? . 又： ? ? ? ?22 2 2 2 c o s 2 1 c o sb a c a c B a c a c B? ? ? ? ? ? ?， 由 ? ?23a c b?， 所以： 25116 144b
15、 ?， 所以： 4b? . 9 20 已知数列 ?na 的前 n 项和 nS ，且 na 是 2 与 nS 的等差 中项 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 21n nnb a?， 求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 试题解析： （ 1） an是 2 与 Sn的等差中项， 2 an 2 Sn， 2 an 1 2 Sn 1， (n2) 得， 2an 2an 1 Sn Sn 1 an， 即 2(n2) 在 式中，令 n 1 得， a1 2 数列 an是首项为 2，公比为 2 的 等比数列， an 2n. （ 2） bn 所以 Tn ? ， 则 Tn ? ， 得， Tn ?
16、2( ? ) 2 所以 Tn 3 10 21 已知向量 33co s , sin22xxa ? ?， cos , sin22xxb ?，函数 ? ? 1f x a b m a b? ? ? ? ?， ,34x m R? ? ?. （ 1）若 ?fx的最小值为 -1，求实数 m 的值； （ 2）是否存在实数 m ，使函数 ? ? ? ? 22449g x f x m?， ,34x ?有四个不同的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 试题解析： （ 1） 33c o s c o s s in s in c o s 22 2 2 2x x x xa b x? ? ? ? ?
17、? ?， 33c o s c o s , s in s in2 2 2 2x x x xab ? ? ? ?， 2233c o s c o s s in s in2 2 2 2x x x xab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 c o s 2 4 c o sxx? ? ?， ,34x ? 24 c o s 2 c o sa b x x? ? ?， ? ? c o s 2 2 c o s 1f x x m x? ? ? 22cos 2 cosx m x?，令 1cos ,12tx?， 222y t mt? min 1y ? ，对称轴为 2mt? ， 当 122m? 即 1m? 时，当 12t? 时， min 1 12ym? ? ? ? 32m? 舍， 当 1 12 m?即 12m?时，当 2mt? 时， 2min 12my ? ? ? ? 2m? ， 当 12m? 即 2m? 是，当 1t? 时， min 2 2 1ym? ? ? ? 32m? 舍， 综上， 2m? .
