1、 - 1 - 陕西省西安市长安区 2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题（实验班） 总分： 150分 时间： 120分钟 一 .选择题（每小题 5分 ,共 60 分） 1.k(k3 ， k N*)棱柱有 f(k)个对角面，则 (k 1)棱柱的对角面个数 f(k 1)为 ( ) A f(k) k 1 B f(k) k 1 C f(k) k D f(k) k 2 2.直线 mxy ?34 与双曲线 1169 22 ? yx 的交点个数是 ( ) （ ） A 0 B 1 C 2 D视 m的值而定 3.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 xy 162 ? 的准线
2、交于 ,AB两点 .若 43AB? ，则 C 的实轴长为 ( ) A. 2 B.22 C.? D.? 4.命题“任意 ? ?1,2x? ， 2 0xa? ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A a 4 B a 4 C a 5 D a 5 5.在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是棱 长为 1的正三角形，侧棱 AA1底面 ABC，点 D在棱 BB1上，且 BD 1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ? ，则 ?sin 的值是 ( ) A. 32 B 22 C. 104 D 64 6.已知双曲线 x24y2b2 1(b0)， 以 原点为圆心 ， 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的
3、两条渐近线相交于 A， B， C， D四点 ， 四边形 ABCD的面积为 2b， 则双曲线的方程为 ( ) A.x243y24 1 B.x244y23 1 C.x24y24 1 D.x24y212 1 7.正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等 ， D 是 A1C1的中点 ， 则 直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 ( ) A. 35 B. 45 C. 34 D. 55 8直线 l ： ? ?2y k x?与曲线 ? ?2210x y x? ? ?相交于 A、 B两点，则直线 l 倾斜角的取高二理科实验班数学试题（第 1 页 共 6 页） - 2 - 值范围是（ ） A.?
4、?0,? B. 3,4 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C. 0, ,22? ? ? ? ? ? ? ? ?D. 3,44?9观察下列各式 : 5 6 75 3 1 2 5 , 5 1 5 6 2 5 , 5 7 8 1 2 5 , ,? ? ?则 20115 的末四位数字为 ( ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 10 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， P 为底面 ABCD 上的动点， 1PE AC? 于 E ，且PA PE? ，则点 P 的轨迹是 ( ) A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
5、 11.已知当 ? ?1,0?x 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数 的取值范围是 ( ) A ? ? ?0,1 2 3,? ? B ? ? ? ?0,1 3,? C ? ?0, 2 2 3,? ? D ? ? ?0, 2 3,? ? 12已知 F1， F2分别为双曲线 C： =1 的左、右焦点，若存在过 F1的直线分别交双曲线 C的左、右支于 A， B两点，使得 BAF2= BF2F1，则双曲线 C的离心率 e的取值范围是（ ） ? ?21y mx? y x m?m高二理科实验班数学试题（第 2 页 共 6 页） - 3 - A（ 3， +） B（ 1， 2+ ） C（ 3
6、， 2+ ） D（ 1， 3） 二、填空题（每题 5分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 13. 设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 8，则 的最小值为 _ 14在直三棱柱 ABCA B C中，底面 ABC 是等腰直角三角形，且 AB AC 1， AA 2，则 A到直线 BC的距离为 _ 15.抛物线 2 4yx? 上的斜率为 2的弦的中点的轨迹方程是 _. 16.椭圆 x24y23 1 的左焦点为 F， 直线 x m 与椭圆相交于点 A， B.当 FAB 的周长最大时 ， FAB的面积是 _ 17.若下列两个方程 x2 (a 1)x a2 0， x2 2ax 2a 0 中至少有一
7、个方程有实根，则实数a 的取值范围是 _ 18.已知抛物线 C： )0(22 ? ppxy 的准线为 l ，过 M(1,0)且斜率为 3 的直线与 l 相交于点A，与 C 的一个交点为 B，若 AM MB ，则 p _. 三、 解答题 （本大题共 5 小题，共 60分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 19. ABC 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为 23sinaA. （ 1）求 sin Bsin C; （ 2）若 6cos Bcos C=1， a=3，求 ABC 的周长 . 20. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1C1C
8、是边长为 4的正方形 .平面 ABC平面 AA1C1C， AB=3，BC=5. （ 1）求证： AA1平面 ABC； （ 2）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值； （ 3）证明：在线段 BC1存在点 D，使得 AD A1B，并求1BDBC 的值 . 高二理科实验班数学试题（第 3 页 共 6 页） - 4 - 21.如图，曲线 C 由上半椭圆 C1： y2a2x2b2 1(ab0， y 0)和部分抛物线 C2： y x2 1(y 0)连接而成， C1与 C2的公共点为 A， B，其中 C1的离心率为 32 . (1)求 a， b的值； (2)过点 B的直线 l 与 C1， C2分别交于点 P
9、， Q(均异于点 A， B)，若 AP AQ，求直线 l 的方程 22如图，四边形 ABCD是圆柱 OQ 的轴截面，点 P在圆柱 OQ 的底面圆周上， G是 DP的中点，圆 柱 OQ 的底面圆的半径 OA=2，侧面积为 ?38 ， AOP=120 （ 1）求证： AG BD； （ 2）求二面角 P AG B的平面角的余弦值 高二理科实验班数学试题（第 4 页 共 6 页） - 5 - 23如图，椭圆 C： 经过点 P（ 1， ），离心率 e= ，直线 l 的方程为x=4 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2） AB是经过右焦点 F的任一弦（不经过点 P），设直线 AB与直线 l 相交于点 M，记
10、 PA， PB，PM 的斜率分别为 k1， k2， k3问： 是否存在常数，使得 k1+k2= k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由 高二理科实验班数学试题（第 5 页 共 6 页） - 6 - 第一次月考理科实验答案 一选择题 1-5 ADCCD 6-10 DABDA 11-12 BC 二填空题 13 4 14 630 15 )41(1 ? xy 16 3 17 ? ? ? ? ,12, ? 18 2 三解答题 19. 解 (1)由题设得 12acsin B a23sin A，即12csin Ba3sin A. 由正弦定理，得 12sin Csin B sin A3sin A， 故 si
11、n Bsin C 23. (2)由题设及 (1)， 得 cos Bcos C sin Bsin C 12， 即 cos(B C) 12.所 以 B C 23 ， 故 A 3. 由题意得 12bcsin A a23sin A， a 3， 所以 bc 8. 由余弦定理 ， 得 b2 c2 bc 9， 即 (b c)2 3bc 9.由 bc 8， 得 b c 33. 故 ABC的周长为 3 33. 20. 解： （ 1）因为 为正方形，所以 。 因为平面 平面 ，且 垂直于这两个平面的交线 ， 所以 平面 。 （ 2）由（ 1）知 ， 。 由题知 ， ， ，所以 。 如图，以 为原点建立空间直角坐标
12、系 ，则 ， ， ， 。 - 7 - 设平面 的法向量为 ，则 ，即 。 令 ，则 ， 。 同理 可得，平面 的法向量为 ，则 。 （ 3）设 是直线 上一点，且 ，所以 。 解得 ， ， 。 所以 。 由 ，即 ，解得 。 因为 ，所以在线段 上存在点 ，使得 。 此时， 。 21. 解： (1)在 C1， C2的方程中，令 y 0，可得 b 1，且 A( 1， 0)， B(1， 0)是上半椭圆 C1的左右顶点 设 C1的半焦距为 c，由 ca 32 及 a2 c2 b2 1得 a 2. b 1. (2)由 (1)知，上半椭圆 C1的方程为 y24 x2 1(y0) 易知，直线 l 与 x
13、轴不重合也不垂直，设其方程为 y k(x 1)(k0) ，代入 C1的方程，整理得 (k2 4)x2 2k2x k2 4 0.(*) 设点 P的坐标为 (xP， yP)， 直线 l过 点 B， x 1 是方程 (*)的一个根 由求根公式，得 xP k2 4k2 4，从而 yP 8kk2 4， 点 P的坐标为 ? ?k2 4k2 4， 8kk2 4 . 同理，由?y k（ x 1）（ k0 ），y x2 1（ y0 ） 得点 Q的坐标为 ( k 1， k2 2k) AP 2kk2 4(k， 4)， AQ k(1， k 2) - 8 - AP AQ， AP AQ 0， 即 2k2k2 4k 4(k
14、 2) 0. k0 ， k 4(k 2) 0， 解得 k 83. 经检验， k 83符合题意 故直线 l的方程为 y 83(x 1) 22. 解：（ 1）（解法一）：由题意可知 8 =22A D， 解得 AD=2 ， 在 AOP 中， AP= ， AD=AP ， 又 G 是 DP 的中点， AGDP AB 为圆 O的直径， APBP 由已知知 DA 面 ABP， DABP ， BP 面 DAP分 BPAG 由 可知： AG 面 DBP， AGBD （ 2）由（ 1）知： AG 面 DBP， AGBG ， AGPG ， PGB 是二面角 P AG B的平面角 PG= PD= AP= ， BP=O
15、P=2， BPG=90 ， BG= = - 9 - cosPGB= = = （解法二）：建 立如图所示的直角坐标系，由题意可知 8 =22AD ， 解得 AD=2 ， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， D（ 0， 0， 2 ）， P（ ， 3， 0）， G 是 DP的中点， 可求得 G（ ， ， ） （ 1） =（ ， 1， 0）， =（ 0， 4， 2 ）， =（ ， ， ） =（ ， ， ） ?（ 0， 4， 2 ） =0， AGBD （ 2）由（ 1）知，） =（ ， 1， 0）， =（ ， ， ） . =（ ， ， ） =（ ， ， ） ， 是平面 APG的法向量
16、 设 =（ x， y， 1）是平面 ABG 的法向量， 由 ， 解得 =（ 2， 0， 1）分 cos= = 所以二面角二面角 P AG B的平面角的余弦值 23. 解：（ 1）椭圆 C： 经过点 P （ 1， ），可得 由离心率 e= 得 = ，即 a=2c，则 b2=3c2 ，代入 解得 c=1， a=2， b= - 10 - 故椭圆的方程为 （ 2）方法一：由题意可设 AB的斜率为 k，则直线 AB的方程为 y=k（ x 1） 代入椭圆方程 并整理得（ 4k2+3） x2 8k2x+4k2 12=0 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， x1+x2= ， 在方程 中，令 x=4得， M
