1、 - 1 - 陕西省西安市长安区 2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题（重点、平行班） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.“ 若 4? ，则 tan 1? ” 的逆否命题是 ( ) A若 4? ，则 tan 1? B若 4? ，则 tan 1? C若 tan 1? ，则 4? D若 tan 1? ，则 4? 2. 设 m ， n 为非零向量，则 “ 存在负数 ? ，使得 ?mn” 是 “ 0?mn ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3.已知
2、( ) sinf x x x?，命题00: (0 , ) , ( ) 02p x f x? ? ?，则（ ） A p 是假命题， : (0 , ) , ( ) 02p x f x? ? ? ? B p 是假命题，00: (0 , ) , ( ) 02p x f x? ? ? ?C p 是真命题， : (0 , ) , ( ) 02p x f x? ? ? ? D p 是真命题，00: (0 , ) , ( ) 02p x f x? ? ? ?4.若一条直线与一个平面成 72 角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（ ） A 72 B 90 C 108 D 180 5.已知向
3、量 (2 1, 3, 1)mm? ? ?a ， (2, , )mm?b ， 且 a b ，则实数 m 的值等于（ ） A 32 B -2 C 0 D. 32 或 -2 6.已知非零向量 1e ， 2e 不共线，如果 12AB?uuur ee， 1228AC ?uuur ee， 1233AD?uuur ee，则四点 , , ,ABCD （ ） A一定共圆 B恰是空间四边形的四个顶点 C一定共面 D肯定不共面 - 2 - 7.已知 (1 ,1 ,1 ) , ( 0 , ,1 ) ( 0 1 )yy? ? ? ?ab ，则 cos ,ab 最大值为（ ） A 33B 23 C 32 D 63 8.
4、如图， 60 的二面角的棱上有 ,AB两点，直线 ,ACBD 分 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB 已知 4 , 6 , 8AB AC BD? ? ?，则 CD 的长为（ ） A 17 B 7 C 217 D 9 9.如图，将绘有函数 5( ) 3 s i n ( ) ( 0 )6f x x ? ? ?部分图象的纸片沿 x 轴折成直二面角，若 AB 之间的空间距离为 15 ，则 ( 1)f? =（ ） A 1 B 1 C 3? D 3 10.若 ABCV 顶点 ,BC的坐标分别为 ( 4, 0), (4, 0)， ,ACAB 边上的中线长之 和为 30，则 ABCV 的重心 G
5、的轨迹方程为 ( ) A 22 1( 0)100 36xy y? ? ? B 22 1( 0)100 84xy y? ? ? C 22 1( 0)100 36xy x? ? ? D 22 1( 0)100 84xy x? ? ? 11.设 ,AB是椭圆 2213: xC ym?长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 120AMB?o ，则 m 的取值范围是（ ） - 3 - A ? ? ? ?0,1 9,?U B ? ? ?0, 3 9,? ?U C ? ? ? ?0,1 4,?U D ? ? ?0, 3 4,? ?U 12.已知椭圆 22 1( 0 ): xy abaC b? ? ? ?
6、的左、右顶点分别为 12,AA，且以线段 12AA 为直径的圆与直线 20bx ay ab? ? ?相切，则 C 的离心率为（ ） A 63B 33 C 23 D 13 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分。请把答案填在答题纸的相应空格中） 13. 已知实数 4， m ， 9构成一个等比数列， 则椭圆 2 2 1x ym?的焦距为 14. 设有两个命题， p ：关于 x 的不等式 1( 0, 1)xa a a? ? ?的解集是 ? ?0xx? ； :q 函数 2lg( )y ax x a? ? ?的定义域为 R 如果 pq? 为真命题， pq? 为假命题，则实 数 a的取值范
7、围是 15.如图，空间四边形 OABC 中， ,MN分别是对边 ,OABC 的中点，点 G 在线段 MN 上，分MNuur 所成的定比为 2， O G xO A yO B zO C? ? ?uuur uur uuur uuur，则 ,xyz 的值分别为 16.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 12,ABB 分别为椭圆 22: 1xaC yb?( 0)ab? 的右、下、上顶点， F 是椭圆 C 的右焦点若 21BF AB? ，则椭圆 C 的离心率是 - 4 - 17. ,?是两个平面， ,mn是两条直线，有下列四个命题： (1)如果 , , / /m n m n? ，那么 ? . (2)
8、如果 , / /mn? ，那么 mn? . (3)如果 / / ,m? ? ? ，那么 /n ? . (4)如果 / / , / /mn?，那么 m 与 ? 所成的角和 n 与 ? 所成的角相等 其中正确的命题有 _ (填写所有正确命题的编号 ) 三、解答题：（本 大题共 5 小题，共 65 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸的相应 位置 作答） 18.（ 12分 ） 已知 mR? ，命题 :p 对任意 0,1x? ，不等式 22 2 3x m m? ? ? 恒成立；命题 :q存在 1,1x? ，使得 max? 成立 。 （ 1）若 p 为真命题，求 m 的取值范围
9、； （ 2）当 1a? 时，若 pq? 为假， pq? 为真，求 m 的取值范围 19. （ 12分 ） 如图，三棱锥 P ABC? 中， PC? 平面 ABC ， 3PC? ， 2ACB ?。 ,DE分别为线段 ,ABBC 上的点，且 2 , 2 2C D D E C E E B? ? ? ?。 . (1)证明： DE? 平面 PCD ； (2)求二面角 A PD C?的余弦值。 20. （ 12分 ） 已知椭圆 C 的两个焦点是 1( 2,0)F? ， 2(2,0)F ，且椭圆 C 经过点 (0, 5)A （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若过椭圆 C 的左焦点 1( 2,0)F?
10、 且斜率为 1的直线 l 与椭圆 C 交于 ,PQ两点，求线段 PQ的长 。 - 5 - 21. （ 14分 ） 如图：等边三角形 PAB 所在的平面与 Rt ABCV 所在的平面互相垂直， ,DE分别为 ,ABAC 边中点已知 AB BC? ， 2AB? ， 23BC? 。 （ 1） 证明： /DE 平面 PBC ； （ 2） 证明： AB PE? ； （ 3） 求点 D 到平面 PBE 的距离 22. （ 14 分 ） 已知椭圆 22 1( 0 ): xy abaC b? ? ? ?的右焦点为 (2,0)F ，点 6(2, )3P 在椭圆上 （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） 过点
11、F 的直线 l ，交椭圆 C 于 ,AB两点，点 M 在椭圆 C 上，坐标原点 O 恰为 ABMV 的重心，求直线 l 的方程 - 6 - 数学试题答案（理科重点平行） 一、选择题： C A C B B C D C D B A A 二、填空题 13. 25 14. ? ?10, 1,2? ? ?U15. 111,633 16. 512? 17. （ 2）、（ 4 ） 三、解答题： 18.（ 12分 ） 已知 m R，命题 p：对任意 x 0， 1，不 等式 2x 2 m2 3m 恒成立；命题 q：存在 x 1， 1，使得 m ax 成立 （ 1）若 p为真命题，求 m 的取值范围； （ 2）当
12、 a=1 时，若 p且 q为假， p或 q为真，求 m的取值范围 解：（ 1）对任意 x 0， 1，不等式 2x 2 m2 3m 恒成立， 2 m2 3m，解得 1 m 2 （ 2） a=1时，存在 x 1， 1，使得 m ax 成立 m 1 p且 q为假， p或 q为真， p与 q必然一真一假， 或 ， 解得 1 m 2或 m 1 m的取值范围是（ ， 1） （ 1， 2 19. （ 12分 ） 如图，三棱锥 P-ABC中， PC 平面 ABC， PC 3， ACB 2 .D， E分别为线段 AB， BC 上的点， 且 CD DE 2， CE 2EB 2 . (1)证明： DE 平面 PCD
13、； (2)求二面角 A-PD-C的余弦值 （ 1）由 PC平面 ABC， DE?平面 ABC，故 PC DE， CE 2， CD DE 2得 CDE 为等腰直角三角形， 故 CD DE. 由 PC CD C， DE垂直于平面 PCD内两条相交直线， 故 DE平面 PCD. - 7 - （ 2） 由 (1)知， CDE为等腰直角三角形， DCE 4， 如图，过 D作 DF垂直 CE 于 F， 易知 DF FC FE 1， 又已知 EB 1， 故 FB 2. ACB 2得 DF AC， DFAC FBBC 23， 故 AC 32DF 32.以 C 为坐标原点，分别以 CA， CB， CP的方向为
14、x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)， P(0,0,3)， A? ?32， 0， 0 ， E(0,2,0)， D(1,1,0)， ED (1， 1,0)， DP ( 1， 1,3)， DA ? ?12， 1， 0 .设平面 PAD 的法向量为 n 1 (x1， y1， z1)， 由n1 DP 0， n1 DA 0，得? x1 y1 3z1 0，12x1 y1 0，故可取 n1 (2,1,1). 由 (1)可知 DE 平面 PCD，故平面 PCD的法向量 n2可取为 ED，即 n2 (1， 1,0). 从而法向量 n1， n2的 夹角的余弦值为 cos n
15、1， n2 n1 n2|n1| n2| 36 ， 所求二面角 A-PD-C的余弦值为 36 . 20. （ 12分 ） 已知椭圆 C的两个焦点是 F1（ 2， 0）， F2（ 2， 0），且椭圆 C经过点 A（ 0， ） （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）若过椭圆 C 的左焦点 F1（ 2， 0）且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 P、 Q 两点，求线段 PQ的长 解：（ 1）由题意可知椭圆焦点在 x轴上，设椭圆方程为 （ a b 0）， 由题意可知 ， a=3， b= - 8 - 椭圆的标准方程为 =1 （ 2）直线 l的方程为 y=x+2， 联立方程组 ，得 14x2+36x
16、 9=0， 设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），则 x1+x2= ， x1x2= ， |PQ|= |x1 x2|= = = 21. （ 14分 ） 如图：等边三角形 PAB所在的平面与 Rt ABC所在的平面互相垂直， D、 E分别为 AB、 AC边中点已知 AB BC， AB=2， BC=2 （ ）证明： DE 平面 PBC； （ ）证明： AB PE； （ ）求点 D到平面 PBE的距离 （ ）证明： D、 E分别为 AB、 AC边中点， DE BC， DE?平面 PBC， BC?平面 PBC， DE 平面 PBC； （ ）证明：连接 PD，则 AB BC， DE BC， AB DE， 等边三角形 PAB， D为 AB 的中点， PD AB， PD DE=D， AB 平面 PDE， PE?平面 PDE， AB PE； （ ）解： 平面 PAB 平面 ABC， PD AB， PD 平面 ABC， D为 AB中点， AB=2， - 9 - PD= ， VP ABC= =2， E是 AC的中点， S ABE= ， S BDE= ， VP BCE= VP ABC= ， BE= =2， PE= = ， B到 PE的距离为 = ， S BPE= = ， 设点 D到平面 PBE的距离为 h，则 = ，
