1、 - 1 - 2017年秋季学期 12月月考试卷 高二理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。 第 卷 （选择题，共 60分） 一、选择题 (共 12小题，每小题 5分，共 60.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1、已知集合 A=x|x2 2x 3 0，集合 B=x|2x+1 1，则 ?BA=（ ） A、 3， + ） B、（ 3， + ） C、（ ， 13
2、 ， + ） D、（ ， 1） （ 3， + ） 2、复数 z= ii?13 的共轭复数为（ ） A、 1 i B、 1 i C、 2 i D、 2+i 3、已知命题 p， q， “ p为假 ” 是 “pq 为真 ” 的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、等比数列 ?na 的前 n 项和为 Sn ， 且 14a ， 2 2a ， 3a 成等差数列，若 1a =1，则 S10=（ ） A、 512 B、 511 C、 1024 D、 1023 5、已知直 线 1l ： 2x y+2=0和直线 2l ： x= 1，抛物线 y2=4x上一动点
3、P到直线 1l 和直线 2l 的距离之和的最小值是（ ） A、 2 B、 554 C、 3 D、 5 6、已知平面向量 ? ?2,1?a? ， ? ?4,? mb? ，且 ba ?/ ，则 ba? =（ ） A、 4 B、 6 C、 10 D、 10 - 2 - 7、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 x=2， n=2，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的 s=（ ） A、 7 B、 12 C、 17 D、 34 8、已知函数 f（ x） 的定义域为 R， f（ 2） =2021，对任意 x （ ， + ），都有 f（ x） 2x成立
4、，则不等式 f（ x） x2+2017的解集为（ ） A、（ 2， + ） B、（ 2， 2） C、（ ， 2） D、（ ， + ） 9、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “ 阳马 ” ，若某 “ 阳马 ” 的三视图如图所示（单位： cm），则该阳马的外接球的体积为（ ） A、 100? cm3 B、 ?3500 cm3 C、 400? cm3 D、 ?34000 cm3 10、函数 y=sin（ 2x+ ）的图象沿 x轴向左平移 8? 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能的值为（
5、） A、 ?43 B、 4? C、 0 D、 4? - 3 - 11、已知直线 l ： kx y 3=0 与圆 O： x2+y2=4交于 A、 B两点且 2?OBOA ，则 k=（ ） A、 2 B、 2? C、 2 D、 2 12、 从双曲线 12222 ?byax （ a 0， b 0）的左焦点 F引 圆x2+y2= 2a 的切线，切点为 T，延长 FT 交双曲线右支于 P点， 若 M为线段 FP的中点， O为坐标原点， 则 |MO| |MT|等于（ ） A、 ac? B、 ab? C、 ba? D、 bc? 第 II卷 （非选择题，共 90 分） 二、 填空题 (共 4小题，共 20.0
6、分 ) 13已知实数 x ， y 满足?2424xyxyx ，则yxz 2? 的最大值为 _ 14已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法： 甲说：“我去过上海，乙也去过上海，丙去过北京 .” 乙说：“我去过上海，甲说得不完全对 .” 丙说：“我去过北京，乙说得对 .” 已知 甲、乙、丙三人中恰好有 1人说得不对，则去过北京的是 _ 15 ABC? 中 ， 若 Asin 、 Bsin 、 Csin 依次成等比数列，则 B? 的取值范围为 _. 16 已知 ?xf 是定义在 R上的偶函数，其导函数 ?xf? ，若 ? ?xf ? ? ?xf ? ， ? ? ?
7、 ?xfxf ? 21 ， ? ? 32016?f ，则不等式 ? ? xexf 3? 的解集为 _. 三、 解答题 (共 6小题， 17题 10 分， 18-22题每题 12分，共 70.0分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.已知函数 f（ x） = 3 sinxcosx cos2x 21? （ ）求函数 f（ x）的对称轴方程； - 4 - （ ）将函数 f（ x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，然后再向左平移 3? 个单位，得到函数 g（ x）的图象若 a ， b， c分别是 ABC 三个内角 A， B， C的对边， a =2， c=4，且
8、g（ B） =0，求 b的值 18.等差数列 an的前 n项和为 Sn ，且 3a =9， S6=60 （ I）求数列 an的通项公式； （ II）若数列 bn满足 bn+1 bn= na （ nN +）且 b1=3，求数列 ?nb1 的前 n项和 Tn 19.为了弘扬民族文化，某校举行了 “ 我爱国学，传诵经典 ” 考试，并从中随机抽取了 100名考生的成绩（得分均为整数，满分 100分）进行统计制表，其中成绩不低于 80 分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题 分组 频数 频率 50， 60） 5 0.05 60， 70） a 0.20 70，
9、80） 35 b 80， 90） 25 0.25 90， 100） 15 0.15 合计 100 1.00 （ I） 求 a ， b 的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率； （ ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取 20 人参加学校的 “ 我爱国学 ” 宣传活动，求其中优 秀生的人数； 20.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1C1C是边长为 4的正方形平面 ABC 平面 AA1C1C， AB=3，- 5 - BC=5 （ ）求证： AA1 平面 ABC； （ ）求证二面角 A1 BC1 B1的余弦值； 21.已知椭圆 C： 12222 ?byax （ a b 0）的左、右
10、顶点分别为 A1、 A2 ， 上、下顶点分别为 B2、 B1 ， O为坐标原点，四边形 A1B1A2B2的面积为 4，且该四边形内切圆的方程为5422 ?yx （ ）求椭圆 C的方程； （ ）若 M、 N是椭圆 C 上的两个不同的动点，直线 OM、 ON 的斜率之积等于 41? ，试探求 OMN的面积是否为定值，并说明理由 ? ? ? ?为常数已知函数 axxaxf 2ln.22 ? （ ）若 2?a ，求证：函数 ?xf 在（ 1， + ）上是增函数； （ ）求函数 ?xf 在 1， e上的最小值及相应的 x 值 . - 6 - 答案解析部分 一、单选题 1、 A 2、 D 3、 A 4、
11、D 5、 B 6、 C 7、 C 8、 C 9、 B 10、 B 11、 B 12、 B 【解析】 【解答】解：如图所示，设 F 是双曲线的右焦点，连接 PF 点 M， O分别为线段 PF， FF 的中点，由三角形中位线定理得到： |OM|= |PF|= （ |PF| 2a） = |PF| a=|MF| a， |OM| |MT|=|MF| |MT| a=|FT| a，连接 OT，因为 PT 是圆的切线， 则 OTFT ，在 RtFOT 中， |OF|=c， |OT|=a， |FT|= =b |OM| |MT|=b a 故选 B 二 填空题 13 6 14.甲、丙 ? 3,0.15 ?16 ?
12、?,0? 【解析】 根据题意，设 ? ?xfxgx e?（ ），其导数 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2?（ ） ，?xxxxf x e e f x f x f xgx ee又由 （ ） （ ）?f x f x ，则 0（ ） gx ，函数 gx（ ） 在上 R 为 增 函数， 又由 fx（ ） 是定义在 R 上的偶函数，且 12f x f x? ? ?（ ） （ ）， 则有 1 2 2f x f x f x? ? ? ? ?（ ） （ ） （ ），则函数 fx（ ） 的周期为 3； - 7 - 若 2016 3f ?（ ） ，则有 0 3 672 3f ? ? ?（ ） ， 即 ? ?
13、? ?000 3 3 3 0x xf f xg f x e g x gee? ? ? ?（ ） ， （ ） （ ） （ ） ，又由函数 gx（ ） 为 增 函数，则有 0x ，即不等式 3 xf x e（ ） 的解集为 ? ?,0? ； 故答案为 ? ?,0? 三 解答题 17.解：（ ）函数 = ，令 ，解得 ， 所以函数 f（ x）的对称轴方程为 （ ）函数 f（ x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍，得到函数 的图象， 再向左平移 个单位，得到函数 的图象，所以函数 又 ABC 中， g（ B） =0，所以 ，又 ， 所以 ，则 由余弦定理可知， ， 所以 - 8 - 18
14、.解：（ ）设等差数列 an的公差为 d， a 3=9， S6=60 ，解得 a n=5+（ n 1） 2=2n+3 （ ） b n+1 bn=an=2n+3， b1=3， 当 n2 时， bn=（ bn bn 1） +?+ （ b2 b1） +b1 =2（ n 1） +3+2（ n 2） +3+?+21+3+3= 当 n=1时， b1=3适合上式，所以 = = 19.解：（ ）由频率分布表得： ， 解得 a=20， b=0.35， 由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为： P=0.25+0.15=0.4 （ ）按成绩分层抽样抽取 20人时， 优秀生应抽取 200.4=8 人 20.
15、（ I）证明： AA 1C1C是正方形， AA 1AC 又 平面 ABC 平面 AA1C1C，平面 ABC 平面 AA1C1C=AC， AA 1 平面 ABC （ II）解：由 AC=4， BC=5， AB=3 - 9 - AC 2+AB2=BC2 ， ABAC 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1（ 0， 0， 4）， B（ 0， 3， 0）， B1（ 0， 3， 4）， C1（ 4， 0，4）， ， ， 设平面 A1BC1的法向量为 ，平面 B1BC1的法向量为 =（ x2 ， y2 ， z2） 则 ，令 y1=4，解得 x1=0， z1=3， ，令 x2=3，解得 y2=4， z2=0， = = = 二面角 A1 BC1 B1的余弦值为 21. 解：（ ） 四边形 A1B1A2B2的面积为 4，又可知四边形 A1B1A2B2为菱形， ，即 ab=2 由题意可得直线 A2B2方程为： ，即 bx+ay ab=0， 四边形 A1B1A2B2内切圆方程为 ， 圆心 O到直线 A2B2的距离为 ，即 - 10 - 由 解得： a=2， b=1， 椭圆 C的方程为： （ ）若直线 MN 的斜率存在，设直线 MN的方程
