1、 1 2016 2017学年度第二学期高二第一次考试 数学试卷（理科） 一、选择题 (每小题 5 分，共 60分 ) 1. 已知椭圆 的一点 到椭圆的一个焦点的距离等于 4，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】 B 【解析】试题分析：由椭圆方程可知 ，由椭圆定义可知点 到椭圆的另一个焦点的距离等于 8-4=4 考点：椭圆定义 2. 已知椭圆的焦点是 F1、 F2， P是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P到 Q，使得 |PQ|=|PF2|，那么动点 Q的轨 迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 一条直线 D. 两条射线 【答案】 A 【解析
2、】试题分析：已知椭圆的焦点和椭圆上的一个动点，由椭圆定义有 |PF1|+|PF2|=2a，又 |PQ|=|PF2|，代入上式，可得 |F1Q|=2a再由圆的定义得到结论 解： |PF 1|+|PF2|=2a， |PQ|=|PF2|， |PF 1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a 即 |F1Q|=2a 动点 Q到定点 F1的距离等于定长 2a， 动点 Q的轨迹是圆 故选 A 考点：椭圆的简单性质；轨迹方程 3. 由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：作出封闭图形（如图所示），由定积分的几何意义，得2 . 考点：定积分的
3、几何意义 . 4. 已知函数 在 R上是单调函数，则实数 a的取值范围是（ ） A. B. C. D. . 【答案】 B 【解析】 求解原函数的导函数： ， 满足题意时，导函数 恒成立， 则： ， 解得： . 本题选择 B选项 . 点睛： (1)利用导数研究函数 的单调性的关键在于准确判定导数的符号 (2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D上单调递增 (减 )，求参数范围问题，可转化为f( x)0( 或 f( x)0) 恒成立问题，从而构建不等式，要注意 “ ” 是否可以取到 5. 已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值是 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 =(
4、3,1,6), =(2k?1,k,4k?2)， 与 互相垂直 ,3(2k ?1)+k+6(4k?2)=0， 解得 k= ， 本题选择 D选项 . 3 6. 已知 分别是四面体 的棱 的中点， 点在线段 上，且 ， ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如图所示：本题选择 C选项 . 7. 若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有 T性质下列函数中具有 T性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数 y=f(x)的导函数上存在两点，使
5、这 点的导函数值乘积为 ?1， 当 y=sinx时 ,y= cosx，满足条件； 当 y=lnx时 ,y=1 x0 恒成立，不满足条件； 当 y=ex时 ,y= ex0 恒成立，不满足条件； . 当 y=x3时 ,y=3 x20恒成立，不满足条件； 本题选择 C选项 . 8. 如图，在平行四边形 中， ， ，将它沿对角线 折起，使 和 成 角 (如图所示 )，则 、 间的距离为 ( ) 4 A. 1 B. 2 C. D. 2或 【答案】 D 【解析】 ACD=90 , . 同理 BA? ?AC? ?=0. AB 和 CD成 60 角 ,=60 或 120 . ， | |=2或 ， 本题选择 D
6、选项 . 9. 已知椭圆： ，直线 ： ，椭圆上任意一点 ，则点 到直线的距离的最大值（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 设椭圆上点的坐标为 ，由点到直线距离公式可得： ， 则当 时，点 到直线的距离有最大值 . 本题选择 C选项 . 点睛： 求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式 . 10. 已知 为 的导函数，则 的图象是（ ） 5 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意可得 f(x) = x ?sinx. 函数 f(x) 为奇函数，故 B. D错误； . 又 ，故 C错误； 本题选择 A选项 . 11. 如图，椭圆 的右焦点为 ，直
7、线不经过焦点，与椭圆相交于点 ，与轴的交点为 ，则 与 的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由椭圆的标准方程可得 ，则焦点 ， 令 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， ， 椭圆的右准线： ， 据此有： ，则： 6 . 本题选择 A选项 . 12. 已知函数 ,若 ,且 对任意的 恒成立 ,则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：由题设可得 ,令 ,则.令 .则函数 的零点就是函数 的极值点 .设 并记极值点为 ,则 ,由于,故 ,而且不难验证当时 , , 单调递减；当 时 , , 单调递增 ,所以,因此 ,由于
8、且,所以 ,故应选 B. 考点：导数与最值，恒成立问题 . 【方法点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题 和导数的应用，属于中档题 .题中要求不等式 对任意的 恒成立，所以 的系数 符号为正，可以通过分离参数转化为求函数的 的最小值来求解，本题的难点是导函数的零点不能直接求出，可设出其零点，再构造新函数来解答 . 二、填空题（每小题 5 分，共 20分） 13. 已知 ， ， ，则向量 与 的夹角等于 _ 【答案】 【解析】 由题意可得： ， 7 则 , 则向量 与 的夹角等于 . 点睛： (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式 (2) 常用来求向量的模 14. 函数 的单调递减区间是 _
9、 【答案】 【解析】 函数的定义域为 ，且： ， . 求解不等式 可得函数的单调递减区间是 . 15. 长方体 中，底面 是边长为 4的正方形，高为 2，则顶点 到截面 的距离为 _. 【答案】 【解析】 由题意可得： , 据此可得 ，设顶点 到截面 的距离为 h， 对三棱锥 的体积进行转换顶点求解： ，即： ， 解得： . 点睛 ： 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求 体积 16. 已知实数 满足 ，实数 满足 ，则的最小值为 _. 【答案】 1 8 【解析】 由 ln(b+1)+a?3b=
10、0,得 a=3b?ln(b+1),则点 (b,a)是曲线 y=3x?ln(x+1)上的任意一点， 由 2d?c =0,得 c=2d ,则点 (d,c)是直线 y=2x 上的任意一点， 因为 (a?c)2+(b?d)2表示点 (b,a)到点 (d,c)的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方， 所以 (a?c)2+(b?d)2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方 ,即曲线上与直线 y=2x 平行的切线到该直线的距离的平方。 ，令 y=2 ，得 x=0，此时 y=0，即过原点的切线方程为 y=2x， 则曲线上的点到直线距离的最小值的平方 d2= =1. 三、解答题（本题共 6
11、 小题， 17题 10分，其余各小题 12分，共 70分） 17. 根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程： （ 1）与椭圆 有公共焦点，且过 ； （ 2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 、 。 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： (1)首先求得公共焦点，然后求解椭圆方程可得方程为 ； (2)利用 待定系数法设出椭圆方程，结合椭圆经过点 、 可得椭圆的方程为 . 试题解析： 解：（ 1）椭圆 的焦点坐标为（ ， 0）， 椭圆过 M（ 3， 2）， 2a= + =2 ， . a= ， b= ， 椭圆的标准方程为 ； （ 2）设椭圆方程为 mx2+ny2=1（ m 0， n 0
12、） 椭圆经过两点 和 ， 9 ， m= ， n= ， 椭圆的标准方程为 18. 在单位正方体 中， O是 的中点，如图建立空间直角坐标系 . （ 1）求证 平面 ； （ 2）求异面直线 与 OD夹角的余弦值； 【答案】（ 1）见解 析（ 2） 【解析】 试题分析： (1)由 ，结合线面平行的判断定理即可证得结论； (2)利用空间直角坐标系可得异面直线夹角的余弦值为 . 试题解析： （ 1）解法一：连接 A1D则 A 1D. 而 A1D 平面 ， 平面 所以 平面 . 解法二：设平面 的一个法向量为 ， 由 得 ，令 ，则 10 所以 . 又 .从而 所以 平面 . 解：（ 2）法一：由（ 1）
13、知异面直线 与 的夹角为 或其补角 . 而 且 O为 中点，故 ， 所以两异面直线 与 的夹角 的余弦值为 . 法二：设 、 分别为直线 与 的方向向量， 则由 ， 得 cos= . 所以两异面直线 与 的夹角 的余弦值为 . 19. 已知函数 ， （ 1）求函数的的极值 ;. （ 2）求函数在区间 上的最大值和最小值。 【答案】 (1)极大值 ,极小值 （ 2） 最大值 ,最小值 【解析】 试题分析 :(1)对函数求导 ,通过分解因式解出导函数为 0的方程根 ,并根据二次函数的图象判断出导函数的正负 ,即原函数的单调增减区间 ,列出表格 ,进而求出极值 ;(2)根据定义域结合函数图象 ,比较端点值的大小确定出函数的最大值 ,极小值即为最小值 . 试题 解析 :(1) 令 ，得 或 令 ，得 或 ，令 ，得 当 变化时， 的变化情况如下表： 2 0 0 极 极
