1、一元二次方程的解法一元二次方程的解法1.1.一元二次方程的求根公是什么？一元二次方程的求根公是什么？aacbbx242一般地，对于一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a0，当，当b2-4ac0时，它的根是时，它的根是2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定进而确定a、b、c的值，再求出的值，再求出b2-4ac的值，的值，当当b2-4ac0的前提下，再代入公式求解；的前提下，再代入公式求解；当当b2-4ac0时，方程无实数时，方程无实
2、数 解解(根根)3.3.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：x2x1=0 x22 2x22x1=0 3x3=0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢？系不解方程得出方程的解的情况呢？不解方程，你能判断以下方程根的情况吗？不解方程，你能判断以下方程根的情况吗？x22x8=0 x2=4x4 x23x=33没有实数根没有实数根 答案：答案：1有两个不相等的实数根；
3、有两个不相等的实数根；2有两个相等的实数根；有两个相等的实数根；你能得出什么结论？你能得出什么结论？可以发现可以发现b24ac的符号的符号决定着方程的解。决定着方程的解。，x2=2 由此可以发现一元二次方程由此可以发现一元二次方程ax2bxc=0a0的根的情况可由的根的情况可由b24ac来判定来判定 当当b24ac0时，方程有时，方程有两个不相等的实数根两个不相等的实数根 当当b24ac=0时，方程有时，方程有两个相等的实数根两个相等的实数根 当当b24ac 0时，方程时，方程没有实数根没有实数根我们把我们把b24ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2bxc=0a0的根的判别式。的根的判别
4、式。假设一个一元二次方程的根的情况，是否能得到假设一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b24ac0 当一元二次方程有两个相等的实数根时，当一元二次方程有两个相等的实数根时，b24ac=0 当一元二次方程没有实数根时，当一元二次方程没有实数根时，b24ac 0 1.方程方程3x2+2=4x的判别式的判别式b2-4ac=，所以方程的根的情况是所以方程的根的情况是 .2.以下方程中，没有实数根的方程是以下方程中，没有实数根的方程是 22=3(4x-1)2+6y+7=0-8方程无实数根
5、方程无实数根D3.方程方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根，那么总成立的式有实数根，那么总成立的式子是子是 2-4ac0 B.b2-4ac0 C.b2-4ac0 D.b2-4ac0D例例1 1不解方程，判断以下方程根的情况：不解方程，判断以下方程根的情况：1 1-x2+x-6=0-x2+x-6=02 2x2+4x=2x2+4x=23 34x2+1=-3x4x2+1=-3x4 4x2-2mx+4x2-2mx+4m-1m-1=0=0解解1b2-4ac=24-4-1-6=0该方程有两个相等的实数根该方程有两个相等的实数根2 移项，得移项，得x2+4x-2=0 b2-4ac=16-41-2=16-
6、8 =16+8=240 该方程有两个不相等的实数根该方程有两个不相等的实数根62 例例1不解方程，判断以下方程根的情况：不解方程，判断以下方程根的情况：34x2+1=-3x4x2-2mx+4m-1=0解解3移项，得移项，得4x2+3x+1=0 b2-4ac=9-441=9-16=-70 该方程没有实数根该方程没有实数根4b2-4ac=2m2-414m-1 =4m2-16m-1 =4m2-16m+16 =2m-420 该方程有两个实数根该方程有两个实数根 例例2：m为任意实数，试说明关于为任意实数，试说明关于x的方程的方程x2-m-1x-3m+3=0恒有两个不相等恒有两个不相等的实数根。的实数根
7、。解：解：1253755103710334142222222mmmmmmmacb 不管不管m m取任何实数，总有取任何实数，总有m+5m+52020 b2-4ac=b2-4ac=m+5m+52+12122+12120 0不管不管m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根 例例3：m为何值时，关于为何值时，关于x的一元二次方程的一元二次方程 2x2-4m+1x+2m2-1=0：1有两个不相等的实数根？有两个不相等的实数根？2有两个相等的实数根？有两个相等的实数根？3没有实数根？没有实数根？解：a=2，b=-4m+1，c=2m2-1b2-4ac=-4m+
8、12-422m2-1=8m+9 89（1）若方程有两个不相等的实数根，则）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac c0 0，即即8m+98m+90 m0 m89（2 2）若方程有两个相等的实数根，则）若方程有两个相等的实数根，则b b2 2-4ac=0-4ac=0即即8m+9=0 m=8m+9=0 m=89（3 3）若方程没有实数根，则）若方程没有实数根，则b b2 2-4ac-4ac0 0即即8m+98m+90 m0 m898989当当m m 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；当当m=时，时，方程有两个相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；当m 时，方程没有实
9、数根时，方程没有实数根 例例4：关于：关于x的方程的方程kx22k1xk3=0有两个不相等的实数有两个不相等的实数根，求根，求k的取值范围。的取值范围。解：解：方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根即即k81 2k+12-4kk+304k2+4k+1-4k2-12k0-8k+101.1.不解方程，判断方程根的情况：不解方程，判断方程根的情况：1 1x2+3x-1=0;x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0(3)2y2-3y+4=0(4)x2+5=x(4)x2+5=x52取什么值时，方程取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个
10、相等的有两个相等的实数根？求这时方程的根。实数根？求这时方程的根。3.a、b、c分别是三角形的三边，那么关于分别是三角形的三边，那么关于x的一的一元二次方程元二次方程a+bx2+2cx+a+b=0的根的情况的根的情况是是 A、没有实数根、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根、可能有且仅有一个实数根C、有两个相等的实数根、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。、有两个不相等的实数根。一元二次方程的根的情况与系数的关系？一元二次方程的根的情况与系数的关系？b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程判别式
11、可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。情况。轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！引出新知引出新知探索新知探索新知问题问题1 1如图，把一张纸对折，剪出一个图案折如图，把一张纸对折，剪出一个图
12、案折痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形的例子吗？探索新知探索新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线成轴对称直线成轴
13、对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2 2观察下面每对图形如图，你能类比前观察下面每对图形如图，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出它们的共同特征吗？追问追问1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对
14、称轴，折叠后重合的点是对轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点 两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两
15、者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对
16、称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问2 2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC ABC 和和ABCABC关于直线关于直线MN MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN MN 垂直垂直线段线段AAAA，BBBB和和CCCC，并且直线，并且直线MN MN 还平分线段还平分线段AAAA，BBBB和和CCCC如如果将其中的果将其中的“三角形改为三角形改为“四边形四边形“五边形五边形其其他条件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于
17、这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直
18、平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l l 垂直线段垂直线段AAAA，BBBB，直线直线l l平分线段平分线段AAAA，BBBB或直或直线线l l 是线段是线段AAAA，BBBB的垂直平分的垂直平分线线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？的结论吗？探索新知探索新知问题问题4
19、4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如下图的每个图形是轴对称图形吗？如如下图的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练习课堂练习练习练习2 2如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 1 1本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？2 2轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？3 3成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
