1、测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.将五辆车停在5个车位上,其中A车不能停在1号车位上,则不同的停车方案有()A.24种B.78种C.96种D.120种解析:A车不能停在1号车位上,可先将A车停在其他四个车位中的任何一个车位上,有4种停法,然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列,有A44种停法,由分步乘法计数原理,共有4A44=424=96种停车方案.答案:C2.某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆
2、车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有()A.24种B.18种C.48种D.36种解析:分两类:大一两姐妹乘甲车,则有C32C21C21种坐法;大一两姐妹乘乙车,则有C31C21C21种坐法.共24种,故选A.答案:A3.4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是()A.48B.36C.24D.18解析:4位同学的总分为0的可能情况有3类:第
3、1类:4人都选甲,两人错,两人对,有C42种;第2类:4人都选乙,两人错,两人对,有C42种;第3类:有2人选甲一对一错,有2人选乙一对一错,有C42A22A22.共有:N=C42+C42+C42A22A22=36种.答案:B4.某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要,男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有()A.56种B.49种C.42种D.14种解析:(1)男生甲、乙有一人参加,女生丙参加,再从另外7人中任选2人,共有C21C72=42种;(2)男生甲、乙都参加,女生丙也参加,再从另7人中任选1人,有C71=7种.综合(1
4、)(2)得不同的选人方式有C21C72+C71=49种.答案:B5.将二项式x+124x8的展开式中所有项重新排成一列,有理式不相邻的排法种数为()A.A73B.A66A63C.A66A73D.A77A73答案:C6.设aZ,且0a13,若512 012+a能被13整除,则a=()A.0B.1C.11D.12解析:52能被13整除,512 012可化为(52-1)2 012,其二项式展开式的通项为Tr+1=C2 012r522 012-r(-1)r.故(52-1)2 012被13除余数为C2 0122 012(-1)2 012=1,则当a=12时,512 012+12被13整除.答案:D7.设
5、5x-1xn的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为()A.-150B.150C.300D.-300解析:由已知条件知4n-2n=240,解得n=4,Tr+1=C4r(5x)4-r-1xr=(-1)r54-rC4rx4-3r2,令4-3r2=1,得r=2,T3=150x,故选B.答案:B8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目,则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是()A.15B.45C.60D.75解析:从4个重点项目和6个一般项目各选2个项目共有C42C62=90种不同选法,重点项目A和一般
6、项目B都不被选中的不同选法有C32C52=30种.所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的选法有90-30=60种.答案:C9.二项式ax-363的展开式的第二项的系数为-32,则-2a x2dx的值为()A.3B.73C.3或73D.3或-103解析:二项式ax-363的展开式的第二项为T2=C31(ax)2-36=-32a2x2,a2=1,即a=1.则-2-1 x2dx=13x3|-2-1=73,-21 x2dx=13x3|-21=3,故选C.答案:C10.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合
7、的概率等于()A.175B.275C.375D.475解析:如下图,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,共有C62C62=1515=225种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合的有ACDB,ADCB,AEBF,AFBE,CEFD,CFED,共12对,所以所求概率为P=12225=475.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,其中恰好有一个红球和一个黑球编号相同的取法种数为.解析:任取一个红球,有C51种取法,接着取与红球编号相同的一个
8、黑球;再在剩下的8个球中取编号互不相同的两球,种数为C41C31+C21C42.所以满足题意的取法种数为C51(C41C31+C21C42)=120.答案:12012.在(1+x)3+(1+x)3+(1+3x)3的展开式中,x的系数为.(用数字作答)解析:由题意,得x的系数为C31+C32+C33=3+3+1=7.答案:713.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有个.解析:个位数有A41种取法;千位数有A41种取法;中间两位有A42种排法,故由乘法原理得A41A41A42=192.答案:19214.将4名新来的同学分配到A,B,C三个班级中,每个班
9、级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案有种.解析:将4名新来的同学分配到A,B,C三个班级中,每个班级至少安排1名学生有C42A33种分配方案,其中甲同学分配到A班共有C32A22+C31A22种方案.因此满足条件的不同方案共有C42A33-C32A22-C31A22=24(种).答案:2415.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的01.三角数表,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,第n次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是.解析:用不完全归纳法猜想得出.答案:2n-132三、解答题(本大题共2小题,共2
10、5分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)有6本不同的书:(1)全部借给5人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?(2)全部借给3人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?分析:(1)利用“捆绑法”求解;(2)先分堆再让三人取书.解:(1)将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5个人,共有C62A55=1 800种借法.(2)将6本书分成三份有3种分法.第一种是一人4本,一人1本,一人1本;第二种是一人3本,一人2本,一人1本;第三种是每人各2本;然后再将分好的三份借给3个人,有C64C21C11A22+C63C32+C62C42C22A33A33=540种借法.17.(
11、13分)(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解:T6=Cn5(2x)5,T7=Cn6(2x)6,依题意有Cn525=Cn626,则n=8.故(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为T5=C84(2x)4=1 120x4.设第r+1项系数最大,则有C8r2rC8r-12r-1,C8r2rC8r+12r+1,即8!2r!(8-r)!8!(r-1)!(8-r+1)!8!r!(8-r)!8!2(r+1)!(8-r-1)!2(8-r+1)rr+12(8-r)5r6.又rN,r=5或r=6.故系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
