1、 1 惠来 2016 2017 年度第二学期第一次阶段 考 高二数学 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分为 150分，考试时间 120分钟。 第卷 选择题 (共 60分 ) 一、选择题（ 本大题共 12小题 ， 每小题 5分 ， 共 60分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.若 函数 ()y f x? 在区间 (, )ab 内可导，且 0 ( , )x ab? 则 000 ( ) ( )limh f x h f xh? ?的值为（ ） A. 0()fx B. 0()fx? C. 02 ( )fx? D.0 2.下列说法中 不 正确的个数是 ( ) 对于定义域内的可导函
2、数 ()fx， ()fx在某处的导数为 0是 ()fx在该处取到 极值 的必要不充分条件； 命题 “ ,cos 1x R x? ? ?” 的否定是 “ 00, cos 1x R x? ? ?” ； 若一 个命题的逆命题为真， 则它的否命题一定为假 A 0 B 1 C 2 D 3 3若1 1( 2 ) d x 3 ln 2a x x? ? ?，则 a 的值是 ( ) A 6 B 4 C 3 D 2 4.椭圆 2 2 14x y?的两个焦点为 F1、 F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P ， 则 P 到 F2 的距离为（ ） A 32B 3 C 72 D 4 5. ? ?
3、 21 cos4f x x x?， ?fx? 为 ?fx的导函数，则 ?fx? 的 是 （ ） 6已知函数 ? ? 21ln 22f x x a x x? ? ?有两个极值点，则 a 的取值范围是（ ） A ? ?,1? B.? ?0,2 C.? ?0,1 D.? ?0,3 2 7.已知 60 ?x是函数 ( ) sin(2 )f x x ?的一个极 小 值点，则 ()fx的一个单调递减区间是（ ）A ? 3465 ?，B ? 653 ?，C ? ?，2D ? ?，328 已知数列 na 为等比数列，且 2 22 0 1 3 2 0 1 5 0 4a a x d x? ? ?，则 2014 2
4、012 2014 2016( )a a a a?的值为（ ） A 2? B 2? C ? D 24? 9 设函数 3( ) 4 ( 0 2 )f x x x a a? ? ? ? ?有三个零点 1 2 3,x x x ，且 1 2 3x x x?， 则下列结论正确的是（ ） A 1 1x? B 2 0x? C 201x? D 3 2x? 10.若函数 1 0 , 0axf x e a bb? ? ? ?（ ） （ ）的图象在 0x? 处的切 线与圆 22=1xy? 相切，则 ab? 的最大值是（ ） A 4 B 22 C 2 D 2 11.定义在 ? 20?，上的函数 ? ? ? ?xfxf
5、, 是导函数，满足 ? ? ? ? xxfxf tan ? ，则下列表达式正确的是（ ） A. ? 3243 ? ffB. ? ? 1s in621 ? ?ffC. ? 462 ? ffD. ? 363 ? ff12. 若存在正实数 m ，使得关于 x 的方程 ( 2 2 - 4 ) l n ( ) l n 0x a x m e x x m x? ? ? ? ?有两个不同的根，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围为（ ） A. ( 0)?， B. 1(0 )2e， C. 1( 0) ( )2e? ? ? ?， ， D. 1()2e ?， 第卷 非选择题 (共 90分 ) 二、填空
6、题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分） 13若曲线 2 lny ax x?在点 (1, )a处的切线平行于 x轴，则 a? 14已知 axxxf ? 3)( 在 1, )? 上是单调增函数，则 a 的最大值是 15 如图，在正方形 OABC 内任取一 点，取到函数 yx? 的图象与 x 轴正半轴之间 （阴影部分）的点的概率等于 16 已知函数 ?fx及其导数 ?fx? ，若存在 0x ，使得 0()fx 0()fx，则称 0x 是 ?fx的一个“巧3 值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数有 个 ? ? 2f x x? ， ? ? xf x e? ， ? ? lnf x x
7、? ， ? ? tanf x x? ， ? ? 1f x x x?. 三、解答题 17. (本小题满分 10分 ) 如图，在平面四边形 ABCD 中 ， AB AD? ， 1AB? ， 7AC? ， 23ABC ?， 3ACD ?. （ 1）求 sin BAC? ； （ 2）求 DC 的长 . 18 (本小题满分 12分 ) 已知函数 ? ? 3ln42xaf x xx? ? ? ?，其中 aR? ,且曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?1, 1f 处的切线垂直 于直线 12yx? . （ 1）求 a 的值； （ 2）求函数 ?fx的单 调区间及极值 19 （本小题满分 12 分） A C
8、D B (第 17 题图 ) 4 已知数列?na的前项 n和为S，1 1a?，nS与13nS?的等差中项是 32? (1)证明数列23 ?nS为等比数列； (2)求数列?n的通项公式； (3)若对任意正整数 n，不等式nkS?恒成立，求实数k的最大值 20 （本小题满分 12 分） 已知四棱锥 P ABCD? ,底面 ABCD 是直角梯形， AD BC , 90BCD?, PA ABCD?底 面 ， ABM? 是边长为 2 的等边三角形， 23PA DM? （ 1）求证：平面 PAM PDM?平 面 ； （ 2） 若点 E 为 PC 中点 ,求 二面角 P MD E?的余弦值 E 5 21 （
9、本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 221 : 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?的左焦点为 1( 1,0)F? ，且点 (0,1)P 在 1C 上 (1)求椭圆 1C 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 1C 和抛物线 22 :4C y x? 相切，求直线 l 的方程 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? ? ? 12 ln 2f x a x a xx? ? ? ?（ 0a? ） ?1 当 0a? 时，求 ?fx在 1x? 处的切线方程； ?2 当 0a? 时，讨论 ?fx的单调 性； ?3 若 ? ?3, 2a? ? ? ? ， 1x ，
10、 ? ?2 1,3x ? ，有 ? ? ? ? ? ?12l n 3 2 l n 3m a f x f x? ? ? ?，求实数 m 的取值范围 6 答案： 1.B 2.C 3.D 4.C 5 A 6. C 7. B 8 A 9. C 10. D 11.B 12.D 13. 12 14.3 15.23 16.3 17.（ 1）在 ABC? 中 ， 由余弦定理得 ： 2 2 2 2 c o sA C B C B A B C B A B? ? ? ?， ? 1分 即 2 60BC BC? ? ? ，解得 ： 2BC? ， 或 3BC? （舍），? 3分 由正弦定理得： 4 s i n 2 1s i
11、 n .s i n s i n 7B C A C B C BBACB A C B A C? ? ? ? ? 分? 5分 （ 2）由（ 1）有 ： 21c o s s in7C A D B A C? ? ? ?， 3 2 7s in 177C A D? ? ? ?，? 6分 所以 2 7 1 2 1 3 5 7s i n s i n3 7 2 7 2 1 4D C A D ? ? ? ? ? ? ? ?, ? 8分 由正弦定理得：277s in 4 77 .s in s in s in 55714D C A C A C C A DDCC A D D D? ? ? ? ? ? 10分 （其他方法相
12、应给分） 18.【解析】（ 1）对 ()fx求导得 xxaxf 141)(2 ?， ? 1分 知 ? ?/ 31 4fa? ? ， ? 2分 由在点 ? ?1, 1f 处的切线垂直于直线 12yx? ， 则 3 24 a? ? ? ， ? 3分 解得 54a? ，所以， a 的值为 54 ? 4分 （ 2）由（ 1）知 ? ? 53ln4 4 2xf x xx? ? ? ? ， 定义域为 (0 )?， ， ? 5分 则 ? ? 2245 4xxfx x?， ? 6分 令 ? ?/ 0fx? ，解得 1x? 或 5x? ，因 1x? 不在 ?fx的定义域 ? ?0,? 内，故舍去 ?7 分 当
13、? ?0,5x? 时， ? ? 0fx? ? 8分 当 ? ?5,x? ? 时， ? ?0fx? ? 9分 由此知函数 ?fx在 5x? 时取得极小值 ? ?5 ln5f ? ? 10分 综上得， ?fx的递增区间为 ? ?5,? ，递减区间 为 ? ?0,5 ，极小值为 ? ?5 ln5f ? ，无极大值 ?12分 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性、函数的极值 7 19.解 :（ 1）因为nS和13 ? nS的等差中项是23?， 所以33 1 ? ?nn S（*N?），即1311 ? nn SS，? 1分 由此得)23(31213123)131(231 ? nnnn SSS
14、（*N?）， 即3123231 ?nnS（*n），? 3分 又212323 11 ? a， ? 4分 所以数列23 ?nS是以21?为首项， 为公比的等比数列 . ? 5分 （ 2）由（ 1）得1)31(212 ? nn，即1)31(21 ? nnS（*Nn?），? 6分 所以，当2?n时，1211 3 1)31(212)31(2123 ? ? nnnnnn SSa，? 7分 又1?时，11?a也适合上式，? 8分 所以)(3 *1 Nnnn ?. ? 9分 （ 3）要使不等式nkS?对任意正整数n恒成立，即k小于或等于nS的所有值 . 又因为1)3(2123 ? nnS是单调递增数列 , ?
15、 10分 且当1?n时，nS取得最小值1)31(2123 111 ? ?, ? 11 分 要 使k小于或等于 的所有值，即1?k, 所以实数 的最大值为 1. ? 12 分 20.解答：（ 1） ABM? 是边长为 2 的等边 三角形 , 底面 ABCD 是直角梯形， 3,CD? 又 2 3 , 3,D M C M? ? ? 3 1 4,AD? ? ? ? 2 2 2 ,.A D D M A M D M A M? ? ? ? ? 2分 又 ,PA ABCD?底 面 ,DM PA? ? 3 分 ,PA AM A? 4 分 ,DM PAM?平 面 ? 5 分 D M P D M?平 面 ， 平 面
16、 .PAM PDM? 平 面 ? 6分 8 （ 2）以 D 为原点， DC 所在直线为 x 轴， DA 所在直线为 y 轴， 过 D 且与 PA 平行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 D xyz? ， 则 ( 3,0,0),C ( 3,3,0),M (0,4,2 3),P ? 7分 设平面 PMD 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z? ， 则 113 3 0 ,4 2 3 0xyyz? ?取 113, (3, 3 , 2 ).xn? ? ? ? ? 8分 E 为 PC 中点，则 ,2, )3 32E（ ， 设平面 MDE 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x
17、y z? ， 则 222 2 23 3 0,3 + 2 3 02xyx y z? ? ?取22 13 ( 3, 3 , ).2xn? ? ? ? 10分 由 121213co s 14nnnn?ur uurur uur ?二面角 P MD E?的余弦值为 1314 ? 12分 21. 解： (1):依题意： c=1,? 1分 则 2222220111abab? ? 2分 解得： 12?b ， 211122 ? ba ? ? 3分 故椭圆方程为： 12 22 ?yx ? 4分 （ 2） 直线 l 的斜率显然存在，不妨设直线 l 的 方程为 y kx m?， ? 5 分 2 2 12x yy kx m? ?，消去 y 并整理得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m? ? ? ? ?， 因为直线 l 与椭圆 1C 相切，所以 2 2 2 21 6 4 (1 2 ) ( 2 2 ) 0k m k m? ? ? ? ? ?， 整理得 222 1 0km? ? ? ? 7分 2 4yxy kx m? ? ?，消去 y 并整理
