1、 1 广东省阳江市阳东区 2016-2017学年高二数学下学期第一次质量检测试题 理 2017 3 27 一、选择题（ 5 12=60分） 1. z 是 z 的共轭复数，若 ? ?2 , 2 (z z z z i i? ? ? ?为虚数单位 ) ，则 z =（ ） A 1i? B 1i? C 1i? D 1i? 2. 若 ? ? 2 2 4 lnf x x x x? ? ?,则 )(xf 的增区间为（ ） A (0, )? B ? ? ? ?1, 0 2,? ? ? C ? ?2,? D ? ?1,0? 3.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A.两条直线平行，同旁内角互补，如果 A和 B
2、是两条平行直线的同旁内角，则 A+ B=180 B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 C.某校高三共有 10个班， 1 班有 51人， 2班有 53人， 3班有 52 人，由此推测各班都超过 50人 D.在数列 na 错误 !未找到引用源。 中， )2)(1(21,1 111 ? ? naaaa nnna1=1，由此归纳出na 错误 !未找到引用源。 的通项公式 4. 数列 1 1 1 1 1 1 1 1 11, , , , , , , , ,2 2 3 3 3 4 4 4 4， ? , 的前 100项的和等于（ ） A 91314 B 111314 C 11414 D 31414 5
3、. 设 x， y， z R ， a x 1y， b y 1z， c z 1x，则 a， b， c三数 ( ) A至少有一个不大于 2 B都小于 2 C至少有一个不小于 2 D都大于 2 6. 由直线 0,32,0 ? yxx ? 与曲线 xy sin2? 所围成的图形的面积等于 ( ) A.3 B.23 C.1 D.21 错误 !未找到引用源。 7.用数学归纳法证明 )12)(1()12(321 ? nnn时，从 k? 到 1?kn ，左边需增添的代数式是（ ） A 22?k B 32?k 2 C 12?k D )32()22( ? kk 8. 已知函数 y xf( x)的图象如下图所 示，其
4、中 f( x)是函数 f(x)的导函数，函数 y f(x)的图象大致是图中的 ( ) 9. 若由曲线 y x2 k2与直线 y 2kx 及 y轴所围成的平面图形的面积 S 9，则 k ( ) A.3 3 B 3或 3 C.3 D 3 10.观察下 列等 式： 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72， ? ， 则第 n个式子是 ( ) A n (n 1) (n 2) ? (2n 1) n2 B n (n 1) (n 2) ? (2n 1) (2n 1)2 C n (n 1) (n 2) ? (3n 2) (2n 1)2 D n (n 1) (n
5、2) ? (3n 1) (2n 1)2 11. 已知 ? ? 32f x x bx cx d? ? ? ?在区间 ? ?1,2? 上是减函数，那么 bc? （ ） A有最大值 152 B有最大值 152? C有最小值 152 D有最小值 152? 12. 已知 a0 ，函数 f(x) (x2 2ax)ex，若 f(x)在 1,1上是单调减函数，则 a的取值范围是 ( ) A.? ?0， 34 B.? ?12， 34 C.? ?34， D.? ?0， 12 二、填空题（ 5 4=20分） 13.i 是虚数单位，若复数 ? ? ?12i a i?是纯 虚数，则实数 a 的值为 14.已知3 ? ?
6、 , 0,1 xf x xx? 若 ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 , , ,nnf x f x f x f f x n N? ? ?则 ? ?2015fx的表达式为 15.定积分 dxx? ?10 21 16.设曲线 ? ?1ny x n N?在点 ? ?1,1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ,nx 令 lg ,nnax? 则1 2 99.a a a? ? ? 的值为 三 、解答题（共 70分 ） 17.（本小题满分 10分） 设复数 z (1 i)2 3(1 i)2 i ，若 z2 az b 1 i，求实数 a， b的值 18（本小题满分 12分） 如图，过点 A(6,4)作
7、曲线 f(x) 4x 8的切线 l. (1)求切线 l的方程； (2)求切线 l、 x轴及曲线 f(x) 4x 8所围成的封闭图形的面积S. 19（本小题满分 12分） 请你设 计一个包装盒，如图所示， ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起 ，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E 、 F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE FB x?()cm . (1) 某广告商要求包装盒侧面积 ? ?2Scm 最大，试问 x 应取何值？ 4 (2) 某广告商要求包装盒容积
8、? ?3Vcm 最大，试问 x 应取何值 ？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 . 20（本小题满分 12分） 已知数列 ?na 满足 ? ?11 1, 2n na a a n Na ? ? ?. （ 1）求 234,a a a ； （ 2）猜想数列 ?na 的通项公式，并用数学归纳法证明 . 5 21（本小题满分 12分） 已知函数 f(x) x lnx， g(x) ( x2 ax 3)ex(a为实数 ) (1)当 a 5时，求函数 y g(x)在 x 1处的切线方程； (2)求 f(x)在区间 t， t 2 (t0)上的最小值 22（本小题满分 12分） 设函数 f(x) (x 1)3
9、ax b， x R，其中 a， b R. ( )求 f(x)的单调区间； ( )若 f(x)存在极值点 x0，且 f(x1) f(x0)，其中 x1 x0，求证： x1 2x0 3 6 2016-2017学年第二学期第一次质量检测试 题答案 （理科数学） 一、选择题（ 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A A C A D C. B C B C 二、填空题（ 20 分） 13. 2? 14. ? ?2015 1 2 0 1 5xfx x? ?15.4? 16. 2? 部分题目祥解如下： 5.【解析】 a b c x 1y y 1z z 1x6
10、，因此 a、 b、 c至少有一个不小于 2.选 C. 8. 由 y xf( x)的图象可得当 x0，所以当 x1时， f( x)0，所以 f(x)在 (1， ) 上增函数，所以选择 C. 9.由? y x2 k2，y 2kx. 得 (x k)2 0，即 x k，所以直线与曲线相切，如图所示，当 k0时， S ?k0(x2 k2 2kx)dx ?k0(x k)2dx 13(x k)3|k0 0 13( k)3 k33，由题意知k33 9， k 3.由图象的对称性可知 k 3也满足题意，故 k 3. 10.由已知 得第 n个式子左边是 2n 1项的和且首项为 n，以后是各项依次加 1， 设最后一项
11、应为 m，则 m n 1 2n 1， 所 以 m 3n 2. 法二 :特值验证法 n 2时， 2n 1 3,3n 1 5，都不是 4，故只有 3n 2 4 11 由题意 f( x) 3x2 2bx c在 1,2上， f( x)0 恒成立 所以? f f ， 即? 2b c 304b c 12 0 ， 令 b c z， b c z， 如图 A? ? 6， 32 是使得 z最大的点，最大值为 b c 6 32 152.故应选 B. 12.f( x) (2x 2a)ex (x2 2ax)e2 x2 (2 2a)x 2aex，由题意当 x 1,1时， f( x)07 恒成立，即 x2 (2 2a)x
12、2a0 恒成立令 g(x) x2 (2 2a)x 2a，则有? ? 0)1( 0)1(gg即? 2 2a 2a0 ，12 2 2a 2a0 ， 解得 a34. 16 k y| x 1 n 1， 切线 l： y 1 (n 1)(x 1)， 令 y 0， xn nn 1， an lg nn 1， 原式 lg12 lg23 ? lg99100 lg12 23? 99100 lg 1100 2. 三、解答题（共 70分） 17. 解： z (1 i)2 3(1 i)2 i 2i 3(1 i)2 i 3 i2 i (3 i)(2 i)(2 i)(2 i) 1 i， ? .3分 将 z 1 i代入 z2
13、az b 1 i，得 (1 i)2 a(1 i) b 1 i， 即 (a b) (a 2)i 1 i， ? ? .? .5分 所以? a b 1， (a 2) 1. ? .? .8 分 所以? a 3，b 4. ? .? .10分 18 【解析】 解： (1)因为 f( x) 1x 2，所以 f(6) 12， ? .? .3分 所以切线 l的方程为 y 4 12(x 6)，即 x 2y 2 0. ? .6分 (2)令 f(x) 0，则 x 2， 令 y 12x 1 0，则 x 2. ? .8分 故 S 6 2 ? ?12x 1 dx 62 4x 8 dx ? ?14x2 x | 6 2 16
14、(4x 8)32 | 62 163 .? 12分 19 【 解析】 解：设包装盒高为 ? ?hcm ，底面边长为 ? ?acm ，由已知得 8 300),30(22 260,2 ? xxxhxa ? 2分 1800)15(8)30(84)1( 2 ? xxxahS 所以当 15x? 时， S 取得最大值 . ? 4分 (2) ? ? ? ?2 3 22 2 3 0 , 6 2 2 0V a h x x V x x? ? ? ? ? ?. ? .6分 由 0V? 得 0x? (舍 ) 或 20x? .? .8分 当 ? ?0,20x? 时， 0V? ；当 ? ?20,30x? 时， 0V? .
15、所以当 20x? 时， V 取得极大值，也是最大值 . ? .10 分 此时 12ha? 即包装盒的高与底面边长的比值为 12 . ? .12 分 20【解析】 解：（ 1）由1 12n na a? ? ?可得2 111,22a aa?3211122 2a a a? ? ?2 ,32aa? ? 4 312a a? ? 12232aa? ?3243aa? ? .? ? 3分 . （ 2）猜想 ? ? ? ? ? ? ?121n n n aa n Nn n a ? ? ?.? .5分 下面用数学归纳法证明： 当 1n? 时，左边 1 ,aa? 右边 ? ? ? ? ?1 1 1 2 ,1 1 1
16、a aa?猜想成立 . ? .7分 假设 nk? ? ?kN? 时猜想成立，即 ? ? ? ? ?121k k k aa k k a? ? ? ?， 当 1nk?时，1 12k ka a? ? ? ? ? ? ? ?11221k k ak k a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 ( 1 ) 1 2k k ak k a k k a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1( 1) ( 1) 1k k ak k a? ? ? ? ?，故当 1nk?时，猜想也成立 . ? .10分 由 ，可知，对任意 kN? 都有 ? ? ? ? ?121n n n aa n n a? ? ? ?成立 . ? 12 分 9 21解： (1)当 a
