1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 01 满分 150分时间 120分钟 第 卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1 2,则实数 a等于 ( ) A 1 B 1 C D、 【答案】 B 2若函数?fx满足? ? 0 3?，则? ? ? ?0003limhf x h f x hh? ? ? ?( ) A -3 B -6 C -9 D -12 【答案】 D 3已知物体的运动方程是234 16441 ttts ?（t表示时间，s表示位移），则瞬时速度为 0的时刻是 ( )
2、A 0秒、 2秒或 4 秒 B 0秒、 2秒或 16秒 C 2秒、 8秒或 16秒 D 0秒、 4秒或 8秒 【答案】 D 4曲线 y=2x2在点 P(1， 2)处的切线方程是 ( ) A 4x-y-2=0 B 4x+y-2=O C 4x+y+2=O D 4x-y+2=0 【答案】 A 5由曲线 y x2和直线 x 0， x 1， y t2， t (0,1)所围成的图形 (阴影部分 )的面积的最小值为 ( ) A 14 B 13 C 12 D 23 【答案】 A 6函数sincosxx?的导数为 ( ) A222cos sincosxxx?B222cos sincosxxx?C 2si?D2
3、si?【答案】 C - 2 - 7已知曲线1 12y x?与322 2y x x x? ? ?在0xx?处切线的斜率的乘积为 3，则0x的值为( ) A -2 B 2 C12D 1 【答案】 D 8过点（ 0， 1）且与曲线11?xxy在点（ 3， 2）处的切线垂直的直线的方程为 ( ) A01?yxB01?yxC022 ?yD022 ?yx【答案】 A 9若? ?12 3 ln 2 1a x dx ax? ? ? ?,则a的值是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 6 【答案】 A 10若曲线12yx?在点12,aa?处的切线与两个坐标轴 围成的三角形的面积为 18，则a?( ) A64B3
4、2C16D8【答案】 A 1120 (si n cos )x x dx? ?( ) A 0 B 1 C 2 D2【答案】 A 12已知直线 ax by 2=0与曲线 y=x3在点 P(l， 1）处的切线互相垂直，则ab的值为 ( ) A13B2C23D13【答案】 D 第 卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在题中横线上 ) 13若函数 f (x) 12x2 ax lnx存在垂直于 y轴的切线 ，则实数 a的取值范围是 _ 【答案】 2， ) 14已知函数2( ) 3 2 1,f x x x? ? ?若1 ( ) 2 ( )f
5、 x dx f x?成立，则0x?_。 【答案】 1?或315已知)(xf为一次函数 ,且20( ) 2 (f x x f t dt?,则)(xf=_. 【答案】) 2 4f x?16由曲线, 1, 1xy e x y? ? ?所围成的图形面积是 . - 3 - 【答案】2?e三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17已知函数)(xf满足)()2(2 xfxf ?当)21(ln)(,)2,0( ? aaxxxfx 时， )2,4( ?x时 的最大值为4?。 (）求,)2,0( 时函数)(xf的解析式； (）是否存在实数b使得不等式xxxf b
6、x ?)对于)2,1()1,0( ?时恒成立若存在，求出实数b的取值集合 ;若不存在，说明理由 【答案】（ 1）由已知得：( )=2 ( +2 )=4 ( +4 )f x f x f x ，? ? 10 , 2 ( ) ln ( )2x f x x ax a? ? ? ? ?因 为 时 ， ，? ? ? ? ? ?4 , 2 +4 0 , 2 ( +4 ) =l n( +4 ) + +4x x f x x a x? ? ? ?设 时 ， 则 ， 所 以? ? ? ?4 , 2 ( ) =4 ( +4 ) 4l n( +4 ) +4 +4x f x f x x a x? ? ? ?时 , ? 3
7、分 144) 4 444 af x a axx ? ? ? ? ?，12a?，14 4 2a? ? ? ? ? ?， 当1 4 ( ) 0 ( )f x f xa? ? ? ?， 时 ， ， 为 增 函 数， 当1 4 2 ( ) 0 ( )f x f xa ? ?， - 时 ， ， 为 减 函 数， 1 1 1( ) ( 4) 4 l n( ) 4 ( ) 4m axf x f aa a a? ? ? ? ? ? ? ? ?，1a?当? ?0,2x?时，( ) lnf x x x?(2）由（ 1）可得：? ? ? ?0,1 1,2x?时，不等式()xb xf x x? ?恒成立， 即为lnx
8、bxx? ?恒成立， 当? ?0,1x?时，lnln x b x x xx? ? ? ? ?，令( ) ln , ( 0 ,1)g x x x x? ? ?- 4 - 则ln 1 2 ln 2( ) 1 22x x xgx x x x? ? ? ? ?令( ) 2 ln 2h x x x? ? ?，则当? ?0,1x?时，1 1 1( ) 0xhx xxx ? ? ? ?( ) (1) 0x h?，()( ) 0hxx? ?， (1) 1g g?，故此时只需1b?即可； 当? ?1,2x?时，lnlnxb b x x xx? ? ? ? ?，令( ) ln , (1, 2)x x x x? ?
9、 ? ?则ln 1 2 ln 2( ) 1 x x xx x x x? ? ? ? ? ?令( ) 2 ln 2h x x x? ? ?，则当? ?1,2x?时，1 1 1( ) 0xhx x ? ? ? ?( ) (1) 0x h，()( ) 0hxx x?， (1) 1?，故此时只需1b?即可， 综上所述：1b?，因此满足题中 的取值集合为：?18（）已知函数axxxxf ? ln)( 2在),0(上是增函数 ,求a的取值范围 ; (）在（）的结论下 ,设12 ? xx aeeg，?x? ?3ln,求)(xg的最小值 . 【答案】（ 1）axxf ? 12)(, f（ x） 在（ 0， 1
10、）上是增函数 , 2x+x1-a 0在（ 0,1）上恒成立 ,即 a 2x+x1恒成立 , 只需 a（ 2x+1） min即可 . 2x+ 2(当且仅当 x=2时取等号） , a2(2） 设? ? ? ?.3,1,3ln,0, ? txte x ?设)41()2(1)( 222 aatattth ?，其对称轴为 t=a，由（ 1）得 a2， t=a23则当 12 ,即 2 a2时 ,h（ t）的最小值为 h（ ） =-1-42, - 5 - 当2a 1,即 a 2时， h（ t）的最小值为 h（ 1） =-a 当 2 a2时 g（ x） 的最小值为 -1-42a, 当 a 2 时 g（ x）
11、的最小值为 -a. 19已知：函数)1ln(21)( 2 xaxxxf ?，其中Ra? (）若2?是)(xf的极值点，求 的值； (）求f的单调区间； (）若)(x在0, )?上的最大值是 ，求a的取值范围 【答案】（）(1 )( ) , ( 1 , )1x a axf x xx? ? ? ? ? 依题意，令(2) 0f? ?，解得 13a? 经检验，13时，符合题意 (）解： 当0?a时，() 1xfx x? ? 故)(xf的单调增区间是0, )?；单调减区间是0,1(? 当0?时，令( ) 0fx? ?，得1?，或2 1 1a? 当10 ?a时，()与?的情况如下： 所以，()fx的单调增
12、区间是1( , )a?；单调减区间是)0,1(?和1, )? 当1?a时，)(xf的单调减区间是)? 当?时，210x? ? ?， 与()?的情况如下： - 6 - 所以，()fx的单调增区间是1( 1,0)a?；单调减区间是1( 1, 1)a?和(0, )? 当0?a时，)(xf的单调增区间是, )?；单调减区间是0,1? 综上，当?时， 的增区间是 ，减区间是)(； 当10 ?a时， 的增区间是(0, 1)a?，减区间是,和1 , )?； 当1?a时，)(xf的减区间是),1?； 当?时，()fx的增区间是1 1,0)a?；减区间是1, 1)a和(0 (）由（）知 a?时，)(xf在(0,
13、 )?上单调递增，由00( ?f，知不合题意 当10 ?a时，)xf在( , )的最大值是( )f a?， 由1( 1) (0) 0ffa ? ? ?，知不合题意 当1?a时，)(xf在(0, )?单调递减， 可得f在 , )上的最大值是00( ?f，符合题意 所以，)(x在 上的最大值是0时，a的取值范围是1, )? 20已知函数 f(x) ex ax， 其中 a 0. (1）若对一切 x R， f(x) 1恒成立，求 a的取值集合； (2）在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1， f(x1)， B(x2， f(x2)(x1 x2)，记直线 AB的斜率为k，证明：存在 x0 (x1， x
14、2)，使 f (x0) k成立 . 【答案】 （ 1） f (x) ex a.令 f (x) 0得 x lna. 当 x lna时， f (x) 0， f(x)单调递减；当 x lna时， f (x) 0， f(x)单调递增 .故当 x ln a时， f(x)取最小值 f(lna) a alna. 于是对一切 x R， f(x) 1恒成立，当且仅当 a alna 1. 令 g(t) t tlnt，则 g (t) lnt. 当 0 t 1时， g (t) 0， g(t)单调递增； 当 t 1 时， g (t) 0， g(t)单调递减 . 故当 t 1时， g(t)取最大值 g（ 1） 1.因此，
15、当且仅当 a 1时，式成立 . 综上所述， a的取值集合为 1. (2）由题意知， k f x2 f x1x2 x12121e -e-xxxx a. 令 (x) f (x) k ex-，则 (x1)121e-xx (x2 x1) 1， - 7 - (x2)221e-xxx12e (x1 x2) 1. 令 F(t) et t 1，则 F (t) et 1. 当 t 0 时， F (t) 0， F(t)单调递减； 当 t 0 时， F (t) 0， F(t)单调递增 . 故当 t 0时， F(t) F(0) 0，即 et t 1 0. 从而-xx (x2 x1) 1 0，-xx (x1 x2) 1
16、 0，又121e-x 0，2-x 0， 所以 (x1) 0， (x2) 0. 因为函数 y (x)在区间 x1， x2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在 x0 (x1， x2)，使 (x0) 0，即 f (x0) k成立 . 21判断函数32( ) 2 5f x x x? ? ? ?-2,在 区 间 上 的单调性，并求其? ?-2, 2在 区 间 上 的最大值与最小值。 【答案】 ? ?2 12 4( ) 3 - 4 0 0 , .3f x x x f x x x? ? ? ?， 令 解 得根据?fx?，? ?y f x?随12,xx的变化情况列表如下： 由上表可知：? ?y f x?的单
17、调递增区间为（ -2,0）和4,23?，单调递减区间为40,3计算并比较函数在区间? ?2,2?上的极值和端点值：? ?2 11f ? ?05?，4 1033 27f ?，? ?25f ?可知：? ?y f x?在区间? ?2,2?上的最大值是 5，最小值是 -11 22甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km的 B处，乙厂到河岸的垂足 D与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a元和 5 元，问供水站 C建在岸边何处才能使水管费用最省？ - 8 - 【答案】解法一：根据题意知，只有点 C在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距 D点 x km, 则 BD=40,AC=50x, BC=2222 40? xCDBD又设总的水管费用为 y 元，依题意有：y=3a(50 x)+5a 22 40?x(0 50)x?y = 3a+22 405?ax,令 y =0,解得x=30 在 (0,50)上， y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x=30(km)处取得最小值，此时 AC=50 =20(
