1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 4：韦达定理应用探讨：韦达定理应用探讨 韦达，1540 年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研 数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的 重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二 次方程根与系数关系的结论称为韦达定理） 。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为代数学之父。 韦达定理说的是： 设一元二次方程 2 ax +bx+c=0 a0有二实数根 12 xx， 则 1212 bc x +x =xx = aa ，。
2、 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a，b，c 的关系。其逆命题：如果 12 xx，满 足 1212 bc x +x =xx = aa ，那么 12 xx，是一元二次方程 2 ax +bx+c=0 a0的两个根也成立。 韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式 2 =b4ac0。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。我们将 其应用归纳为：不解方程求方程的两根和与两根积； 求对称代数式的值； 构造一元二次方程； 求方程中待定系数的值； 在平面几何中的应用；在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考
3、的实例探讨其应用。 一、不解方程求方程的两根和与两根积：一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根 和与两根积。 典型例题：典型例题： 例 1：（湖北武汉湖北武汉 3 分）分）若 x1、x2是一元二次方程 x23x20 的两根，则 x1x2的值是【 】 A2 B2 C3 D1 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1x23。故选 C。 例 2：（湖北武汉（湖北武汉 3 分）分） 若 x1、 x2是一元二次方程 x24x30 的两个根， 则 x1 x2的值是【 】 A.4.
4、 B.3. C.4. D.3. 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得 12 c3 xx = =3 a1 。故选 B。 例 3：（山东烟台（山东烟台 3 分）分）下列一元二次方程两实数根和为4 的是【 】 Ax2+2x4=0 Bx24x+4=0 Cx2+4x+10=0 Dx2+4x5=0 2 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 【分析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为4，必须方程根的 判别式=b24ac0，且 x1+x2= b
5、a =4。据此逐一作出判断： Ax2+2x4=0：=b24ac=200，x1+x2= b a =2，所以本选项不合题意； Bx24x+4=0：=b24ac=0，x1+x2= b a =4，所以本选项不合题意； Cx2+4x+10=0：=b24ac=280，方程无实数根，所以本选项不合题意； Dx2+4x5=0：b24ac=360， ，x1+x2= b a =4，所以本选项符号题意。 故选 D。 例 4： （广西来宾（广西来宾 3 分）分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 的一个实数根为 1，那么它的另一个实数根 是【 】 A2 B0 C1 D2 【答案】【答案】A。 【考点】【考
6、点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】设方程的另一个实数根为 x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1=1，解得 x=2。 故选 A。 练习题：练习题： 1. （重庆市（重庆市 3 分）分）已知一元二次方程 2 2x3x10 的两根为 x1、x2，则 x1+x2= 。 2. （浙江湖州（浙江湖州 3 分）分）已知一元二次方程 2 x12x70的两个根为 x1、x2，则 x1+x2的值是【 】 A12 B12 C7 D7 3. （广西来宾（广西来宾 3 分）分）已知一元二次方程 x2+mx2=0 的两个实数根分别为 x1、x2，则 x1 x2= 4.（湖北湖北咸宁咸宁 3 分）
7、分）若关于x的方程02 2 mxx的一个根为1，则另一个根为【 】 A3 B1 C1 D3 5.（云南昆明云南昆明 3 分）分）若 x1，x2是一元二次方程 2x27x+4=0 的两根，则 x1+x2与 x1x2的值分别是【 】 A、 7 2 ，2 B、 7 2 ，2 C、 7 2 ，2 D、 7 2 ，2 3 二、二、求对称代数式的值：求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（f xy =f yx，） ，则称这个代数式 为完全对称式，如 22 11 x +y+ xy ，等。扩展后，可以视xy中
8、x与y对称。 典型例题：典型例题： 例 1：（四川攀枝花（四川攀枝花 3 分）分）已知一元二次方程：x23x1=0 的两个根分别是 x1、x2，则 x12x2+x1x22的值 为【 】 A 3 B 3 C 6 D 6 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。 【分析】【分析】由一元二次方程：x23x1=0 的两个根分别是 x1、x2， 根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=1， x12x2x1x22=x1x2（x1x2）=（1） 3=3。故选 A。 例 2： （山东莱芜（山东莱芜 3 分）分） 已知 m、 n 是方程 x22 2x1
9、0 的两根， 则代数式 m2n23mn的值为 【 】 A9 B 3 C3 D5 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。 【分析】【分析】m、n 是方程 x22 2x10 的两根，mn=2 2，mn=1。 2 2 22 m +n +3mn=m+n+mn=2 2+1= 8+1= 9=3。故选 C。 例 3：（江苏（江苏南通南通 3 分）分）设 m、n 是一元二次方程 x23x70 的两个根，则 m24mn 【答案】【答案】4。 【考点】【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】m、n 是一元二次方程 x23x70
10、 的两个根， m 23 m70，即 m 23 m7；mn3。 m24mn（m 23 m）（mn）734。 例 4：（湖北鄂州（湖北鄂州 3 分）分）设 x1、x2是一元二次方程 x25x3=0 的两个实根，且 2 122 2x (x6x3)a4， 则 a= . 【答案】【答案】10。 4 【考点】【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。 【分析】【分析】x1、x2是一元二次方程 x25x3=0 的两个实根，x225x23=0，x1x2=3。 又 2 122 2x (x6x3)a4，即 2 1222 2x (x5x3x )a4 ，即 12 2x (0 x )a4。 12 2x xa4，即23a
11、4，解得 a=10。 练习题：练习题： 1. （湖南张家界（湖南张家界 3 分）分）已知 m 和 n 是方程 2x25x3=0 的两根，则 11 + mn = 2. （四川（四川泸州泸州3分）分） 设x1， x2是一元二次方程x2 3x 1 =0的两个实数根， 则 22 1212 xx4x x的值为 3. （山东日照（山东日照 4 分）分）已知 x1、x2是方程 2x2+14x16=0 的两实数根，那么 21 12 xx xx 的值为 . 4. （黑龙江绥化（黑龙江绥化 3 分）分）设 a，b 是方程 x2x2013=0 的两个不相等的实数根，则 a22ab 的值为 5. （黑龙江大庆（黑龙江
12、大庆 4 分）分）若方程 2 xx10 的两实根为a、b，求 11 ab 的值 6. （湖北荆州、湖北荆州、荆门荆门 3 分）分）关于x的方程 2 ax(3a1)x2(a1)0有两个不相等的实根 1 x、 2 x， 且有 1122 xx xx1a ，则a的值是【 】 A.1 B.1 C. 1或1 D.2 7.（贵州黔东南（贵州黔东南 4 分）分）若a、b是一元二次方程 2 x2011x10 的两根，则 11 ab 的值为【 】 A、2010 B、 C、 2010 1 D、 2011 1 8. （江苏苏州（江苏苏州 3 分）分）已知a、b是一元二次方程 2 x2x10 的两个实数根，则代数式 a
13、bab2ab的值等于 9. （山东（山东德州德州 4 分分）若 x1，x2是方程 x 2+ x1=0 的两个根，则 x 12+ x 22= 10. （广西玉林、防城港（广西玉林、防城港 6 分）分）已知： 1 x、 2 x是一元二次方程 2 x4x10 的两个实数根求： 2 12 12 11 (xx )() xx 的值 三、三、构造一元二次方程：构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以 这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。 典型例题：典型例题： 5 例 1：（湖北随州（湖北随州 4 分）分）设 242 a2a 10 b2b10 ，且 1a
14、b20，则 5 22 ab +b3a+1 a = . 例 2：（四川（四川内江内江 12 分）分）如果方程 2 0 xpxq的两个根是 12 ,xx，那么 1212 ,.,xxp x xq 请根 据以上结论，解决下列问题： （1）已知关于x的方程 2 0,(0),xmxnn求出一个一元二次方程， 使它的两个根分别是已知方程两 根的倒数； （2）已知a、b满足 22 1550,1550aabb,求 ab ba 的值； （3）已知a、b、c满足0,16abcabc求正数c的最小值。 【答案】【答案】解： （1）设关于x的方程 2 0,(0)xmxnn的两根为 12 ,xx，则有： 1212 ,.x
15、xm x xn ，且由已知所求方程的两根为 12 11 , xx 12 1212 11xxm xxx xn ， 1212 1111 xxx xn 。 6 所求方程为 2 1 0 m xx nn ，即 2 10(0)nxmxn 。 （2）a、b满足 22 1550,1550aabb， a、b是方程 2 1550 xx的两根。15,5abab 。 22 222 215 2247 5 ababababab baababab 。 （3）0,16abcabc且0c 16 ,abc ab c 。 a、b是一元二次方程 2 16 00 xc xc c 的两个根， 代简，得 22 1600cxc xc 。 又
16、此方程必有实数根，此方程的0，即 2 2 4160cc ， 33 40c c 。 又0c 33 40c 。 4c。 正数c的最小值为 4。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。 【分析】【分析】 （1）设方程 2 0,(0)xmxnn的两根为 12 ,xx，得出 12 11m xxn ， 12 111 xxn ，再根据 这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。 （2） 根据a、b满足 22 1550,1550aabb， 得出a、b是一元二次方程 2 1550 xx 的两个根，由15,5abab ，即可求出 ab ba 的值。 （3） 根据
17、0,16abcabc， 得出 16 ,abc ab c ，a、b是一元二次方程 22 160cxc x的 两个根，再根据0，即可求出c的最小值。 例 3：（四川宜宾（四川宜宾 8 分）分）某市政府为落实保障性住房政策，年已投入 3 亿元资金用于保障性住房建设，并 规划投入资金逐年增加，到 2013 年底，将累计投入 10.5 亿元资金用于保障性住房建设 （1）求到 2013 年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程） ； （2）设（1）中方程的两根分别为 x1，x2，且 mx124m2x1x2+mx22的值为 12，求 m 的值 【答案】【答案】解： （1）设到 2013 年底，这两
18、年中投入资金的平均年增长率为 x， 根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5。 （2）由（1）得，x2+3x0.5=0， 7 由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=0.5。 又mx124m2x1x2+mx22=12 即 m（x1+x2）22x1x24m2x1x2=12， 即 m9+14m2（0.5）=12，即 m2+5m6=0，解得，m=6 或 m=1。 【考点】【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 年、年和 2013 某市用于保障房建设资金总量=10.
19、5 亿元， 把相关数值代入求得合适的解即可。 （2）由（1）得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于 m 的一元二次方程，解之即得 m 的值。 例 4：（贵州黔西南（贵州黔西南 14 分）分）问题：已知方程 2 x +x1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方 程根的 2 倍。 解：设所求方程的根为 y，则 y=2x，所以 y x= 2 把 y x= 2 代入已知方程，得 2 yy +1=0 22 化简，得： 2 y +2y4=0 故所求方程为 2 y +2y4=0 这种利用方程根的代换求新方程的方法， 我们称为换根法。 请阅读材料提供的换根法求新方程 （要求： 把所求方程化成一
20、般形式） （1）已知方程 2 x +x2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知关于 x 的一元二次方程 2 ax +bx+c=0 a0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使 它的根分别是已知方程的倒数。 【答案】【答案】解： （1）y2y2=0。 （2）设所求方程的根为 y，则 1 y x （x0） ，于是 1 x y （y0） 。 把 1 x y 代入方程 2 ax +bx+c=0，得 2 11 a+b+c=0 yy ， 去分母，得 a+by+cy2=0。 若 c=0，有 2 ax +bx=0，可得有一个解为 x=0，与已知不符，不
21、符合题意。 c0。 所求方程为 cy2+by+a=0（c0） 。 8 【考点】【考点】一元二次方程的应用。 【分析】【分析】 （1）设所求方程的根为 y，则 y=x 所以 x=y。 把 x=y 代入已知方程，得 y2y2=0。 （2）根据所给的材料，设所求方程的根为 y，再表示出 x，代入原方程，整理即得出所求的方程。 练习题：练习题： 1. （辽宁沈阳（辽宁沈阳 2 分）分）请你写出一个二次项系数为 1，两实数根之和为 3 的一元二次方程： . 2. （山东临沂（山东临沂 3 分）分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且其两根互为倒数 . 3.（浙江杭州（浙江杭州 10 分）分
22、）已知某二次项系数为 1 的一元二次方程的两个实数根为 p、q，且满足关系式 22 pq p15 p qpq6 ，试求这个一元二次方程 4. （江苏淮安（江苏淮安 3 分）分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： . 四、四、求方程中待定系数的值：求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定 字母系数的值。 典型例题：典型例题： 例 1：（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）分）如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等实 数根 x1，x2满足 x1x22x12x25=0，那么 a 的值为【 】 A
23、3 B3 C13 D13 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等实数根， x1+x2=4，x1x2=a。 x1x22x12x25=x1x22（x1+x2）5=a2 （4）5=0，即 a+3=0， 解得，a=3。故选 B。 例 2：（湖南株洲（湖南株洲 3 分分）已知关于 x 的一元二次方程 x2bx+c=0 的两根分别为 x1=1，x2=2，则 b 与 c 的值分别为【 】 Ab=1，c=2 Bb=1，c=2 Cb=1，c=2 Db=1，c=2 【答案】【答案】D。 【考点】【考
24、点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】关于 x 的一元二次方程 x2bx+c=0 的两根分别为 x1=1，x2=2， x1+x2=b=1+（2）=1，x1x2=c=1 （2）=2。 9 b=1，c=2。故选 D。 例 3：（内蒙古呼和浩特（内蒙古呼和浩特 3 分）分）已知：x1，x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根，且 x1+x2=3，x1x2=1， 则 a、b 的值分别是【 】 Aa=3，b=1 Ba=3，b=1 C 3 a= 2 ，b=1 D 3 a= 2 ，b=1 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】x1，x2是一元
25、二次方程 x2+2ax+b=0 的两根，x1+x2=2a，x1x2=b， x1+x2=3，x1x2=1，2a=3，b=1，解得 3 a= 2 ，b=1。故选 D。 例 4：（内蒙古包头（内蒙古包头 3 分）分）关于 x 的一元二次方程 2 xmx+5 m5 =0的两个正实数根分别为 x1，x2，且 2x1+x2=7，则 m 的值是【 】 A.2 B. 6 C. 2 或 6 D . 7 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。 【分析】【分析】方程 2 xmx+5 m5 =0有两个正实数根， 12 12 x +x =m0 m5 xx =5 m50
26、 。 又2x1+x2=7，x1=7m。 将 x1=7m 代入方程 2 xmx+5 m5 =0，得 2 7mm 7m +5 m5 =0。 解得 m=2 或 m=6。 m5，m=6。故选 B。 例 5：（山东威海（山东威海 3 分）分）若关于 x 的方程 22 x + a1 x+a =0的两根互为倒数，则 a= . 【答案】【答案】1。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。 【分析】【分析】关于 x 的方程 22 x + a1 x+a =0的两根互为倒数，设两根为 x 和 1 x 。 则根据一元二次方程根与系数的关系，得 2 1 x+=1a x 1 x=a x 。 10 由 2 1
27、x=a x 得a=1。 但当a=1时， 1 x+=1 a x 无意义。 a=1。 例 6：（湖北孝感（湖北孝感 12 分）分）已知关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10 (1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若 x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|22，求 m 的值和此时方程的两根 【答案】【答案】解：（1）证明：由关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10 得 =（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4， 无论 m 取何值，（m+1）24 恒大于 0， 原方程总有两个不相等的实数根。 （2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=（m+3），x1
28、x2=m+1。 |x1x2|22， （x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8。 （m+3）24（m+1）=8，即 m22m3=0。 解得：m1=3，m2=1。 当 m=3 时，原方程化为：x22=0，解得：x1=2 ，x2=2。 当 m=1 时，原方程化为：x24x2=0，解得：x1=2+2 ，x2=22。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 【分析】【分析】 （1）根据关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10 的根的判别式=b24ac 的符号来判定 该方程的根的情况。 （2）根据根与系数的关系求得 x1x2和 x1x2，由已知条件|x1x2|22平方后可
29、以得到关于 x1 x2和x1x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并 解方程。 例 7：（湖南怀化（湖南怀化 10 分）分）已知 12 x ,x是一元二次方程 2 (a6)x2axa0的两个实数根. （1）是否存在实数 a，使 11 22 xx x4x成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使 12 (x1)(x1)为负整数的实数 a 的整数值. 【答案】【答案】解： （1）成立。 11 12 x ,x是一元二次方程 2 (a6)x2axa0的两个实数根， 由根与系数的关系可知， 1 212 a2a x xxx a6a6 ，；
30、 一元二次方程 2 (a6)x2axa0有两个实数根， =4a24（a6）a0，且 a-60，解得，a0，且 a6。 由 1122 xx x4x得 1212 x x4xx，即 a2a 4 a6a6 。 解得，a=240，且 a60。 存在实数 a，使 1122 xx x4x成立，a 的值是 24。 （2） 121 212 a2a6 (x1)(x1)=x xxx1=1= a6a6a6 ， 当 12 (x1)(x1)为负整数时，a60，且 a6 是 6 的约数。 a6=6，a6=3，a6=2，a6=1。a=12，9，8，7。 使 12 (x1)(x1)为负整数的实数 a 的整数值有 12，9，8，
31、7。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。 【分析】【分析】根据根与系数的关系求得 1 212 a2a x xxx a6a6 ，；根据一元二次方程的根的判别式求得 a 的取值范围。 （1）将已知等式变形为 x1x2=4+（x2+x1） ，即 a2a 4 a6a6 ，通过解该关于 a 的方程即可求得 a 的值； （2）根据限制性条件（x1+1） （x2+1）为负整数求得 a 的取值范围，然后在取值范围内取 a 的整 数值。 例 8：（四川四川南充南充 8 分）分）关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1和 x2 （1）求 k 的取值范围； （2
32、）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值 【答案】【答案】解： （1）方程有实数根，=224（k+1）0，解得 k0。 k 的取值范围是 k0。 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=2，x1x2=k+1， x1+x2x1x2=2（k+1） 。 由2（k+1）1，解得 k2。 12 又由（1）k0，2k0。 k 为整数，k 的值为1 和 0。 【考点】考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。 【分析】【分析】 （1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数 k 的取值范围。 （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得 x1
33、+x2=2，x1x2=k+1再代入所给不等式即可求得 k 的取值范围，然后根据 k 为整数，求出 k 的值。 例 9： 练习题：练习题： 1. （湖南株洲（湖南株洲 3 分）分）孔明同学在解一元二次方程 2 x3xc0时，正确解得 1 x1， 2 x2，则c的值为 2. （湖北孝感湖北孝感 10 分分）已知关于 x 的方程 22 2(k 10 x)xk有两个实数根 x1，x2， （1）求k的取值范围； （2）若 1212 xxxx1，求k的值。 3. （湖北鄂州（湖北鄂州 8 分）分）关于 x 的一元二次方程 22 x(m3)xm0。 （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程
34、的两个实数根为 x1，x2，且x1=x22，求 m 的值及方程的根。 4. （四川（四川南充南充 8 分）分）关于 x 的一元二次方程 x23xm1=0 的两个实数根分别为 x1,x2。 （1）求 m 的取值范围； （2）若 2（x1+x2）+ x1x2+10=0求 m 的值。 5. （四川四川达州达州 3 分）分）已知关于 x 的方程 x2mx+n=0 的两个根是 0 和3，则 m= ，n= 。 6. （四四川川泸州泸州2分）分） 已知关于x的方程x2+ （2k+1） x+k22=0的两实根的平方和等于11， 则k的值为 。 7. （四川乐山（四川乐山 10 分）分）题甲：已知关于 x 的方
35、程 22 2(a 1)a4xx7a0的两根为 x1、x2，且满足 1212 33xxxx20.求 2 4a2 (1) a4a 的值。 8. （北京市（北京市 7 分）分）已知：关于 x 的方程 2 mx14x70有两个实数根 x1和 x2，关于 y 的方程 22 y2 n1 yn2n0有两个实数根 y1和 y2， 且2y1y24 当 2 12 1212 26 2 2yy140 xxxx （） 时，求 m 的取值范围。 9. （四川凉山（四川凉山 6 分）分）已知：x2+a2x+b=0 的两个实数根为 x1、x2；y1、y2是方程 y2+5ay+7=0 的两个实数根， 13 且 x1y1=x2y
36、2=2求 a、b 的值。 五、在平面几何中的应用：五、在平面几何中的应用：在平面几何中，两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；勾 股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。 典型例题：典型例题： 例 2：（2003 江苏镇江江苏镇江 6 分）分）已知，如图，RtABC 中，ACB=900，AB=5，两直角边 AC、BC 的长是 关于 x 的方程 2 xm5 x6m0的两个实数根。 （1）求 m 的值及 AC、BC 的长（BCAC） （2）在线段 BC 的延长线上是否存在点 D，使得以 D、A、C 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求 出 CD
37、 的长；若不存在，请说明理由。 【答案】【答案】解： （1）设方程 2 xm5 x6m0的两个根分别是 x1、x2。 x1+x2=m+5，x1x2=6m。 2222 121212 xxxx2x xm 52 6m （）（） 。 RtABC 中，ACB=90 ，AB=5， 14 222 12 xxAB。 22 m52 6m5（），m2-m=0。m=0 或 m=2。 当 m=0 时，原方程的解分别为 x1=0，x2=5，但三角形的边长不能为 0，所以 m=0 舍去； 当 m=2 时，原方程为 x27x+12=0，其解为 x1=3，x2=4，所以两直角边 AC=3，BC=4。 m=2，AC=3，BC=
38、4。 （2）存在。 已知 AC=3，BC=4，AB=5，欲使以AD1C 为顶点的三角形与ABC 相似， 则 11 ABACBC ADCDAC 。 1 34 CD3 ，则 CD1= 9 4 。 欲使以AD2C 为顶点的三角形与ABC 相似，则 22 ABBCAC ADCDAC 。 BC=CD2=4。 综上所述， 在线段 BC 的延长线上是存在点 D， 使得以 D、 A、 C 为顶点的三角形与ABC 相似，CD 的长为 9 4 或 4。 【考点】【考点】相似三角形的判定，根与系数的的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出 m 的值，再代
39、入 m 的值求出 AC、BC 的长。 （2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出 CD 的长。 练习题：练习题： 1. （山东（山东潍坊潍坊 3 分）分）已知两圆半径 r1、r2分别是方程 x27x+10=0 的两根，两圆的圆心距为 7，则两圆的 位置关系是【 】 A相交 B内切 C外切 D外离 2. （四川广安（四川广安 8 分）分） 已知： ABC 的两边 AB、 AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2 （2k+3） x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5试问：k 取何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ 3. （江苏无锡（江苏无锡 9
40、分）分） 已知： 如图， O 的半径为 r， CE 切O 于 C， 且与弦 AB 的延长线交于点 E， CDAB 于 D如果 CE=2BE，且 AC、BC 的长是关于 x 的方程 22 x3 r2 xr40的两个实数根 15 求： （1）AC、BC 的长； （2）CD 的长 4. （湖南益阳（湖南益阳 10 分）分）巳知：如图，在ABC 中，B=90 ，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径 的半圆交 AB 于点 E，与 AC 切于点 D当 22 ADAE5时，AD、AE（ADAE）是关于 x 的方程 x2 （m1）xm2=0（m0）的两个根 （1）求实数 m 的值； （2）证明：
41、CD 的长度是无理方程2 x1x1 的一个根； （3）以 B 点为坐标原点，分别以 AB、BC 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，求过 A、B、D 三 点且对称轴平行于 y 轴的抛物线的解析式 5. （2010 湖南株洲湖南株洲 3 分）分）两圆的圆心距 d=5，它们的半径分别是一元二次方程 x2-5x+4=0 的两个根，这两 圆的位置关系是 七、在二次函数中的应用：七、在二次函数中的应用：一元二次方程 ax2bxc(a0)可以看作二次函数 yax2bxc(a0) 当 y0 时的情形， 因此若干二次函数 yax2bxc(a0)的图象与轴交点的综合问题都可以用韦达定理 解题。 典型例
42、题：典型例题： 例 1：（天津（天津市市 3 分）分）若关于 x 的一元二次方程（x2） （x3）=m 有实数根 x1,x2，且 x1x2，有下列结 论： x1=2，x2=3； 1 m 4 ； 二次函数 y=（xx1） （xx2）m 的图象与 x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0） 其中，正确结论的个数是【 】 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 16 例 2：（甘肃兰州甘肃兰州 10 分）分）若 x1、x2是关于一元二次方程 ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根 x1、 x2和系数 a、b、c 有如下关系：x1x2 b a ，x1x2 c a 把它称为一元二次方程根与系数关系定
43、理如 果设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理 可以得到 A、B 连个交点间的距离为：AB|x1x2| 2 2 2 121 2 2 b4cb4ac x +x4x x = aaa 2 b4ac = a 。 参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为 C，显然 ABC 为等腰三角形 (1)当ABC 为直角三角形时，求 b24ac 的值； (2)当ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值 17 【答案】【答案】解： （1
44、）当ABC 为直角三角形时， 过 C 作 CEAB 于 E，则 AB2CE。 抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0， 则|b24ac|b24ac。 a0，AB 22 b4acb4ac = aa 。 又CE 22 4acbb4ac = 4a4a ， 22 b4acb4ac =2 a4a 。 2 2 b4ac b4ac= 2 ，即 2 2 2 b4ac b4ac= 4 。 b24ac0，b24ac4。 （2）当ABC 为等边三角形时，由(1)可知 CE 3 2 AB， 22 b4ac3b4ac = 4a2a 。 b24ac0，b24ac12。 【考点】【考点】抛物线与 x 轴的交点，根与系数的
45、关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。 【分析】【分析】 （1）当ABC 为直角三角形时，由于 ACBC，所以ABC 为等腰直角三角形，过C 作 CEAB 于 E， 则 AB2CE 根据本题定理和结论， 得到 AB 2 b4ac = a ， 根据顶点坐标公式， 得到 CE 2 4acb = 4a ， 列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值。 （2）当ABC 为等边三角形时，解直角ACE，得 CE 3 2 AB，据此列出方程，解方程即可求 出 b24ac 的值。 18 例 3：（广东梅州（广东梅州 10 分）分） （1）已知一元二次方程 x2+px+q=0（p24q0）的两根为 x1、x
46、2；求证：x1+x2= p，x1x2=q （2）已知抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A、B 两点，且过点（1，1） ，设线段 AB 的长为 d，当 p 为 何值时，d2取得最小值，并求出最小值 例 4：（湖北荆州（湖北荆州 12 分）分）已知：y 关于 x 的函数 y=（k1）x22kx+k+2 的图象与 x 轴有交点 （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2 求 k 的值；当 kxk+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值 【答案】【答案】解： （1）当 k=1 时，函数为一
47、次函数 y=2x+3，其图象与 x 轴有一个交点。 当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点， 令 y=0 得（k1）x22kx+k+2=0 =（2k）24（k1） （k+2）0，解得 k2即 k2 且 k1。 综上所述，k 的取值范围是 k2。 （2）x1x2，由（1）知 k2 且 k1。 由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*） ， 19 将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。 又x1+x2= 2k k1 ，x1x2= k+2 k1 ，2k 2k k1 =4 k+2 k1 ， 解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去） 。所求 k 值为1。 如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x 1 2 ）2+ 3 2 ，且1x1， 由图象知：当 x=1 时，y最小=3；当 x= 1 2 时，y最大= 3 2 。 y 的
