1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 18：动态几何之和差问题探讨：动态几何之和差问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制 动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问 题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题进行了探讨， 本专题对和差问题进行探讨。 结合年和年全国各地中考的实例， 我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨： （1） 静态和差问题； （2）和差为定值问题； （3）和差最大问题； （4）和差最小问题。 一、静态和一、静态和差问题差问题
2、： 典型例题：典型例题： 例例 1： （海南省： （海南省 3 分）分）如图，在ABC 中，B 与C 的平分线交于点 O. 过 O 点作 DEBC，分别交 AB、AC 于 D、E若 AB=5，AC=4，则ADE 的周长是 . 【答案】【答案】9。 【考点】【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。 【分析】【分析】OB 是B 的平分线，DBO=OBC。 又DEBC，OBC =BOD。DBO=BOD。DO=DB。 同理，EO=EC。 又AB=5，AC=4， ADE 的周长=ADDEAE=ADDOEOAE=ADDBECAE=ABAC=54=9。 例例 2： （湖北荆门： （湖北荆门 3
3、 分）分）如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠， 则图中阴影部分的周长为【 】 A 8 B 4 C 8 D 6 2 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。 【分析】【分析】如图，正方形 ABCD 的对角线长为 22，即 BD=22，A=90 ，AB=AD，ABD=45 ， AB=BDcosABD=BDcos45=2 2 2=2 2 。 AB=BC=CD=AD=2。 由折叠的性质：AM=AM，DN=DN，AD=AD， 图中阴影部分的周长为 AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM
4、+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD= 2+2+2+2=8。 故选 C。 例例 3： （四川： （四川内江内江 3 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5 点 E、F 分别在 AB、 CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1、D1 处，则阴影部分图形的周长为【 】 A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，矩形和折叠的性质。 【分析】【分析】根据矩形和折叠的性质，得 A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长， 为 2
5、（10+5）=30。故选 D。 例例 4： （山东枣庄： （山东枣庄 3 分）分） 如图： 矩形 ABCD 的对角线 AC=10， BC=8， 则图中五个小矩形的周长之和为 【 】 A、14 B、16 C、20 D、28 3 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】平移的性质，勾股定理。 【分析】【分析】由勾股定理，得 AB= 2222 ACBC1086，将五个小矩形的所有上边平移至 AD，所有下 边平移至 BC，所有左边平移至 AB，所有右边平移至 CD， 五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2 （6+8）=28。故选 D。 例例 5： （： （湖北武汉湖北武汉 3 分）分）在面积为 15
6、 的平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E， 作 AF 垂直于直线 CD 于点 F，若 AB5，BC6，则 CECF 的值为【 】 A11 11 3 2 B1111 3 2 C11 11 3 2 或 11 11 3 2 D11 11 3 2 或1 3 2 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。 【分析】【分析】依题意，有如图的两种情况。设 BE=x，DF=y。 如图 1，由 AB5，BE=x，得 222 AEABBE25x。 由平行四边形 ABCD 的面积为 15，BC6，得 2 6 25x =15， 解得 5 3 x= 2
7、（负数舍去） 。 由 BC6，DF=y，得 222 AFADDF36y。 由平行四边形 ABCD 的面积为 15，AB5，得 2 5 36y =15， 解得y=3 3（负数舍去） 。 CECF=（6 5 3 2 ）（53 3）=11 11 3 2 。 如图 2，同理可得 BE= 5 3 2 ，DF=3 3。 CECF=（6 5 3 2 ）（53 3）=11 11 3 2 。 故选 C。 例例 6： （山东枣庄： （山东枣庄 8 分）分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABC90 ，CDAD，AD2CD22AB2 （1）求证：ABBC； （2）当 BEAD 于 E 时，试证明：BEAECD
8、4 【答案】【答案】解： （1）证明：连接 AC。 ABC90 ，AB2BC2AC2。 CDAD，AD2CD2AC2。 AD2CD22AB2，AB2BC22AB2。 ABBC。 （2）证明：过 C 作 CFBE 于 F。 BEAD，四边形 CDEF 是矩形。CDEF。 ABEBAE90 ，ABECBF90 ，BAECBF。 又ABBC，BEACFB，BAECBF（AAS） 。AEBF。 BEBFEF AECD。 【考点】【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】【分析】 （1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接 AC，构造直角三角形，利用勾 股定理证明。
9、 （2）可采用“截长”法证明，过点 C 作 CFBE 于 F，易证 CD=EF，只需再证明 AE=BF 即可，这 一点又可通过全等三角形获证. 例例 7： （内蒙古呼和浩特： （内蒙古呼和浩特 7 分）分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 边上任意一点，DEAG 于 E， BFDE，交 AG 于 F （1）求证：AFBF=EF； （2）将ABF 绕点 A 逆时针旋转，使得 AB 与 AD 重合，记此时点 F 的对应点为点 F，若正方形边长为 3，求点 F与旋转前的图中点 E 之间的距离 5 【答案】【答案】 （1）证明：如图，正方形 ABCD，AB=AD，BAD=BAG+EA
10、D=90 。 DEAG，AED=90 。EAD+ADE=90 。ADE=BAF。 又BFDE，AEB=AED=90 。 在AED 和BFA 中，AEB=AED，ADE=BAF，AD = AB。 AEDBDA（AAS） 。BF=AE。 AFAE=EF，AFBF=EF。 （2）解：如图， 根据题意知：FAF=90，DE=AF=AF， FAE=AED=90 ，即FAE+AED=180 。 AFED。四边形 AEDF为平行四边形。 又AED=90 ，四边形 AEDF是矩形。 EF=AD=3。 点 F与旋转前的图中点 E 之间的距离为 3。 【考点】【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性
11、质，矩形的判定和性质。 【分析】【分析】 （1）由四边形 ABCD 为正方形， 可得出BAD 为 90 ，AB=AD，进而得到BAG 与EAD 互余， 又 DE 垂直于 AG，得到EAD 与ADE 互余，根据同角的余角相等可得出ADE=BAF，利用 AAS 可 得出三角形 ABF 与三角形 ADE 全等，利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE，由 AFAE=EF，等量 代换可得证。 （2）将ABF 绕点 A 逆时针旋转，使得 AB 与 AD 重合，记此时点 F 的对应点为点 F，连接 EF， 如图所示，由旋转的性质可得出FAF为直角，AF=AF，由（1）的全等可得出 AF=DE，等量代换可
12、得出 DE=AF=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到 AF与 DE 平行，根据一组对边平行且相等的四边形为 平行四边形可得出 AEDF为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出 AEDF为矩形，根 据矩形的对角线相等可得出 EF=AD，由 AD 的长即可求出 EF的长。 例例 8： （： （重庆市重庆市 10 分）分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 M，过 M 作 MECD 于点 E，1=2 （1）若 CE=1，求 BC 的长； （2）求证：AM=DF+ME 6 【答案】【答案】解： （1）四边形 ABCD 是菱形，ABC
13、D。1=ACD。 1=2，ACD=2。MC=MD。 MECD，CD=2CE。 CE=1，CD=2。BC=CD=2。 （2）证明：F 为边 BC 的中点，BF=CF= 1 2 BC。CF=CE。 在菱形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACB=ACD。 在CEM 和CFM 中，CE=CF，ACB=ACD，CM=CM， CEMCFM（SAS） ，ME=MF。 延长 AB 交 DF 于点 G， ABCD，G=2。 1=2，1=G。 AM=MG。 在CDF 和BGF 中， G=2，BFG=CFD，BF=CF，CDFBGF（AAS） 。 GF=DF。 由图形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME。 【
14、考点】【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】【分析】 （1）根据菱形的对边平行可得 ABD，再根据两直线平行，内错角相等可得1=ACD，所以 ACD=2，根据等角对等边的性质可得 CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE=DE，然 后求出 CD 的长度，即为菱形的边长 BC 的长度。 （2）先利用 SAS 证明CEM 和CFM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ME=MF，延长 AB 交 DF 于点 G，然后证明1=G，根据等角对等边的性质可得 AM=GM，再利用 AAS 证明CDF 和 BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可
15、得 GF=DF，最后结合图形 GM=GF+MF 即可得证。 例例 9： （湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田： （湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）分）如图，线段 AC=n+1（其中 n 为正整数） ，点 B 在线段 AC 上， 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF， 连接 AM、 ME、 EA 得到AME 当 AB=1 时， AME 7 的面积记为 S1；当 AB=2 时，AME 的面积记为 S2；当 AB=3 时，AME 的面积记为 S3；当 AB=n 时，AME 的面积记为 Sn当 n2 时，SnSn1= 例例 10： （贵州铜仁： （贵州铜仁 4 分）分）如图，在
16、ABC 中，ABC 和ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MNBC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为【 】 A6 B7 C8 D9 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】【分析】ABC、ACB 的平分线相交于点 E，MBE=EBC，ECN=ECB， MNBC，EBC=MEB，NEC=ECB。MBE=MEB，NEC=ECN。 BM=ME，EN=CN。MN=ME+EN，即 MN=BM+CN。 BM+CN=9MN=9。故选 D。 8 例例 11： （广东梅州： （广东梅州 3 分分）如图
17、，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合，若A=75 ，则1+2=【 】 A150 B210 C105 D75 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 【分析】【分析】ADE 是ABC 翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75。 AED+ADE=AED+ADE=18075 =105 ，1+2=360 2 105 =150 。 故选 A。 例例 12： （湖北孝感： （湖北孝感 3 分）分）已知 是锐角， 与 互补， 与 互余，则 的值是【 】 A45
18、 B60 C90 D180 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】余角和补角、 【分析】【分析】根据互余两角之和为 90 ，互补两角之和为 180 ，结合题意即可得出答案： 由题意得，=180，=90， 两式相减可得：=90。故选 C。 例例 13： （湖南长沙： （湖南长沙 3 分）分）如图，ABCDEF，那么BAC+ACE+CEF= 度 【答案】【答案】360。 【考点】【考点】平行线的性质。 【分析】【分析】ABCD，BAC+ACD=180。 CDEF，CEF+ECD=180。 +得，BAC+ACD+CEF+ECD=180 +180 =360 ，即BAC+ACE+CEF=360 。 9
19、练习题：练习题： 1. （辽宁本溪辽宁本溪 3 分）分）如图 在直角ABC 中，BAC=90 ，AB=8，AC=6，DE 是 AB 边的垂直平分线， 垂足为 D，交边 BC 于点 E，连接 AE，则ACE 的周长为【 】 A、16 B、15 C、14 D、13 2. （吉林省（吉林省 3 分）分）如图，在等边ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD将BCD 绕点 B 逆时 针旋转 60 得到BAE，连接 ED若 BC=10，BD=9，则AED 的周长是_ _. 3. （福建龙岩（福建龙岩 3 分）分）如图，RtABC 中，C=90 ，AC = BC = 6，E 是斜边AB 上任意一点，作
20、 EFAC 于 F，EGBC 于 G，则矩形 CFEG 的周长是 4. （福建宁德（福建宁德 4 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EFHG，EHFG，则四边形 EFGH 的周长是【 】 A 10 B 13 C2 10 D2 13 5. （内蒙古包头（内蒙古包头 10 分）分）如图，已知 AB 为O 的直径，过O 上的点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E , ADEC 于点 D 且交O 于点 F ，连接 BC , CF , AC 。 （1）求证：BC=CF； 10 （2）若 AD=6 , DE=8 ，求 BE 的长； （
21、3）求证：AF + 2DF = AB。 6. （山东东营（山东东营 10 分）分） （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DFBE求证：CECF； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果GCE45 ，请你利用（1） 的结论证明：GEBEGD （3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3， 在直角梯形 ABCD 中， ADBC （BCAD） ， B90 ， ABBC， E 是 AB 上一点， 且DCE 45 ，BE4，DE=10, 求直角梯形 ABCD 的面积 7.
22、 （黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 8 分）分） 如图， ABC 中。 AB=AC， P 为底边 BC 上一点， PEAB， PFAC， CHAB， 垂足分别为 E、F、H易证 PE+PF=CH证明过程如下： 11 （1）如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量网关系?请写出你的 猜想，并加以证明： （2）填空：若A=300，ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH= 点 P 到 AB 边的距离 PE= 8. （江苏（江苏南通南通 3 分）分）如图，在ABC 中，C70
23、，沿图中虚线截去C，则12【 】 A360 B250 C180 D140 9.（江苏南京（江苏南京 2 分）分）如图，1、2、3、4是五边形 ABCDE 的 4 个外角，若2A1 0，则 1234 12 10.（四川（四川绵阳绵阳 3 分）分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，1+2=【 】 。 A225 B235 C270 D与虚线的位置有关 11.（四川（四川凉山凉山 4 分）分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中+ 的度数 是【 】 A180 B 220 C 240 D300 二、和差为定值问题二、和差为定值问题： 典型例题：典型例题： 例例 1： （广西崇
24、左（广西崇左 10 分）分）如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上移动，但点 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等，问在点 E、F 移动过程中； （1）EAF 的大小是否发生变化？请说明理由. （2）ECF 的周长是否发生变化？请说明理由. 【答案】【答案】解： （1）EAF 的大小不会发生变化。理由如下： 在正方形 ABCD 中，AHEF，AHF=D=90 ， 13 AF=AF，AH=AD，RtAHFRtADF(HL)。HAF=DAF。 同理 RtAHERtABE，HAE=BAE。 HAF+DAF+HAE+BAE=90 ，EAF=HAF+HA
25、E=45 。 EAF 的大小不会发生变化。 （2）ECF 的周长不会发生变化。理由如下： 由（1）知：RtAHFRtADF， RtAHERtABE， FH=FD，EH=EB。EF=EH+FH=EB+FD。 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。 【考点】【考点】正方形的性质，动点和定值问题，全等三角形的判定和性质。 【分析】【分析】 （1）由 HL 证得 RtAHFRtADF 和 RtAHERtABE 即可得EAF=HAF+HAE=45 ， 即EAF 的大小不会发生变化。 （2）由（1）两个全等即可得 CE+CF+
26、EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD，即 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。 【点评】【点评】第二问，ECF 的周长即 CE+CF+EF 为定值：正方形 ABCD 边长的 2 倍。 例例 2： （山东德州： （山东德州 12 分）分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一 点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕 为 EF，连接 BP、BH （1）求证：APB=BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化
27、？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由 【答案】【答案】解： （1）如图 1，PE=BE，EBP=EPB 又EPH=EBC=90 ， 14 EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。 又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。 （2）PHD 的周长不变为定值 8。证明如下： 如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q。 由（1）知APB=BPH， 又A=BQP=90 ，BP=BP， ABPQBP（AAS） 。AP=QP，AB=BQ。 又AB=BC，
28、BC=BQ。 又C=BQH=90 ，BH=BH， BCHBQH（HL） 。CH=QH。 PHD 的周长为： PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图 3，过 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FM=BC=AB。 又EF 为折痕，EFBP。 EFM+MEF=ABP+BEF=90 。 EFM=ABP。 又A=EMF=90 ，AB=ME， EFMBPA（ASA） 。 EM=AP=x 在 RtAPE 中， （4BE）2+x2=BE2，即 2 x BE2+ 8 。 2 x CFBEEM2+x 8 。 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， 2 2 2 11x11 S
29、BECFBC=4+x4=x2x+8=x2+6 22422 。 1 04 2 ，当 x=2 时，S 有最小值 6。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二 次函数的最值。 【分析】【分析】 （1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC 即可得 出答案。 15 （2）先由 AAS 证明ABPQBP，从而由 HL 得出BCHBQH，即可得 CH=QH。因此， PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 （3）利用已知得出EFMBPA，从而利用在 RtAPE 中
30、， （4BE）2+x2=BE2，利用二次函数 的最值求出即可。 例例 3： （黑龙江绥化： （黑龙江绥化 8 分）分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4， 点 P 为直线 EC 上的一点，且 PQBC 于点 Q，PRBD 于点 R （1）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ= 5 12 （不需证明） （2）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 （3）如图 3，当点 P 为线段 EC 延长线
31、上的任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想 【答案】【答案】解： （2）图 2 中结论 PRPQ= 12 5 仍成立。证明如下： 连接 BP，过 C 点作 CKBD 于点 K。 四边形 ABCD 为矩形，BCD=90 。 又CD=AB=3，BC=4， 22 22 BDCDBC345。 SBCD= 1 2 BCCD= 1 2 BDCK，3 4=5CK，CK=12 5 。 SBCE= 1 2 BECK，SBEP= 1 2 PRBE，SBCP= 1 2 PQBC，且 SBCE=SBEPSBCP， 1 2 BECK= 1 2 PRBE 1 2 PQ
32、BC。 又BE=BC， 1 2 CK= 1 2 PR 1 2 PQ。CK=PRPQ。 又CK= 12 5 ，PRPQ= 12 5 。 16 （3）图 3 中的结论是 PRPQ=12 5 【考点】【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。 【分析】【分析】 （2）连接 BP，过 C 点作 CKBD 于点 K根据矩形的性质及勾股定理 求出 BD 的长，根据三角形面积相等可求出 CK 的长，最后通过等量代换即可证 明。 （3）图 3 中的结论是 PRPQ=125 。 连接 BP，SBPESBCP=SBEC，SBEC 是固定值，BE=BC 为两个 底，PR，PQ 分别为高，从而 PRPQ=12 5
33、。 例例 4： （山东潍坊： （山东潍坊 11 分）分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐 标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、D(0，2)作平行于 x 轴的直线 1 l、 2 l (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切； (3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线 2 l的距离之和等于线段 MN 的长 【答案】【答案】解： （1）设抛物线对应二次函数的解析式为 y=ax2bxc， 则 4a2b+c=0 4a+2b+c=0 c=1 解得
34、1 a= 4 b=0 c=1 。 抛物线对应二次函数的解析式 所以 2 1 y=x1 4 。 （2）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点 M、N 在抛物线上， 22 1122 11 y =x1y =x1 44 ，x22=4(y2+1)。 17 又2 2222 22222 ONxy4 y1yy2， 2 ONy2。 又y2l，ON=2y2。 设 ON 的中点 E，分别过点 N、E 向直线 1 l作垂线，垂 足为 P、F， 则 2 2yOCNP EF 22 ， ON=2EF， 即 ON 的中点到直线 1 l的距离等于 ON 长度的一半， 以 ON 为直径的圆与 1 l相切。 （3）过点 M
35、 作 MHNP 交 NP 于点 H，则 22 222 2121 MNMHNHxxyy， 又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一 xl)2。 又点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上， 2 1 kx=x1 4 ，即 x24kx4=0，x2x1=4k，x2 x1=4。 MN2=(1+k2)(x2一 xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2 xl =16(1+k2)2。MN=4(1+k2)。 延长 NP 交 2 l于点 Q，过点 M 作 MS 2 l交 2 l于点 S， 则 MSNQ=y12y22= 22 12 11 x1+x1+
36、4 44 2 22222 121212 111 =x +x+2=x +x2xx+2=16k +8 +2=4k +4=4 1+k 444 MS+NQ=MN，即 M、N 两点到 2 l距离之和等于线段 MN 的长。 【考点】【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切 的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的 解析式。 （2）要证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切，只要证 ON 的中点到直线 1 l的距离等于 ON 长的一半 即可。 （
37、3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出 MN 和 M、N 两点到直线 2 l的距离之和，相比较即 可。 例例 5： （江苏： （江苏苏州苏州 9 分）分）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 18 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合.在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合， 连接 CG， 过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P， 连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm， 矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x（s） ，线段
38、GP 的长为 y（cm） ，其中 0 x2.5. 试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y =3 时相应 x 的值； 记DGP 的面积为 S1，CDG 的面积为 S2试说明 S1S2是常数； 当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长. 【答案】【答案】解： （1）CGAP，CGD=PAG，则tanCGD=tanPAG。 CDPG = GDAG 。 GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x。 1y = 3x4x ，即 4x y= 3x 。y 关于 x 的函数关系式为 4x y= 3x 。 当 y =3 时， 4x 3= 3x ，
39、解得:x=2.5。 （2） 12 11 4x11113 S =GP GD=3xx+2S =GD CD=3x 1x+ 22 3x22222 ， ， 12 1131 SS =x+2x+ 2222 为常数。 （3）延长 PD 交 AC 于点 Q. 正方形 ABCD 中，AC 为对角线，CAD=45 。 PQAC，ADQ=45 。 GDP=ADQ=45 。 DGP 是等腰直角三角形，则 GD=GP。 4x 3x= 3x ，化简得： 2 x5x+5=0，解得： 55 x= 2 。 0 x2.5， 55 x= 2 。 19 在 RtDGP 中， 0 GD552+ 10 PD= 2 3x = 2 3= 22
40、cos45 。 【考点】【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】 （1）根据题意表示出 AG、GD 的长度，再由tanCGD=tanPAG可解出 x 的值。 （2）利用（1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2，然后作差即可。 （3）延长 PD 交 AC 于点 Q，然后判断DGP 是等腰直角三角形，从而结合 x 的范围得出 x 的 值，在 RtDGP 中，解直角三角形可得出 PD 的长度。 练习题：练习题： 1. （广东（广东广州广州 14 分分）已知关于x的二次函数 2 0y
41、axbxc a的图象经过点 C（0，1） ，且与x轴交 于不同的两点 A、B，点 A 的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线y1 交于 C、D 两点，设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于 点 P，记PCD 的面积为 S1，PAB 的面积为 S2，当 0a1 时，求证：S1S2为常数，并求出该常数 2. （湖南湖南岳阳岳阳 8 分）分） 如图， 将菱形纸片 AB （E） CD（F） 沿对角线 BD （EF） 剪开， 得到ABD 和ECF， 固定ABD，并把ABD 与ECF 叠放在一起 （1）操作：如图，将ECF 的顶点 F 固定在
42、ABD 的 BD 边上的中点处，ECF 绕点 F 在 BD 边上方 左右旋转，设旋转时 FC 交 BA 于点 H（H 点不与 B 点重合） ，FE 交 DA 于点 G（G 点不与 D 点重合） 求证：BHGD=BF2 （2）操作：如图，ECF 的顶点 F 在ABD 的 BD 边上滑动（F 点不与 B、D 点重合） ，且 CF 始终经 过点 A，过点 A 作 AGCE，交 FE 于点 G，连接 DG 探究：FD+DG= 请予证明 20 3. （福建莆田（福建莆田 10 分）分） 如图， 将矩形 OABC 放在直角坐际系中， O 为坐标原点 点 A 在 x 轴正半轴上 点 E 是边 AB 上的个动
43、点(不与点 A、N 重合)，过点 E 的反比例函数(0) k yx x 的图象与边 BC 交于点 F。 （1）(4 分)若OAE、OCF 的而积分别为 S1、S2且 S1S2=2，求k的值： （2）(6 分) 若 OA=20C=4问当点 E 运动到什么位置时，四边形 OAEF 的面积最大其最大值为多少? 4. （黑龙江龙东五市（黑龙江龙东五市 8 分）分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4， 点 P 为直线 EC 上的一点，且 PQBC 于点 Q，PRBD 于点 R。 （1）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ=
44、5 12 （不需证明） 。 （2）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 （3）如图 3，当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样 的数量关系？请直接写出你的猜想。 5. （湖南永州（湖南永州 10 分）分）探究问题： 方法感悟：如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足EAF=45 ，连接 EF，求证 DE+BF=EF 感悟解题方法，并完成下列填空： 将ADE 绕点 A 顺时针
45、旋转 90 得到ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE, 1=2，ABG=D=90 ，ABG+ABF=90 90 =180 ， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上 21 EAF=45 23=BADEAF=90 45 =45 1=2， 13=45 即GAF=_ 又 AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故 DEBF=EF 方法迁移： 如图， 将 RtABC 沿斜边翻折得到ADC， 点 E， F 分别为 DC， BC 边上的点， 且EAF= 2 1 DAB 试 猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想 问题拓展： 如图，在四边形 ABCD 中，A
46、B=AD，E，F 分别为 DC,BC 上的点，满足EAF= 2 1 DAB,试猜想当B 与D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由） 6.（福建莆田（福建莆田 14 分）分）已知菱形 ABCD 的边长为 1ADC=60 ，等边AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、F。 （1） （4 分）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点求证：菱形 ABCD 对角线 AC、 BD 交点 O 即为等边AEF 的外心； （2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动记等边AEF 的外心为点 P （4 分）猜想验证：如图 2猜想AEF 的外心
47、 P 落在哪一直线上，并加以证明； （6 分）拓展运用：如图 3，当AEF 面积最小时，过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M，交边 DC 的延长线于点 N，试判断 11 DMDN 是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。 三、三、和差最大问题和差最大问题： 22 典型例题：典型例题： 例例 1： （广西崇左（广西崇左 10 分）分）如图所示，抛物线cbxaxy 2 （a0）的顶点坐标为点 A（2，3） ， 且抛物线cbxaxy 2 与 y 轴交于点 B（0，2）. （1）求该抛物线的解析式； （2）是否在 x 轴上存在点 P 使PAB 为等腰三角形，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由； （3）若点 P 是 x 轴上任意一点，则当 PAPB 最大时，求点 P 的坐标. 【答案】【答案】解： （1）抛物线的顶点坐标为 A(2，3)，可设抛物线的解析式为 2 ya(x2)3。 由题意得 2 a
