1、 ? 在化学分子中能找到足球的影子 年， 由 个碳原子组成的 在实验室合成成功， 而发现这一物质的科学家 为此还获得了 年诺贝尔化学奖 又名巴克球（ ） ， 其结构与足球相同为截角正二十面体， 在 个顶点各 有一个碳原子犹如用脚踢来踢去也安危无恙的足球一样 同样具有很强的耐高温、 耐高压的特性， 结构非常稳定； 同 时对放射线也有很强的抵抗力， 所以在纳米技术等许多方面前景十分看好 全等三角形 内容清单能力要求 三角形全等的概念弄清全等形、 全等三角形概念， 并能进行判断 三角形全等的性质和判定 会利用 、 、 、 、 证明三角形全 等， 能进行二次全等的证明， 能利用全等思想来 说明线段（
2、或角） 相等 一、选择题 （ 江西南昌） 如图， 正方形犃 犅 犆 犇与正三角形犃 犈 犉的 顶点犃重合， 将犃 犈 犉绕顶点犃旋转， 在旋转过程中， 当犅 犈 犇 犉时，犅 犃 犈的大小可以是（） 或 （ 第题） （ 第题） （ 四川攀枝花） 如图，犃 犅 犆犃 犇 犈且犃 犅 犆 犃 犇 犈，犃 犆 犅犃 犈 犇，犅 犆、犇 犈交于点犗则下列四个结 论中， ；犅 犆犇 犈；犃 犅 犇犃 犆 犈；犃、犗、 犆、犈四点在同一个圆上， 一定成立的有（） 个 个 个 个 （ 山东泰安） 如图，犃 犅犆 犇，犈、犉分别为犃 犆、犅 犇的中 点， 若犃 犅 ， 犆 犇 ， 则犈 犉的长是（） （ 第题
3、） （ 第题） （ 山东聊城） 如图， 四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 点犈 在边犅 犆上， 如果点犉是边犃 犇上的点， 那么犆 犇 犉与 犃 犅 犈不一定全等的条件是（） 犇 犉犅 犈 犃 犉犆 犈 犆 犉犃 犈犆 犉犃 犈 （ 广西玉林防城港市） 如图， 在菱形犃 犅 犆 犇中， 对角线 犃 犆、犅 犇相交于点犗， 且犃 犆犅 犇， 则图中全等三角形有 （） 对 对 对 对 （ 第题） （ 第题） （ 广西柳州） 如图小强利用全等三角形的知识测量池塘 两端犕、犖的距离， 如果犘 犙 犗犖犕 犗， 则只需测出其长 度的线段是（） 犘 犗 犘 犙 犕 犗犕犙 （ 黑龙江鸡西） 如图，犃 犅
4、犃 犇，犅 犆犇 犆， 根据什么条件 可以说明犃 犅 犆与犃 犇 犆全等？（） （ 第题） （ 第题） （ 内蒙古赤峰） 如图， 在犃 犅 犆中，犘、犙分别是犅 犆、犃 犆 上的点， 作犘 犚犃 犅，犘 犛犃 犆， 垂足分别是犚、犛， 若犃 犙 犘 犙，犘 犚犘 犛， 下面三个结论：犃 犛犃 犚；犙 犘犃 犚； 犅 犚 犘犆 犛 犘， 正确的是（） 和 和 和 、和 （ 江苏宿迁） 如图， 已知 ， 则 不 一 定 獉 獉 獉 能使 ? 的正式名称叫巴克敏斯特富勒（ ） 或富勒， 其结构与美国发明家理查德巴克敏斯特 富勒设计的“ 网格球顶” 外形相似， 故得此名网格球顶是把正二十面体的正三角形
5、面分成多个相同的正三角形， 然后将 这些相同的正三角形内接于球体内， 最后将各顶点投射于球面而形成在外表面积相同的立体图形中球拥有的体积最 大， 所以， 与球相似的网格球顶较其他建筑物使用材料少、 拥有空间大， 而且又非常轻便、 稳定、 坚固， 因而成为建筑行业 的最爱 犃 犅 犇犃 犆 犇的条件是（） 犃 犅犃 犆 犅 犇犆 犇 犅犆 犅 犇 犃犆 犇 犃 （ 第题） （ 第 题） （ 山东威海） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆， 点犇、犈分别是 边犃 犅、 犃 犆的中点， 点犉在犅 犆边上， 连结犇 犈、犇 犉、犈 犉， 则添加下 列哪一个条件后， 仍无法判定犅 犉 犇与犈 犇 犉全
6、等？（ ） 犈 犉犃 犅 犅 犉犆 犉 犃犇 犉 犈 犅犇 犈 犉 （ 山西运城） 如图，犃 犆 犅犃 犆 犅 ，犅 犆 犅 ， 则犃 犆 犃 的度数为（） （ 第 题） （ 黑龙江牡丹江） 如图， 给出下列四组条件： 犃 犅犇 犈，犅 犆犈 犉，犃 犆犇 犉； 犃 犅犇 犈，犅犈，犅 犆犈 犉； 犅犈，犅 犆犈 犉，犆犉； 犃 犅犇 犈，犃 犆犇 犉，犅犈 其中能使犃 犅 犆犇 犈 犉的条件共有（） （ 第 题） 组 组 组 组 （ 湖北随州） 如图， 在正方形犃 犅 犆 犇中， 点犈是犆 犇边 上一点， 连结犃 犈， 交对角线犅 犇于点犉， 连结犆 犉， 则图中全 等三角形共有（） 对 对
7、 对 对 （ 第 题） （ 第 题） （ 辽宁沈阳） 如图， 在等边犃 犅 犆中，犇为犅 犆边上一 点， 犈为犃 犆边上一点， 且犃 犇 犈 ，犅 犇，犆 犈， 则 犃 犅 犆的边长为（） （ 四川凉山州） 如图所示，犈犉 ，犅犆， 犃 犈犃 犉， 结论：犈犕犉 犖；犆 犇犇犖； 犉 犃犖 犈 犃犕；犃 犆 犖犃 犅犕其中正确的有（） 个 个 个 个 （ 第 题） （ 第 题） （ 江苏扬州） 电子跳蚤游戏盘是如图所示的犃 犅 犆， 犃 犅 ，犃 犆 ，犅 犆 如果跳蚤开始时在犅 犆边的犘处， 犅 犘 跳蚤第一步从犘跳到犃 犆边的犘（ 第次落点） 处， 且犆 犘犆 犘； 第二步从犘跳到犃 犅边
8、的犘（ 第次落 点） 处， 且犃 犘犃 犘； 第三步从犘跳到犅 犆边的犘（ 第次 落点） 处， 且犅 犘犅 犘； ； 跳蚤按上述规则一直跳下去， 第狀次落点为犘狀（ 狀为正整数） ， 则点犘 与犘 之间的距 离为（） 二、填空题 （ 山东临沂） 在 犃 犅 犆中，犃 犆 犅 ，犅 犆 ， 犆 犇犃 犅， 在犃 犆上取一点犈， 使犈 犆犅 犆， 过点犈作犈 犉犃 犆 交犆 犇的延长线于点犉， 若犈 犉 ， 则犃 犈 （ 第 题） （ 第 题） （ 黑龙江齐齐哈尔） 如图， 已知犃 犆犅 犇， 要使犃 犅 犆 犇 犆 犅， 则只需添加一个适当的条件是（ 填一个 即可） （ 四川宜宾） 如图， 在犃
9、 犅 犆中，犃 犅犅 犆， 将犃 犅 犆 绕点犅顺时针旋转度， 得到犃犅 犆，犃犅交犃 犆于点犈， 犃犆分别交犃 犆、犅 犆于点犇、犉， 下列结论：犆 犇 犉， 犃犈犆 犉，犇 犉犉 犆，犃 犇犆 犈，犃犉犆 犈 其中正确的是（ 写出正确结论的序号） （ 第 题） ? 一棵树高九丈八， 一只蜗牛往上爬白天往上爬一丈， 晚上下滑七尺八试问需要多少天， 爬到树顶不下滑？ 解： 设蜗牛需狓天才爬至树顶不下滑， 而爬到九丈八需狓天， 可列方程式如下： （ ） （狓 ） ， 解得狓 ， 即蜗牛需 天才爬到树顶不下滑 三、解答题 （ 四川宜宾） 如图， 点犃、犅、犇、犈在同一直线上，犃 犇 犈 犅，犅 犆
10、犇 犉，犆犉求证：犃 犆犈 犉 （ 第 题） （ 重庆） 已知： 如图，犃 犅犃 犈， ，犅犈 求证： 犅 犆犈 犇 （ 第 题） （ 北京） 如图， 点犃、犅、犆、犇在同一条直线上，犅 犈 犇 犉，犃犉，犃 犅犉 犇， 求证：犃 犈犉 犆 （ 第 题） （ 广东江门） 已知： 如图，犈、犉在犃 犆上，犃 犇犆 犅且 犃 犇犆 犅，犇犅 求证： 犃 犈犆 犉 （ 第 题） （ 江苏苏州） 如图，犆是线段犃 犅的中点，犆 犇平分 犃 犆 犈，犆 犈平分犅 犆 犇，犆 犇犆 犈 （ ） 求证：犃 犆 犇犅 犆 犈； （ ） 若犇 ， 求犅的度数 （ 第 题） 趋势总揽 年命题趋势将三角形的全等融入
11、到平行四边形的证 明， 而三角形的运动、 折叠、 旋转、 拼接形成新的数学问题， 从而 考查考生探究问题的能力 高分锦囊 例如求一条线段等于另两条线段之和时， 通常都采用截长 补短法 常考点清单 一、全等三角形的性质 全等三角形对应边， 对应角 全等三角形对应边的中线， 对应角的平分线 ， 对应边上的高， 全等三角形的周长， 面积 二、三角形全等的条件 三边对应的两个三角形全等（ 可以简写成 “” 或“” ） 两边和它们的对应相等的两个三角形全等（ 可 以简写成“” 或“” ） 两角和它们的对应相等的两个三角形全等（ 可 以简写成“” 或“” ） 两个角和其中一个角的对应相等的两个三角形 全等
12、（ 可以简写成“ 角角边” 或“ ” ） 斜边和一条对应相等的两个直角三角形全等 （ 可以简写成“” 或“ ” ） 易混点剖析 两边和一角对应相等的两个三角形全等是错误的如图在 犃 犅 犆和犃 犅 犇中，犃 犅犃 犅，犃 犆犃 犇，犅犅， 但犃 犅 犆 与犃 犅 犇并不全等所以“ ” 不能判定两个三角形全等， 必须 是“ 两边及其夹角对应相等” 的两个三角形全等 ?（ ?） 在战争中， 有时一个小小数据的忽略， 也会招致整个战局的失利第二次世界大战中， 日本联合舰队司令山本五十六是 一个“ 要么全赢， 要么输个精光” 的“ 拼命将军”在中途岛海战中， 当日本舰队发现按计划空袭失利， 海面出现美
13、军航空母舰 时， 山本五十六不听同僚的建议， 妄图一举歼灭对方， 他命令停在甲板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰， 企图靠鱼 雷击沉航空母舰获得最大的打击效果， 而根本未考虑飞机在换装鱼雷的过程中最快也需五分钟， 而在这五分钟内， 有被美 军航空母舰上的飞机先行攻击的可能 易错题警示 【 例】 （ 贵州铜仁） 如图，犈、犉是四边形犃 犅 犆 犇的 对角线犅 犇上的两点，犃 犈犆 犉，犃 犈犆 犉，犅 犈犇 犉求证： 犃 犇 犈犆 犅 犉 【 解析】本题是全等的判定以及全等的运用（ 判断直线位 置关系） ， 灵活运用全等的判定定理， 善于使用已知条件， 从已知 条件得出有用的结论 【 答案】
14、犃 犈犆 犉， 犃 犈 犇犆 犉 犅 犇 犉犅 犈， 犇 犉犈 犉犅 犈犈 犉， 即犇 犈犅 犉 在犃 犇 犈和犆 犅 犉中， 犃 犈犆 犉， 犃 犈 犇犆 犉 犅， 犇 犈犅 犉 烅 烄 烆， 犃 犇 犈犆 犅 犉（ ） 【 例】 （ 浙江衢州） 如图， 在平行四边形犃 犅 犆 犇 中， 犈、犉是对角线犅 犇上的两点， 且犅 犈犇 犉， 连结犃 犈、犆 犉请你 猜想： 犃 犈与犆 犉有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明 【 解析】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判 定与性质， 注意掌握平行四边形的对边平行且相等， 注意数形结 合思想的应用由四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 即可得
15、犃 犅 犆 犇，犃 犅犆 犇， 然后利用平行线的性质， 求得犃 犅 犈犆 犇 犉， 又 由犅 犈犇 犉， 即可证得犃 犅 犈犆 犇 犉， 继而可得犃 犈犆 犉 【 答案】猜想： 犃 犈犆 犉 证明：四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 犃 犅犆 犇， 犃 犅犆 犇 犃 犅 犈犆 犇 犉 在犃 犅 犈和犆 犇 犉中， 犃 犅犆 犇， 犃 犅 犈犆 犇 犉， 犅 犈犇 犉 烅 烄 烆， 犃 犅 犈犆 犇 犉（ ） 犃 犈犆 犉 一、选择题 （ 宁夏模拟） 如图，犃 犅 犆，犆 ，犃 犇平分犅 犃 犆， 犃 犈犃 犆， 连结犇 犈， 则下列结论中错误的是（） 犃 犆犇 犈 犇 犈犇 犆 犃 犇 犈犃
16、犇 犆 犃 犇 犈犃 犇 犆 （ 第题） （ 第题） （ 广东深圳市全真模拟） 如图， 将两根钢条犃 犃 、犅 犅 的 中点犗连在一起， 使犃 犃 、犅 犅 可以绕着点犗自由转动， 就做 成一个测量工件， 则犃 犅 长等于内槽宽犃 犅， 那么判断犃 犗 犅 犃 犗 犅 的理由是（） 边角边 角边角 边边边角角边 二、填空题 （ 辽宁阜新模拟） 如图， 在犃 犅 犆和犃 犅 犇中，犆 犇 ， 要使犃 犅 犆 犃 犅 犇， 还需增加一个条件是 （ 第题） （ 第题） （ 甘肃庆阳模拟） 如图，犃 犆 犅犃 犇 犅， 要使犃 犆 犅 犅 犇 犃， 请写出一个符合要求的条件 （ 第题） 三、解答题 （
17、 浙江温州市泰顺九校模拟） 如图， 已知犃 犇是犃 犅 犆的角平分 线， 在不添加任何辅助线的前提下， 要使犃 犈 犇犃 犉 犇， 需添加一个 条件是：， 并给予证明 （ 第题） （ 贵州兴仁中学一模） 如图， 在 犃 犅 犆 犇中，犈为犅 犆的中点， 连结犇 犈 延 长犇 犈交犃 犅的延长线于点犉求证： 犃 犅 犅 犉 ?（ ?） 果然， 由于美军成功破译了日本海军的密码， 读懂了山本五十六发给各指挥官的命令（ 而这密码破译的情报是 由一留日归国的中国留学生池步洲所提供的） ， 在日本飞机把炸弹换装鱼雷的五分钟内， 日舰和“ 躺在甲板上的飞 机” 变成了活靶， 受到迅速起飞的美军飞机的“ 全
18、面屠杀” ， 日舰队被击溃， 山本五十六也被击毙， 日本在太平洋战场 上由战略进攻转入了战略防御这“ 错误的五分钟” 给日本舰队造成了多么惨重的损失 （ 福建莆田模拟） 如图， 在正方形犃 犅 犆 犇中，犈、犉分别 为犅 犆、 犆 犇边上的点，犆 犈犇 犉，犃 犈与犅 犉交于点犕 求证： 犃 犈犅 犉 （ 第题） （ 北京西城区模拟） 已知： 如图， 直线犃 犅同侧两点犆、犇 满足犆 犃 犇犇 犅 犆， 犃 犆犅 犇，犅 犆与犃 犇相交于点犈 求证： 犃 犈犅 犈 （ 第题） （ 第题） 如图， 在锐角犃 犅 犆中，犅 犃 犆 ， 犅 犇、犆 犈为高，犉是犅 犆的中点， 连结 犇 犈、犈 犉、
19、犉 犇， 则以下结论中一定正确的 个数有（） 犈 犉犉 犇；犃 犇犃 犅犃 犈犃 犆； 犇 犈 犉是等边三角形；犅 犈犆 犇 犅 犆；当犃 犅 犆 时，犅 犈槡 犇 犈 个 个 个 个 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犆 犅 ，犆 犇犃 犅于点犇， 点犈在 犃 犆上，犆 犈犅 犆， 过点犈作犃 犆的垂线， 交犆 犇的延长线于点 犉求证：犃 犅犉 犆 （ 第题） 如图，犆 犇犃 犅，犅 犈犃 犆， 垂足分别为犇、犈，犅 犈、犆 犇相交于点 犗， 试说明： （ ） 当 时， 求证犗 犅犗 犆； （ ） 当犗 犅犗 犆时， 求证 （ 第题） 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证 明我们可得
20、三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离 与重心到该顶点对边中点的距离之比为 请你用此性质 解决下面的问题 已知： 如图， 点犗为等腰直角三角形犃 犅 犆的重心，犆 犃 犅 ， 直线犿过点犗， 过犃、犅、犆三点分别作直线犿的垂线， 垂 足分别为点犇、 犈、犉 （ ） 当直线犿与犅 犆平行时（ 如图（） ） ， 请你猜想线段犅 犈、犆 犉 和犃 犇三者之间的数量关系并证明； （ ） 当直线犿绕点犗旋转到与犅 犆不平行时， 分别探究在图 （ ） 、 图（） 这两种情况下， 上述结论是否还成立？若成立， 请给予证明； 若不成立， 线段犃 犇、 犅 犈、犆 犉三者之间又有怎 样的数量关系？请写出你
21、的结论， 不需证明 （） （） （） （ 第题 ） 全等三角形 年考题探究 解析 利用正方形的性质和等边三角形的性质证明 犃 犅 犈犃 犇 犉（ ） ， 有相似三角形的性质和已知条件 即可求出当犅 犈犇 犉时，犅 犃 犈的大小， 应该注意的是， 正三角形犃 犈 犉可以在正方形的内部也可以在正方形的外 部， 所以要分两种情况分别求解 解 析 由犃 犅 犆 犃 犇 犈 且犃 犅 犆 犃 犇 犈， 犃 犆 犅犃 犈 犇， 根据全等三角形的性质， 即可求得犅 犆 犇 犈，犅 犃 犆犇 犃 犈， 继而可得 ， 则可判定 正确； 由犃 犅 犆犃 犇 犈， 可得犃 犅犃 犇，犃 犆犃 犈， 则 可得犃 犅犃
22、 犆犃 犇犃 犈， 根据有两边对应成比例且夹角 相等三角形相似， 即可判定正确； 已知犃 犈 犗犃 犆 犗， 可判定犃、犗、犆、犈四点在同一个圆上 解析 连结犇 犈并延长交犃 犅 于犎， 证犇 犆 犈 犎犃 犈 解析 根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方 法逐项分析即可 解析犃 犅 犗犃 犇 犗，犃 犅 犗犆 犇 犗， 犃 犅 犗 犆 犅 犗，犃 犇 犗 犆 犇 犗，犃 犇 犗 犆 犅 犗，犇 犆 犗 犅 犆 犗，犃 犅 犇犆 犅 犇，犃 犅 犆犃 犇 犆 解析 已知犘 犙 犗犖犕犇， 所以犕犖犘 犙 解析犃 犆是公共边 解析 由犘 犚犘 犛得出犃 犘平分犅 犃 犆， 从而得出 正确 解析
23、 无“ 边边角” 相等证两三角形全等 解析、条件均使四边形犅 犉 犈 犇为平行四边形 解析犃 犆 犅犃 犆 犅 ， 得犃 犆 犃 犅 犆 犅 解析均可判定 解析 由正方形对称性知：犃 犅 犇犆 犅 犇； 犃 犉 犇 犆 犉 犇；犃 犅 犉犆 犅 犉 解析犃 犇 犈犃 犅 犆 ，犅 犃 犇犃 犇 犅 犆 犇 犈 犃 犇 犅 ， 所以犅 犃 犇 犆 犇 犈， 所以 犅 犃 犇犆 犇 犈， 则有犅 犃（犅 犃犅 犇）犅 犇犆 犈， 易 得犅 犃 解析 由题意易证犃 犅 犈犃 犆 犉， 则犈 犃 犅 犆 犃 犉， 所以正确； 进一步可证明犃犕犈犃犖 犉， 则 正确； 由可证犃 犆 犖犃 犅犕， 则正确
24、； 由可证 犆 犇犕犅 犇犖， 则犆 犇犅 犇犇犖，错误 解析 分析可知， 第次落点回到了起点犘处， 如此 循环下去， 则点犘 落点在现在的犘（ 第次落点） 处， 犘 在犃 犆上且到点犆的距离是的点的位置， 则点 犘 与犘 之间的距离为 解析犃 犆 犅 ， 犈 犆 犉犅 犆 犇 犆 犇犃 犅， 犅 犆 犇犅 犈 犆 犉犅 在犃 犅 犆和犉 犈 犆中， 犈 犆 犉犅， 犈 犆犅 犆， 犃 犆 犅犉 犈 犆 烅 烄 烆 ， 犃 犅 犆犉 犆 犈（ ） 犃 犆犈 犉 犃 犈犃 犆犆 犈， 犅 犆 ，犈 犉 ， 犃 犈 （ ） 犃 犅犆 犇或犃 犆 犅犇 犅 犆 解析犆 犇 犉犆 犅 犆犃 犅犃， 故
25、 正确； 由犃犅 犉犆 犅 犈， 得犅 犈犅 犉， 所以犃犈犆 犉， 故正确也同时得犃犉犆 犈， 故正确 犃 犇犈 犅， 犃 犇犅 犇犈 犅犅 犇， 即犃 犅犈 犇 又犅 犆犇 犉， 犆 犅 犇犉 犇 犅 犃 犅 犆犈 犇 犉 又犆犉， 犃 犅 犆犈 犇 犉 犃 犆犈 犉 ， 犅 犃 犇 犅 犃 犇， 即犈 犃 犇犅 犃 犆 在犈 犃 犇和犅 犃 犆中， 犅犈， 犃 犅犃 犈， 犅 犃 犆犈 犃 犇 烅 烄 烆 ， 犃 犅 犆犃 犈 犇（ ） 犅 犆犈 犇 犅 犈犇 犉， 犃 犅 犈犇 又犃 犅犉 犇，犃犉， 犈 犃 犅犆 犉 犇 犃 犈犆 犉 犃 犇犆 犅， 犃犆 又犃 犇犆 犅，犇犅， 犃
26、 犇 犉犆 犅 犈 犃 犉犆 犈 犃 犉犉 犈犆 犈犉 犈， 即犃 犈犆 犉 （）点犆是线段犃 犅的中点， 犃 犆犅 犆 又犆 犇平分犃 犆 犈，犆 犈平分犅 犆 犇， ， ， 在犃 犆 犇和犅 犆 犈中， 犆 犇犆 犈， ， 犃 犆犅 犆 烅 烄 烆 ， 犃 犆 犇犅 犆 犈 （） ， 犃 犆 犇犅 犆 犈， 犈犇 犅 犈 年模拟提优 解析犃 犆犃 犈 解析 由中点定义及对顶角相等知边角边证两三角 形全等 犃 犆犃 犇或犅 犆犅 犇， 或犆 犃 犅犇 犃 犅， 或犆 犅 犃 犇 犅 犃（ 注： 答案不唯一， 可任选一个） 犆 犃 犅犇 犅 犃或犆 犅 犃犇 犃 犅 解析 由“ ” 说 明两三
27、角形全等 解法一： 添加条件：犃 犈犃 犉 证明： 在犃 犈 犇与犃 犉 犇中， 犃 犈犃 犉，犈 犃 犇犉 犃 犇， 犃 犇犃 犇， 犃 犈 犇犃 犉 犇（ ） 解法二： 添加条件：犈 犇 犃犉 犇 犃 证明： 在犃 犈 犇与犃 犉 犇中， 犈 犃 犇犉 犃 犇，犃 犇犃 犇，犈 犇 犃犉 犇 犃， 犃 犈 犇犃 犉 犇（ ） 解法三： 添加条件：犇 犈 犃犇 犉 犃 证明： 在犃 犈 犇与犃 犉 犇中， 犇 犈 犃犇 犉 犃，犈 犃 犇犉 犃 犇， 犃 犇犃 犇， 犃 犈 犇犃 犉 犇（ ） 由犃 犅 犆 犇， 得犃 犅犆 犇， 犆 犇 犉犉，犆 犅 犉犆 又犈为犅 犆的中点， 犈 犆犈
28、犅 犇 犈 犆犉 犈 犅 犇 犆犉 犅 由犃 犅 犆 犇， 得犃 犅犆 犇 犇 犆犉 犅，犃 犅犆 犇 ， 犃 犅犅 犉 四边形犃 犅 犆 犇为正方形， 犃 犅 犈犅 犆 犉 ， 犃 犅犅 犆犆 犇 犆 犈犇 犉， 犅 犈犅 犆犆 犈犆 犇犇 犉犆 犉 犃 犅 犈犅 犆 犉 犅 犃 犈犆 犅 犉 犅 犃 犈犅 犈 犃 ， 犆 犅 犉犅 犈 犃 犅犕犈 （犆 犅 犉犅 犈 犃） 犃 犈犅 犉 在犃 犆 犈和犅 犇 犈中， 犆 犃 犈犇 犅 犈， 犃 犈 犆犅 犈 犇， 犃 犆犅 犇 烅 烄 烆 ， 犃 犆 犈犅 犇 犈 犃 犈犅 犈 考情预测 解析 由题意， 得犅 犈 犆与犅 犇 犆都是直角三角
29、形， 且犅 犆是斜边，犉是犅 犆的中点， 则由直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半可知正确； 又由犃 犅 犇犃 犆 犈 可得正确； 又犈 犉 犇 犈 犉 犅犇 犉 犆 （ 犃 犅 犆）（ 犃 犆 犅）犃 犅 犆 犃 犆 犅 （ 犃） 犃 ， 所以犇 犈 犉是等边三角形，正确； 只有犃 犅 犆是等边三 角形的情况下才有犅 犈犆 犇犅 犆， 所以错误； 当犃 犅 犆 时，犈 犉是等腰直角三角形犈 犅 犆斜边上的高， 所以 犅 犈槡 犈 犉槡 犇 犈，正确 犉 犈犃 犆于点犈，犃 犆 犅 ， 犉 犈 犆犃 犆 犅 犉犈 犆 犉 又犆 犇犃 犅于点犇， 犃犈 犆 犉 犃犉 犃犉， 犃 犆 犅犉 犈
30、犆， 犅 犆犆 犈 烄 烆 ， 犃 犅 犆犉 犆 犈 犃 犅犉 犆 （）犃 犇 犗犃 犈 犗 ， ，犃 犗犃 犗， 犃 犇 犗犃 犈 犗 犗 犇犗 犈 犅 犗 犇犆 犗 犈， 犗 犇犗 犈， 犗 犇 犅犗 犈 犆 烅 烄 烆 ， 犅 犗 犇犆 犗 犈 犗 犅犗 犆 （） 犗 犅犗 犆， 犅 犗 犇犆 犗 犈， 犗 犇 犅犗 犈 犆 烅 烄 烆 ， 犅 犗 犇犆 犗 犈 犗 犇犗 犈 又犃 犗是公共边， 犃 犇 犗 犃 犈 犗 （） 猜想：犅 犈犆 犉犃 犇 证明： 如图（） ， 延长犃 犗交犅 犆于点犕 （ 第题（） ） 点犗为等腰直角三角形犃 犅 犆的重心， 犃 犗 犗犕且犃犕犅 犆 又犈 犉犅 犆， 犃犕犈 犉 犅 犈犈 犉，犆 犉犈 犉， 犈 犅犗犕犆 犉 犈 犅犗 犕犆 犉 犈 犅犆 犉 犗犕犃 犇 （） 图（） 结论：犅 犈犆 犉犃 犇， （ 第题（） ） 证明： 连结犃 犗并延长交犅 犆于点犌， 过犌作犌犎犈 犉于 点犎 由重心性质可得犃 犗 犗 犌 犃 犇 犗犗犎犌 ，犃 犗 犇犎 犗 犌， 犃 犗 犇犌 犗犎 犃 犇 犎犌 犗为重心， 犌为犅 犆中点 犌犎犈 犉，犅 犈犈 犉， 犆 犉犈 犉， 犈 犅犎犌犆 犉 犎为犈 犉中点 犎 犌 （犈 犅犆 犉） 犈 犅犆 犉犃 犇 图（） 结论：犆 犉犅 犈犃 犇
