1、?（ ?） 年， 英国剑桥大学 岁的学生亚当斯， 根据力学原理， 利用微积分等数学工具， 足足用了 个月的时间， 终于算 出这颗未知行星的位置这年 月 日， 他兴高采烈地把算出的结果寄给英国格林威治天文台台长艾利不料， 这位台长 是一个迷信权威的人， 根本看不起亚当斯这样的“ 小人物” ， 对他采取不理不睬的态度比亚当斯稍晚， 法国巴黎天文台青年 数学家勒维列于 年解了由几十个方程组成的方程组， 于 年月 日计算出了这颗新行星的轨道 第章 图形的认识 角、 相交线与平行线 内容清单能力要求 点、 线、 面能记住点、 线、 面的概念 角的概念及表示 能利用角的概念判断角的大小及角的 表示方法 角
2、的度量与计算会进行角的换算 估计、 比较角的大小能正确区分角的大小 计算角度的和与差会进行角的和、 差运算 角的平分线及其性质掌握角平分线定理 补角、 余角、 对顶角的概念 能区分补角、 余角的概念， 记住补角、 余 角的性质 垂线、 垂线段、 点到直线的距离能区分垂线、 垂线段的联系与区别 线段的垂直平分线及其性质 能记住线段垂直平分线定理并能正确 使用 用三角尺或量角器画直线的垂线会画直线的垂线 平行线的概念， 两直线平行的性质和判定 掌握平行的概念， 会进行平行线的判 断 用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线能利用直尺画直线的平行线 两平行线之间的距离会作两平行线间的距离 度量两
3、平行线之间的距离能确定并准确度量两平行线间的距离 一、选择题 （ 福建福州） 如图， 直线犪犫， ， 那么 的度 数是（） （ 第题） （ 第题） ?（ ?） 他于这一年月 日写信给当时拥有详细星图的柏林天文台的工作人员加勒， 对他说： “ 请你把望远镜对准黄道上的宝 瓶星座， 即经度 度的地方， 那么你将在离此点度左右的区域内见到一颗九等星” （ 肉眼所能见到的最弱的星是六等星） 加勒在月 日接到了勒维列的信， 当夜他就按照勒维列指定的位置观察， 果然在半小时内， 找到一颗以前没有见过的星， 距勒维列计算的位置相差只有 经过 小时的连续观察， 他发现这颗星在恒星间移动着， 的确是一颗行星 （
4、 山西） 如图， 直线犃 犅犆 犇，犃 犉交犆 犇于点犈，犆 犈 犉 ， 则犃等于（） （ 第题） （ 山东济宁） 用直尺和圆规作一个 角的平分线的示意图如图所示， 则能说 明犃 犗 犆犅 犗 犆的依据是（） 角平分线上的点到角两边距离相等 （ 湖南长沙） 下列四个角中， 最有可能与 角互补的是 （） （ 第题） （ 北京） 如图， 直线犃 犅、犆 犇交于 点犗， 射线犗犕平分犃 犗 犆， 若犅 犗 犇 ， 则犅 犗犕等于（） （ 山东滨州） 借助一副三角尺， 你 能画出下面哪个度数的角？（ ） （ 第题） （ 广西桂林） 如图， 与 是内错 角的是（） （ 浙 江 义 乌）如 图，已 知犃
5、犅犆 犇，犃 ， 犆 ， 则犈等于（） （ 第题） （ 第题） （ 重庆） 如图，犃 犅犆 犇，犆 ，犆 犃 犇 ， 则 犅 犃 犇的度数为（） （ 贵州安顺） 如图， 已知犃 犅犆 犇，犅 犈平分犃 犅 犆， 犆 犇 犈 ， 则犆的度数是（） （ 第 题） （ 第 题） （ 湖北襄阳） 如图，犆 犇犃 犅， ， ， 则 犈的度数是（） （ 湖南邵阳） 如图， 已知点犗是直线犃 犅上一点， ，犗 犇平分犆 犗 犅， 则 的度数是（ ） （ 第 题） （ 第 题） （ 重庆綦江） 如图， 直线犪犫，犃 犆犃 犅，犃 犆交直线犫 于点犆， ， 则 的度数是（） （ 重庆江津） 下列说法中不正确的是
6、（） 两直线平行， 同位角相等 两点之间直线最短 对顶角相等半圆所对的圆周角是直角 （ 第 题） （ 山西） 如图， 直线犪犫， 直线犮 分别与犪， 犫相交于点犃、犅已知 ， 则 的度数为（） 二、填空题 （ 江苏扬州） 一个锐角是 度， 则它的余角是度 （ 广东广州） 已知犃 犅 犆 ，犅 犇是犃 犅 犆的平分 线， 则犃 犅 犇度 （ 宁夏） 如图，犆岛在犃岛的北偏东 方向， 在犅岛 的北偏西 方向， 则从犆岛看犃、犅两岛的视角犃 犆 犅 度 （ 第 题） （ 第 题） （ 福建莆田） 将一副三角尺按如图所示放置， 则 度 （ 四川宜宾） 如图， 已知 ， 则 ? 近代科学的始祖 笛卡儿（
7、 ） ， 法国数学家、 科学家和哲学家， 欧洲近代哲学的奠基人之一， 黑格尔 称之为“ 现代哲学之父”同时， 笛卡儿是勇于探索的科学家， 他创立了 世纪最有权威的宇宙论 漩涡说； 在物理 学、 生理学等领域都有值得称道的创见； 数学上创立了解析几何， 打开了近代数学的大门， 在科学史上具有划时代的 意义人们在他的墓碑上刻下： “ 笛卡儿， 欧洲文艺复兴以来， 第一个为人类争取并保证理性权利的人” （ 第 题） （ 第 题） （ 浙江温州） 如图，犪犫， ， ， 则 （ 四川广安） 如图，犪犫， 直线犮与直线犪，犫分别相交 于点犃、 犅，犃犕犫， 垂足为犕， 若 ， 则 （ 第 题） （ 第 题
8、） （ 四川绵阳） 如图，犃 犅犆 犇，犆 犘交犃 犅于点犗，犃 犗 犘 犗， 若犆 ， 则犃 （ 江苏南通） 已知 ， 则的余角为 （ 安徽芜湖）一个角的补角是 ， 这个角是 三、解答题 （ 广东） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆，犃 犅 犆 （ ） 用直尺和圆规作犃 犅 犆的平分线犅 犇交犃 犆于点犇（ 保 留作图痕迹， 不要求写作法） ； （ ） 在（） 中作出犃 犅 犆的平分线犅 犇后， 求犅 犇 犆的度数 （ 第 题） （ 山东德州） 如图， 有公路犾同侧、犾异侧的两个城镇 犃、犅， 如下图电信部门要修建一座信号发射塔， 按照设计要 求， 发射塔到两个城镇犃、犅的距离必须相等，
9、 到两条公路 犾，犾的距离也必须相等， 发射塔犆应修建在什么位置？请 用尺规作图找出所有符合条件的点， 注明点犆的位置（ 保 留作图痕迹， 不要求写出画法） （ 第 题） （ 重庆潼南） 画犃 犅 犆， 使其两边为已知线段犪，犫， 夹 角为（ 要求： 用尺规作图， 写出已知、 求作； 保留作图痕迹； 不在已知的线、 角上作图； 不写作法） （ 第 题） 已知： 求作： （ 四川凉山州） 已知：犃 犗 犅， 求作犃 犗 犅的平分线， 如图所示， 填写作法： （ 第 题） 趋势总揽 纵观近年的全国课改试验区和非试验区的中考试题， 本 节的知识点有角的平分线及其性质， 补角、 余角、 对顶角的概念，
10、 平行线的性质与判定 年命题趋势仍以考查以上知识点为主， 以填空题和选 择题为主要考查形式， 预计 年仍将沿袭此种考法 高分锦囊 准确掌握角的概念， 角的平分线及其性质， 补角、 余角、 对顶 角的概念， 平行线的性质与判定加强对基本概念和性质的认识 与理解灵活运用平行线的性质与判定确定角的大小 ?（ ?） 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体， 它的一端是平整的六角形开口， 另一端是封闭的六角菱锥形的底， 由三个相同的菱形 组成组成底盘的菱形的钝角为 度 分， 所有的锐角为 度 分， 这样既坚固又省料蜂房的巢壁厚 毫米， 误 差极小 常考点清单 一、几个重要的概念 几何图形 （ ）和统称为几何图形 （
11、 ） 构成几何体的要素依次有、 线、 两点间的距离 连结两点间的的长度叫做这两点间的距离 两角的互余与互补 若 ， 则 与 ； 若 ， 则 与 线段的中点 如图， 如果犃 犆犅 犆， 那么称点犆 为线段犃 犅的， 并且有犃 犆犅 犆 犃 犅， 犃 犅犃 犆 犅 犆 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的的距离叫做点到直线的 距离（ 如图） ， 即点犘到直线犾的距离为 方位角的界定 如图， 点犅位于点犗的南偏西 方向 命题 判断一件事情的， 叫做命题； 命题由和 两部分组成 二、几个重要的性质 经过两点一条直线， 简单地说： 两点一 条直线 连结两点的所有的线中，最短 等角的余角； 等角的补角
12、平行线的性质 性质： 两直线平行， 性质： 两直线平行， 性质： 两直线平行， 垂直的重要性质 （ ） 过一点一条直线与已知直线垂直 （ ） 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短 三、直线平行的条件 （） （） 方法一： 若犪犫， 犫犮， 则 方法二： 如图（ ） ， 若 ， 则犪犫 方法三： 如图（ ） ， 若 ， 则犪犫 方法四： 如图（ ） ， 若 ， 则犪犫 方法五： 如图（ ） ， 若犪犫，犪犮， 则（ 在同一平面内） 四、几个重要的等量关系 周角，平角，直角 ； 易混点剖析 直线、 射线、 线段的概念及表示方法线段中点的表示， 如： 犃 犅犅 犆 犃 犆， 才能说点 犅是
13、线段犃 犆的中点；犅 犆 犃 犆， 则不能说点犅 是线段犃 犆的中点对于角有类似的结论 “ 对顶角相等”这一结论（ 正确、 不正确）“ 相等 的角是对顶角” 这一结论（ 正确、 不正确） 两点间的距离， 点到直线的距离， 平行线间的距离的区别 与联系 同位角、 内错角和同旁内角的关系当两直线平行， 被第 三条直线所截构成的同位角、 内错角和同旁内角的位置关系 易错题警示 【 例】 （ 山东菏泽） 已知线段犃 犅 ， 在直线 犃 犅上画线段犅 犆， 使它等于 ， 则线段犃 犆 【 解析】本题主要是求两点间的距离因为没有图形， 所以 最易犯得错误是少了一个解由题意知， 点犆可能在线段犅 犆上， 也
14、可能在犅 犆的延长线上 【 答案】若点犆在线段犅 犆上， 则犃 犆犃 犅犅 犆 （ ） ； 若点犆在犅 犆的延长线上， 则犃 犆犃 犅犅 犆 （ ） 故答案为或 【 例】 （ 湖北恩施州）犃 犅犆 犇， 直线犈 犉交犃 犅于 点犈， 交犆 犇于点犉， 犈 犌平分犅 犈 犉， 交犆 犇于点犌， ， 则 等于 ?（ ?） 丹顶鹤总是成群结队迁飞， 而且排成“ 人” 字形“ 人” 字形的角度是 度更精确的计算还表明“ 人” 字形夹角的 一半 即每边与鹤群前进方向的夹角为 度 分秒！而金刚石结晶体的角度正好也是 度 分秒！是巧 合还是某种大自然的“ 默契” ？ 【 解析】由犃 犅犆 犇， ， 根据两直
15、线平行， 同旁内角 互补， 即可求得犅 犈 犉的度数， 又由犈 犌平分犅 犈 犉， 求得 犅 犈 犌的度数， 然后根据两直线平行， 内错角相等， 即可求得 的度数此题考查了平行线的性质与角平分线的定义注意掌握 两直线平行， 同旁内角互补与两直线平行， 内错角相等定理的应 用及区别是解题关键 【 答案】犃 犅犆 犇， 犅 犈 犉 ， 犅 犈 犉 犈 犌平分犅 犈 犉， 犅 犈 犌犅 犈 犉 犅 犈 犌 【 例】 （ 湖南娄底）犉 犈犗 犖，犗 犈平分犕 犗 犖， 犉 犈 犗 ， 则犕 犉 犈度 【 解析】根据平行线的性质得出犖 犗 犈犉 犈 犗， 再根据 角平分线的性质得出犖 犗 犈犈 犗 犉，
16、 由三角形外角的性质即 可得出结论分清外角性质， 平分线性质的区别， 并能灵活运用 这些性质是解题关键 【 答案】犉 犈犗 犖，犉 犈 犗 犖 犗 犈犉 犈 犗 犗 犈平分犕 犗 犖， 犖 犗 犈犈 犗 犉 犕 犉 犈是犈 犗 犉的外角， 犕 犉 犈犖 犗 犈犈 犗 犉 年全国中考仿真演练 一、选择题 （ 湖北荆门东宝区模拟）如图， 已知直线犪犫， ， 则 等于（） （ 第题） （ 第题） （ 北京市延庆县一诊考试） 如图所示， 已知犃 犅犆 犇， 犈 犉平分犆 犈 犌， ， 则 的度数为（） （ 海南省中考数学科模拟） 如图， 直线犪，犫被直线犮所 截， 如果犪犫， 那么（） （ 第题） （
17、 第题） （ 安徽安庆一模） 如图， 直线犾犾， 则 等于（） （ 广州白云区模拟） 如图， 点犇是犃 犅 犆的边犃 犅延长 线上一点，犅 犈犃 犆， 且犅 犈平分犆 犅 犇， 若犆 ， 则 犃 犅 犆等于（） （ 第题） （ 第题） （ 北京海淀区模拟） 如图， 在 犃 犅 犆中，犃 犆 犅 ， 过点犆的直线犇 犉与犅 犃 犆的平分线犃 犈平行， 若犅 ， 则犅 犆 犉等于（） （ 第题） （ 河北保定模拟） 如图， 将三角尺的 直角顶点放在直尺的一边上， ， ， 则 的度数等于（） 二、填空题 （ 广西柳州市中考数学模拟试题） 如图， 直线犕犃 犖 犅，犃 ，犅 ， 则犘 ?（ ?） 蜘蛛
18、结的“ 八卦” 形图， 是既复杂又美丽的八角形几何图案， 人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀 称的图案 （ 第题） （ 浙江瑞安市模考） 已知犃 ， 则犃的余角是 度 （ 上海市黄浦二模） 如图，犃 犉是犅 犃 犆的角平分线， 犈 犉犃 犆， 如果 ， 那么犅 犃 犆 （ 第 题） （ 南京综合体一模） 如图， 一位同学将一块含 角的 三角板叠放在直尺上， 若 ， 则 （ 第 题） （ 第 题） （ 河南郑州模拟） 将一副三角板按图中方式叠放， 则角 的度数为 三、解答题 （ 北京丰台一模） 已知： 在犃 犅 犆中，犅 犆犪，犃 犆犫， 以犃 犅为边作等边三角形犃 犅 犇探究下列问题
19、： （ ） 如图（） ， 当点犇与点犆位于直线犃 犅的两侧时，犪 犫 ， 且犃 犆 犅 ， 则犆 犇； （ ） 如图（） ， 当点犇与点犆位于直线犃 犅的同侧时，犪 犫 ， 且犃 犆 犅 ， 则犆 犇； （ ） 如图（） ， 当犃 犆 犅变化， 且点犇与点犆位于直线犃 犅的 两侧时， 求犆 犇的最大值及相应的犃 犆 犅的度数 （） （） （） （ 第 题 ） 如图， 已知 ， 如果犆 犇犅 犈， 那么犅的度数为（） （ 第题） （ 第题） 如图， 有一块含有 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的 对边上， 如果 ， 那么 的度数为（） 下列图形中能肯定 的是（） （） 如图所示，犃 犗 犅 ，犅
20、 犗 犆 ，犗犕平分犃 犗 犆， 犗 犖平分犅 犗 犆， 求犕 犗 犖的度数； （ ） 如果（） 中犃 犗 犅， 其他条件不变， 求犕 犗 犖的度数； （ ） 如果（） 中犅 犗 犆（ 为锐角） ， 其他条件不变， 求 犕 犗 犖的度数； （ ） 从（） （） （） 的结果能看出什么规律？ （ ） 线段的计算与角的计算存在着紧密的联系， 它们之间可以 互相借鉴解法， 请你模仿（ ）（） 设计一道以线段为背景 的计算题， 并写出其中的规律来 （ 第题） 第章图形的认识 角、 相交线与平行线 年考题探究 解析 两直线平行， 同位角相等 解析犆 犈 犉 ， 犉 犈 犇 犆 犈 犉 直线犃 犅犆 犇，
21、 犃犉 犈 犇 解析 连结犖 犆、犕 犆 犗 犖 犆犗犕 犆（ ） 犃 犗 犆犅 犗 犆 解析 角的补角 ， 是钝角 解析 利用角平分线定义及平角的定义解答 解析 利用一副三角板可以画出 角， 用 和 的 角组合即可 解析 利用内错角定义判断 解析犈犇 犉 犈犆犃犆 解析犅 犃 犇 犆犆 犃 犇 解析犆 犇 犅 犆 犇 犈 ， 犃 犅 犆 犃 犅 犇 犆 犇 犅 ， 犆 犃 犅 犆 解析犈 解析 犅 犗 犆 （ ） 解析 解析 两点之间， 线段最短 解析 由题意， 知 ， 所以 解析 这个角的余角为 解析犃 犅 犆 ， 犅 犇是犃 犅 犆的平分线， 犃 犅 犇 犃 犅 犆 解析 过点犆做一条平
22、行于已知线的竖直线， 则 犃 犆 犅 解析 ， 也可这样计算 解析 ， 犃 犅犆 犇 又 ， （ 第 题） 解析 根据两直线平行， 同位角相等及外角和定 理知 解析犃 犅犕 ， 犃 犅犕 解析犃犘 犗 犅犘， 又犃 犗犘 犗， 犃犘 解析 若两个角和为 ， 则这两个角互余 解析 若两个角和为 ， 则这两个角互补 （）以点犅为圆心， 以适当长为半径画弧， 分别交犃 犅、 犅 犆于点犈、犉；分别以点犈、犉为圆心， 以大于 犈 犉 为 半径画圆， 两圆相较于点犌， 连结犅 犌交犃 犆于点犇， 如 图 （）在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆，犃 犅 犆 ， 犃 犃 犅 犆 犃 犇是犃 犅 犆的平分线， 犃
23、犅 犇 犃 犅 犆 犅 犇 犆是犃 犅 犇的外角， 犅 犇 犆犃犃 犅 犇 （ 第 题） 作图如下：犆、犆就是所求的位置 （ 第 题） 已知： 线段犪，犫， 角 求作：犃 犅 犆使边犅 犆犪，犃 犆犫，犆， 画图（ 保留作 图痕迹） （ 第 题） 以犗为圆心， 适当长为半径画弧， 交犗 犃于点犕， 交犗 犅 于点犖；分别以犕、犖为圆心， 大于 犕犖 的长为半径 画弧， 两弧在犃 犗 犅的内部交于点犆；画射线犗 犆射线 犗 犆即为所求 年模拟提优 解析 解析 因为犆 犈 犌 ， 所以 犆 犈 犌 解析 根据两直线平行， 同位角相等和对顶角相等知 解析 解析犃 犅 犆 犆 犅 犇 犆 犅 犈 犆
24、解析犅 犃 犈 犅 犃 犆 （ 犃 犆 犅 犅） ， 犅 犆 犉犅 犃 犈犅 解析 解析犘犃犅 解析 两个角和等于 称为互余 解析 犉 犃 犆 解析 解析 由外角和定理及两直线平行内错角相等知 犪 （）槡（）槡槡 （） 以点犇为中心， 将犇 犅 犆逆时针旋转 ， 则点犅落 在点犃， 点犆落在点犈连结犃 犈、犆 犈 犆 犇犈 犇，犆 犇 犈 ，犃 犈犆 犅犪 犆 犇 犈为等边三角形 犆 犈犆 犇 （ 第 题） 当点犈、犃、犆不在一条直线上时， 有犆 犇犆 犈犃 犈犃 犆 犪犫； 当点犈、犃、犆在一条直线上时，犆 犇有最大值，犆 犇犆 犈 犪犫； 此时犆 犈 犇犅 犆 犇犈 犆 犇 犃 犆 犅 因
25、此当犃 犆 犅 时，犆 犇有最大值是犪犫 考情预测 解析 由题意， 知 犅 ， 所以犅 解析 解析中 ； 、都不能判定 与 的大 小；中是对顶角， 是相等的， 故选 （）犃 犗 犆犃 犗 犅犅 犗 犆 ， 犕犗 犖犆 犗犕犆 犗 犖 犃 犗 犆 犅 犗 犆 （）犕犗 犖犆 犗犕犆 犗 犖 犃 犗 犆 犅 犗 犆 （ ） （）犕犗 犖犆 犗 犕犆 犗 犖 犃 犗 犆 犅 犗 犆 （ ） （）犕犗 犖的大小等于犃 犗 犅的一半， 而与犅 犗 犆的大 小无关 （） 如图， 设线段犃 犅犪， 延长犃 犅到点犆， 使犅 犆犫， 点 犕、犖分别是犃 犆、犅 犆的中点， 求犕犖的长 规律：犕犖的长度等于犃 犅的长度的一半， 而与犅 犆的长度 变化无关 （ 第题）
