1、 ?（ ?） 年 月 日， 比尔盖茨（ ） 出生于美国西雅图父亲是律师， 后来成为比尔盖茨早期打官司的 重要帮手母亲是教师， 在盖茨与 历史性的合作中起过关键性的作用盖茨自小酷爱数学和计算机， 在中学时就成 为有名的“ 电脑迷”保罗艾伦是他最好的朋友， 两人在中学时代经常一起玩电脑游戏 等腰三角形与直角三角形 内容清单能力要求 等腰三角形的有关概念掌握等腰三角形的概念并能做出判断 等腰三角形的性质和判定会利用等边对等角及等角对等边来证明 直角三角形的有关概念掌握直角三角形的概念并能做出判断 直角三角形的性质和判定 会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角 形的相关问题 直角三角形全等的判定
2、会利用 及其他方法来证明直角三角形全等 一、选择题 （ 四川广安） 已知等腰犃 犅 犆中，犃 犇犅 犆于点犇， 且 犃 犇 犅 犆， 则犃 犅 犆底角的度数为（ ） 或 （ 安徽） 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一 点， 分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形， 剩下的 部分是如图所示的直角梯形， 其中三边长分别为， ， 则原 直角三角形纸片的斜边长是（） 槡 或 槡 或槡 （ 第题） （ 第题） （ 贵州铜仁） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅 犆和犃 犆 犅的平 分线交于点犈， 过点犈作犕犖犅 犆交犃 犅于犕， 交犃 犆于犖， 若犅犕犆 犖 ， 则线段犕犖的长为（） （ 山东泰安）
3、 如图， 在矩形犃 犅 犆 犇中，犃 犅 ，犅 犆 ， 对 角线犃 犆的垂直平分线分别交犃 犇、犃 犆于点犈、犗， 连结犆 犈， 则犆 犈的长为（） （ 第题） （ 第题） （ 山东枣庄） 如图， 把一块含有 角的直角三角板的两 个顶点放在直尺的对边上如果 ， 那么 的度数是 （） （ 浙江舟山） 如图， 边长为的等边犃 犅 犆中，犇 犈为中 位线， 则四边形犅 犆 犈 犇的面积为（） 槡 槡 槡 槡 （ 第题） （ 第题） （ 台湾） 如图， 在犃 犅 犆中， 以犅为圆心，犅 犆为半径画 弧， 分别交犃 犆、犃 犅于犇、犈两点， 并连结犅 犇、犇 犈， 若犃 ，犃 犅犃 犆， 则犅 犇 犈的
4、度数为（） （ 山东济宁） 如果等腰三角形两边长分别是 和 ， 那么此三角形的周长是（） ?（ ?） 有人说盖茨“ 生逢其时” ， 盖茨赶上了一个好时代 机时代的来临 年夏天的一天， 艾伦拿来一本 电子学 的 杂志， 翻到其中一篇只有 个自然段的文章， 对盖茨说： “ 有一家新成立的叫英特尔的公司推出一种叫 的微处理芯 片” 两人很感兴趣， 不久就弄来这种芯片， 开始琢磨开发操作系统 或 （ 四川凉山州） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ， 点犇为犅 犆的中点，犇 犈犃 犅， 垂足为点犈， 那么犇 犈等于 （） （ 第题） 二、填空题 （ 黑龙江哈尔滨） 一个等腰三角形的两边长
5、分别为 或， 则这个等腰三角形的周长是 （ 黑龙江龙东地区） 腰长为， 一条高为的等腰三角 形的底边长为 （ 浙江嘉兴） 在直角犃 犅 犆中，犆 ，犃 犇平分 犅 犃 犆交犅 犆于点犇， 若犆 犇 ， 则点犇到斜边犃 犅的距离 为 （ 第 题） （ 第 题） （ 江苏扬州） 如图， 线段犃 犅的长为，犆为犃 犅上一个 动点， 分别以犃 犆、犅 犆为斜边在犃 犅的同侧作两个等腰直角 三角形犃 犆 犇和犅 犆 犈， 那么犇 犈长的最小值是 （ 江苏无锡） 如图，犃 犅 犆中，犃 犆 犅 ，犃 犅 ，犇是犃 犅的中点现将犅 犆 犇沿犅 犃方向平移 ， 得 到犈 犉 犌， 犉 犌交犃 犆于犎， 则犌犎
6、的长等于 （ 第 题） （ 广东广州） 在 犃 犅 犆中，犆 ，犃 犆，犅 犆 ， 则点犆到犃 犅的距离是 （ 四川广元） 已知等腰三角形的一个内角为 ， 则另 两个角的度数是 （ 福建莆田） 等腰三角形两条边长是 ， ， 那么 它的周长是 （ 广东肇庆） 在直角三角形犃 犅 犆中，犆 ，犅 犆 ，犃 犆 ， 则犃 犅 （ 江苏宿迁） 将一块直角三角形纸片犃 犅 犆折叠， 使点 犃与点犆重合， 展开后平铺在桌面上（ 如图所示）若犆 ，犅 犆 ， 则折痕犇 犈的长度是 （ 第 题） （ 第 题） （ 江苏无锡） 如图， 在 犃 犅 犆中，犃 犆 犅 ， 点 犇、犈、犉分别是犃 犅、犅 犆、犆 犃
7、的中点， 若犆 犇 ， 则犈 犉 （ 浙江杭州） 在等腰 犃 犅 犆中，犆 ，犃 犆， 过点犆作直线犾犃 犅， 犉是犾上的一点， 且犃 犅犃 犉， 则点犉 到直线犅 犆的距离为 （ 甘肃酒泉） 如图，犅 犇是犃 犅 犆的角平分线，犃 犅 犇 ，犆 ， 则图中的等腰三角形有个 （ 第 题） （ 第 题） （ 河南焦作） 如图， 在 犃 犅 犆中，犃 犆 犅 ，犃 犅，犆 犕是斜边犃 犅的中线，犅 犆， 将犃 犆 犕沿直线 犆 犕折叠， 点犃落在点犇处， 如果犆 犇恰好与犃 犅垂直， 垂足 为犈， 则犇 犈的长为（ 保留根号） （ 湖南湘潭） 在犃 犅 犆中， 若犃 ，犅 ，犃 犆 ， 则犃 犅
8、（ 山西） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ，犇 是犃 犅的中点， 过点犇作犇 犈犃 犆于点犈， 则犇 犈的长是 （ 第 题） 三、解答题 （ 湖北天门） 如图，犃 犅 犆为等边三角形， 点犈在犅 犃 的延长线上， 点犇在犅 犆边上， 且犈 犇犈 犆若犃 犅 犆的边 长为， 犃 犈 ， 求犅 犇的长 （ 第 题） ?（ ?） 年春天， 当英特尔的 芯片推出时， 盖茨和艾伦已在 的背后看到了个人电脑的辉煌前景果然， 在第二年， 世界上最早的微型计算机 便问世了， 这个基于 微处理器的小机器正是 公司老板埃德罗伯茨的杰 作当时还在哈佛上学的盖茨看到了商机， 他打电话表示要给 研制
9、语言， 罗伯茨听到这个年轻人的决定后 只是将信将疑结果， 盖茨和艾伦在哈佛阿肯计算机中心没日没夜地干了个礼拜后， 真为 配上了 语言， 从 此开辟了 软件业的新道路， 奠定了软件标准化生产的基础 （ 四川成都） 如图，犃 犅 犆和犇 犈 犉是两个全等的等 腰直角三角形，犅 犃 犆犈 犇 犉 ，犇 犈 犉的顶点犈与 犃 犅 犆的斜边犅 犆的中点重合将犇 犈 犉绕点犈旋转， 旋转 过程中， 线段犇 犈与线段犃 犅相交于点犘， 线段犈 犉与射线 犆 犃相交于点犙当点犙在线段犃 犆上， 且犃 犘犃 犙时， 求 证：犅 犘 犈犆 犙 犈 （ 第 题） （ 山东泰安） 已知： 在犃 犅 犆中，犃 犆犅 犆
10、，犃 犆 犅 ， 点犇是犃 犅的中点， 点犈是犃 犅边上一点 （ ） 直线犅 犉垂直于直线犆 犈于点犉， 交犆 犇于点犌（ 如图 （ ） ） ， 求证：犃 犈犆 犌； （ ） 直线犃犎垂直于直线犆 犈， 垂足为犎， 交犆 犇的延长线于 点犕（ 如图（ ） ） ， 找出图中与犅 犈相等的线段， 并证明 （） （） （ 第 题） （ 四川达州） 如图，犃 犅 犆的边犅 犆在直线犿上，犃 犆 犅 犆， 且犃 犆犅 犆，犇 犈 犉的边犉 犈也在直线犿上， 边犇 犉与 边犃 犆重合， 且犇 犉犈 犉 （ ） 在图（） 中， 请你通过观察、 思考， 猜想并写出犃 犅与犃 犈 所满足的数量关系和位置关系；
11、（ 不要求证明） （ ） 将犇 犈 犉沿直线犿向左平移到图（） 的位置时，犇 犈交 犃 犆于点犌， 连结犃 犈、犅 犌猜想犅 犆 犌与犃 犆 犈能否通 过旋转重合？请证明你的猜想 （ 第 题） 趋势总揽 分析近年的课改试验区和非试验区的中考试题， 等腰三 角形的性质和判定、 直角三角形的性质是考查三角形知识中的 主要内容， 并结合角平分线和线段的垂直平分线的相关知识增 强题目的灵活性 年中考命题的重点： 等腰三角形的性质与判定， 三角形的性质 等腰三角形、 直角三角形与四边形或圆结合考查 两类三角形的组合运用及与函数知识组合的阅读题， 开 放题等 高分锦囊 加强对等腰三角形和直角三角形的概念性
12、质的理解记 忆， 注意性质的区别与联系， 进行知识归纳 掌握特殊三角形证明题的解题思路和方法， 加强对探索 题、 动态性试题、 创新题的训练与研究， 培养数学能力 等腰三角形应注意有锐角与钝角之分， 当题目中无图形 时应注意讨论， 直角三角形应注意性质的使用， 如直角三角形斜 边上中线等于斜边的一半， 直角三角形中 所对直角边是斜边 的一半， 勾股定理的使用以及面积相等（ 犪 犫犮 犺， 其中犪，犫为两直 角边， 犮为斜边，犺为斜边上的高） 常考点清单 一、等腰三角形、 等边三角形的概念 等腰三角形 在犃 犅 犆中， 如果犃 犅， 那么犃 犅 犆是等腰三角 形 等边三角形 ?（ ?） 年， 微
13、软公司正式创办为此， 盖茨甚至放弃了在哈佛法学院的学业 世纪 年代中期， 盖茨开始开发应用 软件 如财务电子表和文字处理软件此时正值 系统如日中天的时代， 敏锐的盖茨却看到了机遇： 把图形用户 界面操作系统变成技术的巨大潜力于是他毅然决定开发视窗（ ） 操作系统经过几个版本的升级， 取得了空前的成功， 占领了整个 机操作系统 的市场 在犃 犅 犆中， 如果犃 犅， 那么犃 犅 犆 是等边三角形 二、等腰三角形、 等边三角形的判定 在犃 犅 犆中， 如果犅犆， 那么犃 犅 犆是三 角形， 且犃 犆 在犃 犅 犆中， 如果犃 犅 犆， 那么犃 犅 犆是 三角形 有一个角是 的等腰三角形是三角形 在
14、犃 犅 犆中， 如果犆 ，犃 ， 那么犃 犅 犆是 三角形 三、等腰三角形、 等边三角形的性质 性质： 等腰三角形的相等 性质： 等腰三角形的、相 互重合 性质： 等边三角形的， 并且每一个角都等于 四、线段的垂直平分线 定义： 经过线段并且于这条线段的直 线， 叫做这条线段的垂直平分线 性质定理： 直线犕犖犃 犅 犃 犆 犅 犆 逆定理：点犘在线段犃 犅的垂直平分线犕犖 上 五、勾股定理及其逆定理 勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为犪，犫， 斜 边长为犮， 那么 逆定理： 如果三角形的三边长犪，犫，犮满足犪 犫 犮 ， 那 么这个三角形是 六、直角三角形的性质与判定 类型性质判定
15、直角 三角形 两锐角 斜边中线等于 角所对的直角边等于 一条直角边等于斜边一 半， 这条直角边所对的 锐角等于 有一个角是的 三角形是直角三角形 有两个角的三 角形是直角三角形 如果三角形一边上的 等于这边的一 半， 那么该三角形是直 角三角形 七、定理与互逆定理 定理： 经过证明被确认的命题叫做定理 互逆定理： 如果一个定理的经过证明是， 那 么它也是一个定理， 这两个互为逆定理 易混点剖析 角平分线的性质定理： 题设是如果一个点在角的平分线 上， 结论是 “ 三线合一” 是等腰三角形的性质而非判定定理 线段的垂直平分线至少要有个点来确定， 仅一 点不能确定一条直线 直角三角形的两直角边为犪
16、，犫， 斜边为犮， 则犪 犫 犮 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形 是直角三角形 易错题警示 【 例】（ 四川巴中） 已知犪，犫，犮是犃 犅 犆三边的 长， 且满足关系式 犮 犪 犫槡 犪犫， 则犃 犅 犆的形状 为 【 解析】由题意知犮 犪 犫 且犪 犫， 本题最常见的错误 是得出犃 犅 犆是直角三角形或等腰三角形 【 答案】等腰直角三角形 【 例】（ 山东济宁） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 犘坐标为（ ，） ， 以点犗为圆心， 以犗 犘的长为半径画弧， 交狓 轴的负半轴于点犃， 则点犃的横坐标介于（） 和 之间 和之间 和 之间 和之间 【 解析】先根据勾股定
17、理求出犗 犘的长， 由于犗 犘犗 犃， 故 估算出犗 犘的长， 再根据点犃在狓轴的负半轴上即可得出结论 本题最大误区是无法判断无理数的大小 【 答案】点犘坐标为（ ， ） ， 犗 犘 （ ） 槡 槡 点犃、犘均在以点犗为圆心， 以犗 犘为半径的圆上， 犗 犃犗 犘 槡 ， 槡 点犃在狓轴的负半轴上， 点犃的横坐标介于 和 之间 故选 【 例】（ 黑龙江龙东） 等腰三角形一腰长为 一边 上的高为， 则底边长为 【 解析】此题没有图形， 所以最大的错误是少解， 一边有可 能是指底边， 又有可能是腰； 此等腰三角形有可能是钝角三角 形， 有可能是锐角三角形 【 答案】 或槡 或槡 【 例】（ 广东梅
18、州） 如图，犃 犗 犈犅 犗 犈 ， 犈 犉犗 犅，犈 犆犗 犅， 若犈 犆 ， 则犈 犉 ?（ ?） 因此， 有人认为， 盖茨和微软对于 世纪 行业的最大贡献就是将 操作系统商品化， 并几乎统一了 平台上 的操作系统但是， 真正代表微软水平的操作系统是其面向网络的视窗新技术（ ） 操作系统 【 解析】此题考察了角平分线的性质； 含 度角的直角三 角形问题我们可以作犈 犌犗 犃于犉， 根据角平分线的性质得到 犈 犌的长度， 再根据平行线的性质得到犗 犈 犉犆 犗 犈 ， 然 后利用三角形的外角和内角的关系求出犈 犉 犌 ， 利用 角所对的直角边是斜边的一半解题本题最易犯的错误是根据 角平分线定
19、理得犆 犈犉 犈 【 答案】作犈 犌犗 犃于犉 犈 犉犗 犅， 犗 犈 犉犆 犗 犈 犃 犗 犈 ， 犈 犉 犌 犈 犌犆 犈 ， 犈 犉 故答案为 一、选择题 （ 江苏昆山一模） 一个直角三角形的两边长分别为与 ， 则第三边长为（） 槡 槡 与不确定 （ 第题） （ 黑龙江哈尔滨南岗初中升学调 研） 如图， 在 犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆，犃 ，犅 犇是角平分线，犇 犈犅 犆， 垂足 为点犈若犆 犇槡 ， 则犃 犇的长是 （） 槡 槡 （ 四川泸县福集镇青龙中学一模） 已知： 一等腰三角形 的两边长狓， 狔满足方程组 狓狔 ， 狓 狔 ，则此等腰三角形的 周长为（） 或 （ 深圳市全真模拟）
20、 等腰三角形一腰上的高与另一腰的 夹角为 ， 则顶角度数为（） 或 或 （ 内蒙古呼伦贝尔模拟） 等腰三角形周长为 ， 且底 边长减去一腰长的差为 ， 则底边长为（） （ 内蒙古赤峰模拟） 已知一直角三角形两边长为 和 ， 则第三边长为（） 或槡 或 或 二、填空题 （ 内蒙古赤峰一模） 等腰三角形的腰长为， 腰上的高 为， 则它的底角等于 （ 年江苏通州兴仁中学一模） 如图， 在 犃 犅 犆中， 犆 ，犅 犆 ，犃 犆 ， 按图中所示方法将犅 犆 犇 沿犅 犇折叠， 使点犆落在犃 犅边的犆 点， 那么犃 犇 犆 的面积 是 （ 第题） （ 第题） （ 江苏苏州吴中区一模） 如图，犆 ，犅 ，
21、 犅 犃 犇 ，犃 犇 ， 则犆 犇 （ 北京四中模拟） 用两块完全重合的等腰三角形纸片 能拼出哪些图形（ 至少写出两个） （ 江苏盐城模拟） 已知犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆，犅 ， 则犆 （ 宁夏银川模拟） 如图， 将含 角的直角三角尺犃 犅 犆 绕点犅顺时针旋转 后得到犈 犅 犇， 连结犆 犇， 若犃 犅 ， 则犅 犆 犇的面积为 （ 第 题） 三、解答题 （ 江苏盐城市亭湖区第一次调研考试） 如图，犃 犅 犆中， 犃 犅犃 犆， 若点犇在犃 犅上， 点犈在犃 犆上， 请你加上一个条 件， 使结论犅 犈犆 犇成立， 同时补全图形， 并证明此结论 （ 第 题） ?（ ?） 旅客在车站候车室等
22、候检票， 并且排队的旅客按照一定的速度在增加， 检票速度一定， 当车站开放个检票口， 需 用半小时可将待检旅客全部检票进站； 同时开放个检票口， 只需十分钟便可将旅客全部进站现有一班增开列车过境 载客， 必须在分钟内旅客全部检票进站， 问此车站至少要同时开放几个检票口？分析：本题是一个贴近实际的应用 题， 给出的数量关系具有一定的隐藏性， 仔细阅读后发现涉及的量为： 原排队人数， 旅客按一定速度增加的人数， 每个检 票口检票的速度等 （ 广 西 柳 州 市 中 考 数 学 模 拟 试 题） 如 图， 等 腰 犗 犃 犅中，犃 犗 犅 ， 等腰 犈 犗 犉中，犈 犗 犉 ， 连结犃 犈、 犅 犉
23、求证： （ ）犃 犈犅 犉； （ ）犃 犈犅 犉 （ 第 题） （ 浙江杭州模拟） 为打击索马里海盗， 保护各国商船的 顺利通行， 我海军某部奉命前往该海域执行护航任务某天 我护航舰正在某小岛犃北偏西 并距该岛 海里的犅处 待命位于该岛正西方向犆处的某外国商船遭到海盗袭击， 船长发现在其北偏东 的方向有我军护航舰（ 如图所示） ， 便发出紧急求救信号我护航舰接警后， 立即沿犅 犆航线以 每小时 海里的速度前去救援问我护航舰需多少分钟可 以到达该商船所在的位置犆处？（ 结果精确到个位， 参考数 据： 槡 ，槡 ） （ 第 题） 若一个等腰三角形的两边长分别为和， 则它的周长为 （） 或 （ 第题
24、） 如图， 在 犃 犅 犆中，犆 ，犃 犅 犆的 平分线犅 犇交犃 犆于犇， 若犆 犇 ， 则点 犇到犃 犅的距离犇 犈是（） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犇平犅 犃 犆，犅 犆， 求证： 犃 犆犃 犅犅 犇 （ 第题） 把两个含有 角的直角三角板如图放置， 点犇在犅 犆上， 连 结犅 犈、 犃 犇，犃 犇的延长线交犅 犈于点犉， 求证：犃 犉犅 犈 （ 第题） 小明将三角形纸片犃 犅 犆（犃 犅犃 犆） 沿过点犃的直线折叠， 使 得犃 犆落在犃 犅边上， 折痕为犃 犇， 展开纸片， 再次折叠三角形 纸片， 使点犃和点犇重合， 折痕为犈 犉， 展平纸片后得犃 犈 犉， 小明认为犃 犈 犉为等腰
25、三角形， 你同意吗？请说明理由 （ 第题） 等腰三角形与直角三角形 年考题探究 解析 分两种情况讨论 解析 考虑两种情况 要分清从斜边中点向哪个边沿 着垂线段过去裁剪的 解析犕犖犅犕犆 犖 犅 犕犆 犖 ， 犕犖 解析 根据线段垂直平分线的性质、 勾股定理求解 解析 两直线平行， 内错角相等 解析犛四边形犅 犆 犈 犇犛犃 犅 犆犛犃 犇 犈 槡 （ ） 槡 解析犃 犅犃 犆，犃 ， 犃 犅 犆犆 犅 犇犅 犆， 犅 犇 犆犆 犇 犅 犆 犈 犅 犇 又犅 犈犅 犇， 犅 犇 犈犅 犈 犇 解析 当腰长 时， 此时周长 （ ） ； 当腰长 时， 此时周长 （ ） 解析 连结犃 犇， 则犃 犇犅
26、 犆 犃 犇犃 犅 犅 犇 槡 根据面积相等， 得犃 犅犇 犈犅 犇犃 犇， 犇 犈犅 犇犃 犇 犃 犅 或 解析 腰长有可能是， 也有可能是 或槡或槡 解析 根据不同边上的高为分类讨 论即可得到本题的答案 解析 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 解析 设犃 犆狓， 则犅 犆狓， 然后分别表示出 犇 犆、犈 犆， 继而在 犇 犆 犈中， 利用勾股定理求出犇 犈的 表达式， 利用函数的知识进行解答即可 解析 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半知犃 犇犅 犇犆 犇 犃 犅 ； 然后由平移的性质 推知犌犎犆 犇； 最后根据平行线截线段成比例列出比例 式， 即可求得犌犎的长度 解析 根据题
27、意画出相应的图形， 如图所示： （ 第 题） 在 犃 犅 犆中，犃 犆 ，犅 犆 ， 根据勾股定理， 得犃 犅 犃 犆 犅 犆 槡 ， 过犆作犆 犇犃 犅， 交犃 犅于点犇 又犛犃 犅 犆 犃 犆犅 犆 犃 犅 犆 犇， 犆 犇犃 犆 犅 犆 犃 犅 ， 或 ， 解析 一个内角为 ， 这个内角有 可能是顶角， 也有可能是底角 解析 三边长为 ， ， ， 不可能为 ， ， 解析犃 犅犃 犆 犅 犆 槡 槡 解析犇 犈为犃 犅 犆的中位线， 则犇 犈 犅 犆 解析 由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半知 犆 犇 犃 犅， 由三角形中位线定理知犈 犉 犃 犅， 即犈 犉 犆 犇 槡 解析 分点犉在点
28、犆左侧或右侧两种情况进行 讨论 解析犃 犅 犆，犃 犅 犇，犅 犆 犇 槡 解析 由题意， 知 犃犃 犆 犕犕 犆 犈犅 犆 犈犇 ， 犅 犈 犅 犆 犇 犈犈 犆槡 解析 通过计算犆的大小可知犃 犅 犆是等腰三角 形， 所以犃 犅犃 犆 解析 连结犇 犆， 由犇 是犃 犅的中点， 可得犃 犅 犆的 面积是犃 犇 犆的面积的倍， 利用面积公式计算即可 延长犅 犆至犉点， 使得犆 犉犅 犇， 连结犈 犉 犈 犇犈 犆， 犈 犇 犅犈 犆 犉 犈 犅 犇犈 犉 犆 犅犉 犃 犅 犆是等边三角形， 犅犃 犆 犅 犃 犆 犅犉 犃 犆犈 犉 犃 犈犆 犉 犅 犇犃 犈犆 犉 犃 犅 犆是等腰直角三角形
29、， 犅犆 ，犃 犅犃 犆 犃 犘犃 犙， 犅 犘犆 犙 犈是犅 犆的中点， 犅 犈犆 犈 在犅 犘 犈和犆 犙 犈中， 犅 犈犆 犈， 犅犆， 犅 犘犆 犙 烅 烄 烆 ， 犅 犘 犈犆 犙 犈（ ） （）点犇是犃 犅中点，犃 犆犅 犆，犃 犆 犅 ， 犆 犇犃 犅，犃 犆 犇犅 犆 犇 犆 犃 犇犆 犅 犇 犆 犃 犈犅 犆 犌 又犅 犉犆 犈， 犆 犅 犌犅 犆 犉 又犃 犆 犈犅 犆 犉 ， 犃 犆 犈犆 犅 犌 犃 犈 犆犆 犌 犅 犃 犈犆 犌 （）犅 犈犆 犕 证明：犆 犎犎犕，犆 犇犈 犇， 犆 犕犃犕 犆 犎 ，犅 犈 犆犕 犆 犎 犆 犕犃犅 犈 犆 又犃 犆犅 犆，犃 犆
30、犕犆 犅 犈 ， 犅 犆 犈犆 犃犕 犅 犈犆 犕 （）犃 犅犃 犈，犃 犅犃 犈 （） 将犅 犆 犌绕点犆顺时针旋转 后能与犃 犆 犈重合 （ 或将犃 犆 犈绕点犆逆时针旋转 后能与犅 犆 犌重 合） ， 理由如下： 犃 犆犅 犆，犇 犉犈 犉， 犅、犉、犆、犈共线， 犃 犆 犅犃 犆 犈犇 犉 犈 又犃 犆犅 犆，犇 犉犈 犉， 犇 犈 犉犇 在犆 犈 犌中，犃 犆 犈 ， 犆 犌 犈犇 犈 犉 犆 犌犆 犈 在犅 犆 犌和犃 犆 犈中， 犅 犆犃 犆， 犃 犆 犅犃 犆 犈， 犆 犌犆 犈 烅 烄 烆 ， 犅 犆 犌犃 犆 犈 将犅 犆 犌绕点犆顺时针旋转 后能与犃 犆 犈重合（ 或 将
31、犃 犆 犈绕点犆逆时针旋转 后能与犅 犆 犌重合） 年模拟提优 解析 边长是的边有可能是直角边， 也有可能是 斜边 解析 由勾股定理求得犆 犈犇 犈， 由全等知犃 犇 犇 犈 解析 三角形两边之和应大于第三边， 所以 ，这 种组合应舍去 解析 分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论 解析 由题意知底边长为 ， 腰长为 解析 有可能是直角三角形的直角边， 也有可能是 斜边 或 解析 分钝角三角形和锐角三角形讨论 解析 根据勾股定理知犃 犅 ， 得犃 犆 再在 直角三角形犃 犆 犇中运用勾股定理求得犆 犇 ，犃 犇 （ 注： 设犆 犇狓， 则犆 犇狓，犃 犇 狓） 解析 利用等角对等边知犆 犇犃 犇
32、 平行四边形、 正方形、 等腰直角三角形等 解析 答案不 唯一， 可自己动手拼一下 解析 等边对等角 解析 犃 犅 ， 则犅 犆犃 犅 犃 犆 槡 槡 槡 ， 犛犅 犆 犇 犅 犆犅 犇 槡槡 附加的条件可以是：犅 犇犆 犈，犃 犇犃 犈，犈 犅 犆 犇 犆 犅，犃 犅 犈犃 犆 犇，犅 犈、犆 犇分别为犃 犅 犆， 犃 犆 犅的平分线中任选一个； 利用犃 犅 犈犃 犆 犇得 证犅 犈犆 犇 （） 在犃 犈 犗与犅 犉 犗中， 犗 犃 犅与 犈 犗 犉为等腰直角三角形， 犃 犗犗 犅，犗 犈犗 犉， 犃 犗 犈 犅 犗 犈犅 犗 犉 犃 犈 犗犅 犉 犗 犃 犈犅 犉 （） 延长犃 犈交犅 犉
33、于犇， 交犗 犅于犆， 则犅 犆 犇犃 犆 犗 由（） 知犗 犃 犆犗 犅 犉， 犅 犇 犃犃 犗 犅 犃 犈犅 犉 由图可知，犃 犆 犅 ，犅 犃 犆 作犅 犇犃 犆于犇（ 如图） （ 第 题） 在 犃 犇 犅中，犃 犅 ， 犅 犇犃 犅 槡 槡 在 犅 犇 犆中，犃 犆 犅 ， 犅 犆 槡槡 （ 分钟） 故我护航舰约需 分钟就可到达该商船所在的位置犆 考情预测 解析 等腰三角形有两种情况： （ ），； （）， （） 不满足三角形三边关系， 所以只有，符合要求故 三角形周长 解析 角的平分线上的一点到角的两边的距离相等： 犇 犈犆 犇 在犃 犆上截取犃 犈犃 犅， 连结犇 犈 犃 犇平分犅
34、犃 犆， 犈 犃 犇犅 犃 犇 犃 犅犃 犈， 犅 犃 犇犈 犃 犇， 犃 犇犃 犇 烅 烄 烆 ， 犃 犅 犇犃 犈 犇 犅 犇犈 犇，犅犃 犈 犇 犅 犆， 又犃 犅 犆犆犈 犇 犆， 犆犈 犇 犆 犆 犈犇 犈， 即犆 犈犅 犇 犃 犆犃 犈犆 犈犃 犅犅 犇 （ 第题） 由已知条件， 得犃 犆 犇犅 犆 犈， 犅 犇 犉犃 犇 犆犅 犈 犆 犅 犈 犆犈 犅 犆 ， 犅 犇 犉犈 犅 犆 ， 即犃 犉犅 犈 同意证明如下： 由题意知犃 犗 犉犇 犗 犉， 又犃 犗 犉犇 犗 犉 犃 犗 犉犇 犗 犉 得犃 犗 犈犃 犗 犉 又犈 犗犉 犗，犃 犗是公共边， 犃 犗 犈犃 犗 犉 犃 犈犃 犉 犃 犈 犉为等腰三角形
