1、 - 1 - 2017-2018 学年第二学期高二年级第一次月考 数学（理）试卷 （考试时间： 120分钟，满分： 150分） 一 、 选择题 (本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1 设集合 A? ? 15xx? ? ? ， ? 1B x x? ? ，则集合 BA? =（ ） A. ? 15xx? ? ? B. ? 5?xx C. ?1? D.? 2 已知复数 Z 112ii ，则 Z的虚部是 （ ） A 35 B 35 i C 35 i D 35 3 设命题 2: , lnp x R x x? ? ?，则 p? 为
2、（ ） A 20 0 0, lnx R x x? ? ? B 2, lnx R x x? ? ? C 20 0 0, lnx R x x? ? ? D 2, lnx R x x? ? ? 4在 ABC中， AB c， AC b.若点 D满足 BD 2DC ，则 AD ( ) A 23b 13c B 53c 23b C 23b 13c D 13b 23c 5 已知一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于 1的地方的概率为 ( ) A 35 B 45 C 60 D 3 6.设等比数列 na 的公比为 q ，前 n 项和为 nS ，且 1 0a? 若
3、 232Sa? ，则 q 的取值范围是( ) A 1( 1,0) (0, )2? B 1( , 1) ( , )2? ? ? C 1( ,0) (0,1)2? D 1( , ) (1, )2? ? ? 7如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， O是底面 ABCD的中心， E为 CC1的中点，那么异面直线 OE与 AD1所成角的余弦值等于（ ） A BCD 1, 10iS? 1ii? 2iSS? 输出 S 开始 结束 是 否 - 2 - 8 执行如图所示程序框图，若 输出的 S 值为 20? ，则条件框内应填写（ ） A 3?i?B 4?i?C 5?i?D 4?i? 9 如图为某几何体的
4、三视图，则该几何体的外接球 的表面积为（ ） A 272? B 27? C.27 3? D 27 32 ? 10 已知双曲线 )0,0(1:2222 ? babyaxC 的左、右焦点分别为 21,FF ，焦距为 c2 ，直线)(33 cxy ? 与双曲线的一个交点 P 满足 2112 2 FPFFPF ? ，则双曲线的离心率 e 为（ ） A 13? B 132 ? C 3 D 2 11 已知抛物线 C： y2 8x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 错误 !未找到引用源。 4错误 !未找到引用源。 ，则 |QF| ( ) A 3 B
5、2 C 72 D 52 12.已知函数 ? ?1y f x?的图象关于 y 轴对称，且函数 ?fx对任意 1x ， 2 1, )x ? ? ( 12xx? )，有 2112( ) ( ) 0f x f xxx? ? ，设 ( 1)aa? 是函数 ?fx的零点，若 0 2xa? ，则 ? ?0fx 的值满足（ ） A ? ?0 0fx? B ? ?0 0fx? C ? ?0 0fx? D ? ?0fx 的符号 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 3 3 3 正视图 侧视图 俯视图 - 3 - 13. 设 x， y满足约束条件?11yyxxy ， 则目标函数 z 2x y的最
6、大值为 _ 14. 若直线 2 2 0ax by? ? ?（ 0a? ， 0b? ）经过圆 22 2 4 1 0x y x y? ? ? ? ?的圆心，则 11ab?的最小值为 _ 15. 在 C? 中，角 ? ， ? ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2ab? ，又 sin? ， sinC ，sin? 成等差数列，则 ? ?cos C? _. 16.已知函数 ? ? 2 1 ,g x m x x e ee? ? ? ?为 自 然 对 数 的 底 数与 ? ? 2lnh x x? 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 m 的取值范围是 _ 三、解答题（本大题共 6小题，共 7
7、0分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17、 （本小题满分 11分） 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2: s i n 2 c o s , ( 0 )C a a? ? ?，过点 ( 2, 4)P? 的直线 I 的参数 方程为22,224,2xtyt? ? ? ? ?（ t 为参数）， I 与 C 分别交于 ,MN. （）写出 C 的平面直角坐标系方程和 I 的普通方程； （）若 | |,| |,| |PM M N PN成等比数列 ，求 a 的值 . 18（本小题满分 11分） 设函数 ( ) | 1 | | |f x x x a? ? ?
8、 ? （ 1）若 1a? ，解不等式 3)( ?xf ； （ 2）如果 x?R ， 2)( ?xf ，求 a 的取值范围 19.（本小题满分 12分） 某课程 考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7 ；在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9 ，所有考核是否合格相互之间没有影响 - 4 - （）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 20. （本小题满分 12 分） 如图，在底
9、面是正方形的四棱锥P ABCD?中， 1PA AB?，2PB PD，点 E 在 PD上， 且: 2 :1PE ED ?. （ 1）求证： ?平面ABCD； （ 2）求二面角D AC E?的余弦值； 21.（本小题满分 12分） 已知椭圆 :C 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的右焦点为 (1,0)F ， 且点 3(1, )2P 在椭圆 C 上， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设过定点 (0,2)T 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ，且 0?OBOA ，求 直线 l 的斜率 k 的取值范围； 22. （本小题满分 12 分） 已知函数
10、 x xxf ln1)( ? . （ 1）求函数 )(xf 的单调区间； （ 2）若 mxxxfxg ? )()( 在区间 ,0( e 上的最大值为 3? ，求 m 的值。 CDPAEB- 5 - 高二年级理科数学月考答案 一、 选择题 : BDCAB CDCBA AC 二、 填空填： 13. 3 14. 4 15. 41 16 21, 2e? 三、 解答题 : 17、解析：（）曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 ( 0)y ax a?；? 2分 直线 l 的普通方程为 20xy? ? ? .? 4分 （）将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联 立，得 2 2 ( 4 ) 2 8 (
11、4 ) 0t a t a? ? ? ? ? （ *） ? 12 2(4 ) 2t t a? ? ? ， 12 8(4 ) 0t t a? ? ?，? 6分 设点 ,MN分别对应参数 12,tt，恰为上述方程的根 . 则 1| | | |PM t? ， 2| | | |PN t? ， 12| | | |MN t t?. 由题设得 21 2 1 2( ) | |t t t t?，即 21 2 1 2 1 2( ) 4 | |t t t t t t? ? ?.? 8分 ? 2(4 ) 5(4 ) 0aa? ? ? ?，得 1a ，或 4a? . 因为 0a? ，所以 1a? .? 11分 18、 解
12、：（ ）当 1a? 时， ( ) | 1 | | 1 |f x x x? ? ? ? 由 ( ) 3fx ，得 | 1 | | 1 | 3xx? ? ? ， ? ? ? ? 32 132 11-32 1 xxxxx 或或 ? 3分 ? 2323 ? xx 或或 ? 综上得， ( ) 3fx 的解集为 33( )22? ? ? ?， ， ? 6分 （ ） 由三角不等式可得 11 ? aaxx ? 8分 ? x?R ， 2)( ?xf ， ? 21?a 解得 : 31 ? aa 或 ? 8分 所以 a 的取值范围为 ( 1 3 )? ? ?， ， ? 11 分 - 6 - 19、解：（）记“理论考
13、核中至少有两人合格”为事件 C ，记 C 为 C 的对立事件 法 1： ? ? ? ?1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P C P A A A A A A A A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P A A A P A A A P A A A P A A A? ? ? ?0 . 9 0 . 8 0 . 3 0 . 9 0 . 2 0 . 7 0 . 1 0 . 8 0 . 7 0 . 9 0 . 8 0 . 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.902? 法 2： ? ? ? ?1P C P C?
14、 ? ?1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 P A A A A A A A A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 P A A A P A A A P A A A P A A A? ? ? ? ? ? ?1 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 9 0 . 2 0 . 3 0 . 1 0 . 8 0 . 3 0 . 1 0 . 2 0 . 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0.098? 0.902? 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 ? 6分 （）记“三人
15、该课程考核都合格” 为事件 D ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 3 3P D P A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 3 3P A B P A B P A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 3 3P A P B P A P B P A P B? ? ? ? ? ? 0 .9 0 .8 0 .8 0 .8 0 .7 0 .9? ? ? ? ? ? 0.254016? 0.254? 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 0.254 ? 12 分 20、解：（ 1）正方形ABCD边长为
16、 1， 1PA?，2PB PD?， 所以90PA B PA D? ? ? ?，即 AB?， AD， 因为A?，所以 ?平ABC. ? 5分 （ 2）如图，以 A为坐标原点，直线 ， AD， AP分别为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系，则(1 1 0)AC ? ， ，21(0 )33AE ? ， ，. 由（）知AP为平面ACD的法向量，(0 0 1)? ， ， ? 7分 - 7 - 设平面ACE的法向量为()n a b c? ， ， 由n AC?，AE，得021033abbc? ?，令6c?，则3b?，3a， 所以(3 3 6)， ， ? 10 分 所以6c os 3n APAP nn A
17、P? ? ?， 即所求二面角的余弦值为63. ? 12分 21、解： (1) 由题意得： c=1 122 ? ba ? 点 )23,1(P 在椭圆 C上 1491 22 ? ba解得： 3,4 22 ? ba ?椭圆方程为 134 22 ? yx ? 4分 （ 2） 设直线 l 的方程为 2?kxy ， ）（点）（点 2211 , yxByxA 由 ?134222 yxkxy得 0416)34( 22 ? kxxk 34 4,34 16 221221 ? kxxk kxx ? 6分 由 0? 得 2121 ? kk 或 ? 7分 0?OBOA? 即 02121 ? yyxx 0)2()2( 2121 ? kxkxxx 04)(2)1( 21212 ? xxkxxk ? 9分 - 8 - 0434 16234 4)1( 222 ? k kkkk 解得 3441 2 ?k? 11分 3 3221213 32- ? kkk 或的取值范围为 ? 12分 23. （ 1）解：（ 1）易知 )(xf 定义域为 ),0( ? ， 2ln)( x xxf ?，令 0)( ?xf ，得 1?x .? 2分 当 10 ?x 时， 0)( ?xf ；当 1?x 时， 0)( ?xf . )(xf 在 )
