新人教A版高中数学必修二《7.1.1数系的扩充和复数的概念》教案及课件.zip

7.1.1 数系的扩充和复数的概念(人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第七章)一、教学目标一、教学目标1.了解引入复数的必要性；2.理解复数的有关概念；3.3.掌握复数集与其他数集（实数集等）之间的集合关系；4 4.了解从实数系扩充到复数系的过程，培养类比、转化、特殊到一般等思想方法，提升数学抽象、逻辑推理素养.二、教学重难点二、教学重难点1.教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.2.教学难点：复数概念引入的必要性,复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示.三、教学过程三、教学过程1.情境导入1.情境导入【数学活动】【数学活动】回顾数的发展过程结论结论：数的发展与生产生活、方程求解密切相关.【设计意图】通过回顾数的发展过程，使学生体会到现实生产生活对数学发展的推动作用，体会方程与数的发展的联系，激发学生对数系扩充的兴趣.2.探究交流探究交流问题 1：问题 1：能否求出方程 x2+2x+2=0 的解？【预设答案】方程判别式小于 0，没有实数解.追问 1：追问 1：我们知道，像 x2+1=0 这些方程在实数集中是无解的，那能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程有解？【预设答案】为了让 x2=-1 有解，引入一个“新数i”，使得 i2=-1,如此一来，x=i 就是方程 x2+1=0 的解.【设计意图】让学生类比从自然数集到实数集的扩充过程，自然地引导学生从解方程的角度出发探究数系的扩充，使“新数 i”的添加变得水到渠成,积累研究数学问题的经验.【数学史介绍】（1）（1）在 1777 年，欧拉在微分公式一文中首创了用“imaginary”（想象的、假想的）的首字母 i 作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了 i2=-1.（2）（2）莱昂哈德欧拉是 18 世纪最伟大的数学家之一，有一个以他名字命名的公式被誉为“上帝创造的公式”，那就是欧拉恒等式：10ie.物理世界 发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为“史上最伟大的公式”.物理大师费曼也盛赞这个公式为“数学最非凡的公式”.【设计意图】介绍与虚数单位 i 有关的历史，强化学生对 i 的认识.问题 2问题 2：添加“新数”后，原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数集中仍然成立，那么，把“新数 i”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？追问 2追问 2：能否写出一个形式，把刚刚的数都包含在内？【预设答案】a+bi(a,bR)【设计意图】引导学生根据运算法则和运算律，抽象出复数的代数形式，培养学生数学抽象和逻辑推理等核心素养.3.构建数学3.构建数学 教师讲授教师讲授：(1)复数的定义形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，规定 i2=-1.(2)复数集全体复数所构成的集合 Cabi|a，bR叫做复数集(3)复数的表示方法复数通常用字母 z 表示，即 zabi(a，bR)，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z的虚部问题 3：问题 3：复数 z=a+bi（a，bR）是实数的充要条件是什么？z=a+bi=0 的充要条件是什么？【预设答案】b=0；a=0,b=0.教师讲授：教师讲授：(4)复数相等的充要条件 规定：在复数集 Cabi|a，bR中任取两个数 abi，cdi(a，b，c，dR)，abi 与 cdi 相等当且仅当 a=c 且 b=d复数只能说相等或不相等，而只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小.【设计意图】由特殊到一般，帮助学生理解复数相等的含义.问题 4问题 4：进一步地，你能对复数 z=a+bi（a,bR）进行分类吗？【预设答案】0)(,)0,0)0)0,0)bza bi a b Rabbab 实数(复数纯虚数(虚数(非纯虚数(【设计意图】通过对复数进行分类，深化学生对于复数的认识.问题 5：问题 5：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集 N，Z，Q，R，C之间的关系？【设计意图】通过问题让学生理解复数集与以前学过的数集之间的关系，深化学生对复数集的理解，将新知与旧知联系起来，完善已有的知识结构.4.应用拓展4.应用拓展问题 6：问题 6：当实数 m 取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【预设答案】（1）m=1;（2）m1；（3）m=-1.问题 7：问题 7：已知(x-y)+(y-2)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数 x，y 的值.【预设答案】x=12，y=-3【设计意图】根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理，设置问题，帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解，强化对复数相等含义的理解，起到及时反馈的作用.5.课堂总结5.课堂总结问题 8问题 8：本节课学了哪些知识和思想方法？【设计意图】通过对本节课涉及的知识和思想方法的总结，使学生进一步熟悉复数的概念以及相关知识，深化对新知的理解，体会其中蕴含的数学思想方法和核心素养.四、课外作业四、课外作业教科书 7.1.1 的练习第 1，2，3 题.7.1.1数系的扩充和复数的概念数学活动：回顾数的发展过程数学活动：回顾数的发展过程生产生活生产生活方程求解方程求解数的发展数的发展计数计数买卖得失买卖得失比例分配比例分配正方形对正方形对角线度量角线度量自然数集自然数集N N负整数负整数分数分数无理数无理数整数整数集集Z Z有理有理数集数集Q Q实数实数数集数集R R结论：数的发展与生产生结论：数的发展与生产生活、方程求解密切相关！活、方程求解密切相关！情境导入探究交流追问追问1：我们知道，像：我们知道，像 这些方程在实数集中是无解的，那能否这些方程在实数集中是无解的，那能否类类比比从自然数集到实数集的扩充过程，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从自然数集到实数集的扩充过程，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程有解？从而使方程有解？为了让x2=-1有解，引入一个“新数i”，使得 ，如此一来，x=i 就是方程x2+1=0 的解.在在17771777年，欧拉在年，欧拉在微分公式微分公式一文中首创了用一文中首创了用“imaginary”（想象的、假想的）的首字母（想象的、假想的）的首字母i作为虚作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了i2=-1.=-1.问题问题1：能否求出方程：能否求出方程x2+2x+2=0的解？的解？欧拉恒等式：欧拉恒等式：莱昂哈德莱昂哈德欧拉欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，有一个以他名字命名的公式被誉为“上帝创造的公式上帝创造的公式”，那就是欧欧拉恒等式拉恒等式.物理世界发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为“史上最伟大的公式史上最伟大的公式”.物理大师费曼也盛赞这个公式为“数学最非凡的公式数学最非凡的公式”.探究交流探究交流RC1 1+i2i1+2iRCi2追问追问2：能否写出一个形式，把刚刚的数都包含在内？：能否写出一个形式，把刚刚的数都包含在内？问题问题2：添加添加“新数新数”后，后，原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数集中仍原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数集中仍然成立，然成立，那么，那么，把把“新数新数 i”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？abia+ibi探究交流RC法法数学家达朗贝尔：数学家达朗贝尔：如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算，那么结果总可以写成a+bi(a,bR)的形式.复数集复数集追问追问2：能否写出一个形式，把刚刚的数都包含在内？：能否写出一个形式，把刚刚的数都包含在内？问题问题2：添加添加“新数新数”后，后，原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数集中仍原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数集中仍然成立，然成立，那么，那么，把把“新数新数 i”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？构建数学 (1)复数的定义复数的定义形如形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中的数叫做复数，其中 i 叫做叫做_，规定，规定i 2_ (2)复数集复数集全体复数所构成的集合全体复数所构成的集合Cabi|a，bR叫做复数集叫做复数集 (3)复数的表示方法复数的表示方法复复数数通通常常用用字字母母z表表示示，即即_，其其中中a叫叫做做复复数数z的的实实部部，b叫叫做做复数复数z的虚部的虚部虚数单位1zabi(a，bR)构建数学问题问题3：复数：复数z=a+bi(a，bR)是实数的充要条件是什么？是实数的充要条件是什么？a=0,b=0复数只能说相等或不相等，复数只能说相等或不相等，而只有当两个复数都是实而只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，数时才能比较大小，否则，不能比较大小不能比较大小.z=a+bi=0的充要条件是什么？的充要条件是什么？b=0(4)复数相等的充要条件复数相等的充要条件 规定：规定：在复数集在复数集Cabi|a，bR中中任取两个数任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，abi与与cdi相等当且仅当相等当且仅当 a=c 且且 b=d 特殊到一般特殊到一般特殊到一般特殊到一般实部和虚部分别相等实部和虚部分别相等 构建数学问题问题4：进一步地，你能对复数：进一步地，你能对复数z=a+bi（a,bR）进行分类吗？进行分类吗？(5)复数的分类复数的分类 构建数学问题问题5：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集N，Z，Q，R，C之间的关系？之间的关系？NZQRC新数集包含新数集包含原来的数集！原来的数集！应用拓展问题问题6：当实数：当实数m取什么值时，复数取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？是下列数？（1）实数；（）实数；（2）虚数；（）虚数；（3）纯虚数）纯虚数.解：（解：（1）当）当m-1=0，即，即m=1时，复数时，复数z是实数是实数.（2）当）当m-10，即，即m1时，复数时，复数z是虚数是虚数.（3）当）当m+1=0，且，且m-10，即即m=-1时，复数时，复数z是纯虚数是纯虚数.应用拓展问题问题7：已知：已知(x-y)+(y-2)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数，求实数x，y的值的值.解解:根据复数相等的充要条件，可得根据复数相等的充要条件，可得解得解得转化转化课堂总结问题问题8：本节课学了哪些知识和思想方法？：本节课学了哪些知识和思想方法？实数系实数系的扩充的扩充复数与复数与复数集复数集复数相等的含义复数相等的含义实数、虚数、纯实数、虚数、纯虚数之间的关系虚数之间的关系 逻辑推理、数学抽象逻辑推理、数学抽象类比类比类比类比特殊到一般、特殊到一般、特殊到一般、特殊到一般、转化转化转化转化课外作业教科书教科书7.1.1的练习第的练习第1，2，3题题.