1、2.3.1两条直线的交点坐标（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)教学目标1. 知识与技能会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点.2. 过程和方法1）经历两直线交点坐标的求法，会初步判断两直线位置关系：相交或平行.2）学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系. 3. 情感、态度和价值观 感受用代数方法研究几何问题的方便,增强学习解析几何学的信心.教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。难点：两直线相交与二元一次方程的关系。教学过程导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直
2、线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等一、求相交直线的交点坐标问题1已知两条直线l1：xy50，l2：xy30，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？提示直线l1，l2的图象如图所示点M既在直线l1上，也在直线l2上满足直线l1的方程xy50，也满足直线l2的方程xy30.即交点坐标是方程组的解知识梳理已知两条直线的方程是l1：A1xB1yC10, l2：A2xB2yC20，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1
3、上，也在直线l2上所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1xB1yC10，也满足直线l2的方程A2xB2yC20，即点P的坐标就是方程组的解例1求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程解方法一由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，其斜率k1.故直线方程为yx，即xy0.方法二l2不过原点，可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0,0)代入上式，得1，直线l的方程为5x5y0，即xy0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的
4、直线，然后再利用其他条件求解(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解跟踪训练1求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解方法一由方程组得即P(0,2)ll3，l3的斜率为，kl，直线l的方程为y2x，即4x3y60.方法二直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l与l3垂直，3(1)(4)(2
5、)0，11，直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.二、判断两直线位置关系的方法知识梳理已知直线l1：A1xB1yC10(AB0)，直线l2：A2xB2yC20(AB0)：方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行注意点：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况有唯一解的等价条件是A1B2A2B10，即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用例2(教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出
6、交点坐标(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.解(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1)(2)解方程组2得4x12y80.和可以化为同一个方程，即和表示同一条直线，l1与l2重合(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.反思感悟判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况跟踪训练2已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象限，则a的取值范围是_. 答案解析由得由得所以a2.三、直线系过定点问题问题2观察下面的图象，发现直线都
7、经过点M(4,1)，怎么表示出经过M点的直线方程？提示当斜率存在时，y1k(x4)(kR)；当斜率不存在时，x4.知识梳理1平行于直线AxByC0的直线系方程为AxBy0(C)2垂直于直线AxByC0的直线系方程为BxAy0.3过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20)例3无论m为何值，直线l：(m1)xy7m40恒过一定点P，求点P的坐标解(m1)xy7m40，m(x7)(xy4)0，点P的坐标为(7,3)反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到
8、两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)跟踪训练3已知直线(a2)y(3a1)x1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限证明将直线方程整理为a(3xy)(x2y1)0.因为直线3xy0与x2y10的交点为，即直线系恒过第一象限内的定点，所以无论a为何值，直线总经过第一象限1知识清单：(1)两条直线的交点(2)直线系过定点问题2
9、方法归纳：消元法、直线系法3常见误区：对两直线相交条件认识模糊1两条直线l1：2xy10与l2：x3y110的交点坐标为()A(3,2) B(2,3)C(2，3) D(3，2)答案B解析解方程组得2不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m3)ym0恒过定点()A(3，1) B(2，1)C(3,1) D(2,1)答案C解析直线l的方程可化为m(x2y1)x3y0，令解得直线l恒过定点(3,1)故选C.3斜率为2，且过两条直线3xy40和xy40交点的直线方程为_答案2xy40解析设所求直线方程为3xy4(xy4)0，即(3)x(1)y440，k2，解得5.所求直线方程为2xy40.4若三条直线2x3y80，xy10和xky0相交于一点，则k_.答案解析解方程组得又该点(1，2)也在直线xky0上，12k0，k.
