1、 - 1 - 2017-2018 年度高二第一学期期中考试 数学试题（理科） 本试卷分第 I卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分。共 150分，考试时间 120分钟。 注意事项： 1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。 2、 必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 第 卷（选择题 共 60分） 一、选择题（ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
2、题目要求的 ） 1.设集合 | 1 2M x x? ? ? ?， | 0N x x k? ? ?，若 MN? ，则 k 的取值范围是（ ） A 2k? B 1k? C 1k? D 2k? 2在 中， ， ， ，则（ ） A. 或 B. C. D. 以上答案都不对 3.若 110ab?，则下列结论不正确的是 （ ） (A) 22ab? (B) 2ab b? (C) 2baab? (D) 1?ab 4、 在等差数列 ?na 中， nS 为其前 n 项和，若 3 4 8 25a a a? ? ? ，则 9S? ( ) A 60 B 75 C.90 D 105 5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个
3、问题： “ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ” 其大意为： “ 有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地 ” 问此人第 4天和第 5天共走了（ ） A 24里 B 36里 C 48 里 D 60里 . 6.已知直线 1l ： ( 1) 2 0k x y? ? ? ?和直线 2l ： 8 ( 1) 1 0x k y k? ? ? ? ?平行 ， 则 k 的值是 （ ） - 2 - A 3 B 3? C 3或 3? D 7 或 7? 7.若点 ? ? sin,cosP
4、 在直线 xy 2? 上，则 sin2? 的值等于（ ） A 54? B 54 C 53? D 53 8.如图 , 网格纸上的小正方形的边长为 1, 粗实线画出 的 是某几何体的三视图 , 则该几何体的体积是 (A) 46? (B) 86? (B) (C) 4 12? (D) 8 12? 9. 设 是曲线 上任意一点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.执行如图的程序框图，若输出的 S 的值为 10? ，则中应填（ ） A 19?n? B 18?n? C 19?n? D 20?n? 11设数列 an， bn都是正项等比数列， Sn， Tn分别为数列 lgan与 lgbn的前
5、n项和，且 SnTnn 12n ，则 55log ab ( ) A.59 B.95 C.53 D.35 12.在公差不为 0 的等差数列 ?na 中， qp aaaa ? 42 ，记qp 91 ?的最小值为 m .若数列 ?nb满足 12,112111 ? ? nnn bbbmb，则 ?210023221 10032 bbbb（ ） A 10097 B 10099 C 101100 D 101102 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.一个总体中有 60个个体，随机编号 0， 1， 2，?， 59，依编号顺序平均分成 6个小 组，组号依次为 1， 2， 3，?，
6、 6现用系统抽样方法抽取一个容量为 6的样本，若 - 3 - 在第 1组随机抽取的号码为 3，则在第 5组中抽取的号码是 14 已知 ABC? 的三个内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 3b? ， 1c? ， 2AB? ，则 a 的值为 _. 15.设 f（ x） =2x2+bx+c，已知不等式 f（ x） 0 的解集是（ 1,5）。若对于任意 x?3,1 ，不等式 f（ x） 2+t有解，则实数 t的取值范围为 16.小明准备用积攒的 300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生已知科普书每本 6元，文具每套 10元 ，并且买文具的套数不少于买科普书的本数那么最多可以买的
7、科普书与文具的总数是 . 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（满分 10分）已知 ? ? 2 3 2 1f x x x? ? ? ?. （ 1）求不等式 ? ? 2fx? 的解集； （ 2）若存在 xR? ，使得 ? ? 32f x a?成立，求实数 a 的取值范围 . 18（满分 12分）已知数列 ?na 的首项 1 1a? ，前 n 项和为 nS ， +1=2 +1nnaS， *n?N . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 31lognnba? ，求数列 ? ?nnab? 的前 n 项和 nT . - 4 -
8、19（满分 12分） 设 C 的内角 CBA ， 所对的边分别为 cba ， ，且 12cos ? bcCba （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 1?a ，求 C 的周长 l 的 最大值 20.如图，四棱锥 P ABCD? ， 侧面 PAD 是边长为 2的正三角形，且与底面垂直，底面 ABCD是 60ABC? ? ? 的菱形 ， M 为 PC 的中点 （ 1）在棱 PB 上是否存在一点 Q ， 使得 A ， Q ， M ， D 四点共面 ？ 若存在 ， 指出点 Q 的位置并说明 ； 若不存在 ， 请说明理由 ； （ 2）求点 D 平面 PAM 的距离 - 5 - 21.已知点 ， ()
9、当直线 m过点 P且与圆心 的距离为 1时，求直线 m的方程 () 设过点 P的直线与 C交于 A， B两点，且 ，求以线段 AB为直径的圆的方程 22（满分 12分） 若定义域内的某一数 0x ， 使得 00)( xxf ? ， 则称 0x 是 )(xf 的一个不动点 ，已知函数 )0(1)1()( 2 ? abxbaxxf 。 （ ） 当 1?a ， 2?b 时，求函数 )(xf 的不动点； （ ） 若对任意的实数 b ，函数 )(xf 恒有两个不动点，求 a 的取值范围； （） 在 （ ） 的条件下，若 )(xfy? 图象上两个点 BA, 的横坐标是函数 )(xf 的不动点，且BA, 的
10、中点 C 在 函数 145)( 2 ? aa axxg 的 图象 上，求 b 的最小值 。 参考公式：),(),( 2211 yxByxA 的中点坐标为 1 2 1 2( , )22x x y y?） - 6 - 期中考答案 选择题： 1-5.D C D B B 6-10.A A B C C 11-12.AC 12题 解：在等差数列 na 中，由 24 6pqa a a a p q? ? ? ? ? ?， 因为 2, 4pq?时， 19pq?取最小值 411 ，所以 411m? ，1 12b?又由 1121n n nb b b? ? ?可归纳出 1n nb n? ?，所以2 1( 1)nbn
11、n n? ?所以 3 1 0 021 2 2 2 1002 3 1 0 0 1 0 1bbbb ? ? ? ? ?填空题 .13. 23. ? ? ,10 . .37 解答题 17解：（ 1）不等式 ? ? 2fx? 等价于? ? ? ?322 3 2 1 2xxx? ? ? ? ? ?或? ? ? ?31222 3 2 1 2xxx? ? ? ? ? ? ?或? ? ? ?122 3 2 1 2xxx? ? ? ? ? ?，?分 解得 32x? 或 3 02 x? ? ? ，所以不等式 ? ? 1fx? 的解集是 ? ?,0? ；?分 （ 2）存在 xR? ，使得 ? ? 32f x a?成
12、立，故需求 ?fx的最大值 .?分 2 3 2 1xx? ? ? ? ? ? ?2 3 2 1 4xx? ? ? ?，?分 所以 3 2 4a?，解得实数 a 的取值范围是 2,23?.?分 18解：（ 1）由题意得 1 21nnaS? ?， ? ?12 1 2nna S n? ? ? 两式相减得 ? ?1122n n n n na a S S a? ? ? ? ?1 32nna a n? ? ?，?分 所以当 2n? 时， ?na 是以 3为公比的等比数列 . 因为 2 1 12 1 2 1 3a S a? ? ? ? ?， 21 3aa? ?分 - 7 - 所以， 1 3nnaa? ? ，
13、对任意正整数成立， ?na 是首项为 1，公比为 3的等比数列， 所以得 13nna ? .?分 （ 2） 3 1 3lo g lo g 3 nnnb a n? ? ?，所以 13nnna b n? ? ?，?分 ? ? ? ? ? ?0 1 23 1 3 2 3 3nT ? ? ? ? ? ? ? ?L? ? ? ?213 1 3nnnn? ? ? ? ? ?0 1 2 2 13 3 3 3 3nn? ? ? ? ? ? ?L? ?1 2 3 1nn? ? ? ? ? ?L ?分 ? ?1131 3 2n nn? （到此步?分） 2312n nn? ? ? ?分 . ?分 （ 2） 由正弦定
14、理得 s in 2 2s in s ins in 33aBb B c CA? ? ?， ?分 221 ( s i n s i n ) 1 s i n s i n ( ) 33l a b c B C B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?31 1 2 s in c o s 1 2 s in2 2 6B B B? ? ? ? ? ? ? ? ?分 3A? ， 2 5 0 3 6 6 6BB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ， ， ?分 - 8 - 1sin 162B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故 C 的周长 l 的 最大值为 3?分 解：（ 1）当点 Q
15、为棱 PB 的中点时 ， A ， Q ， M ， D 四点共面 证明如 下： 取棱 PB 的中点 Q ， 连结 QM ， QA ， 又 M 为 PC 的中点 ， 所以 /QM BC ， 在菱形 ABCD 中 /AD BC ， 所以 /QM AD ， 所以 A ， Q ， M ， D 四点共面 ?分 （ 2）点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离 ， 取 AD 中点 O ,连结 OP ， OC ， AC ， 依题意可知 PAD ， ACD 均为正三角形 ， 所以 PO AD? ，又平面 PAD? 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD? ， PO? 平面 P
16、AD ， 所以 PO? 平面 ABCD ， 即 PO 为三棱锥 P ACD? 的高 ? 7分 在 Rt POC? 中 ， 3PO OC?， 6PC? ， 在 PAC 中 ， 2PA AC?， 6PC? ， 边 PC 上的高 22 102A M P A P M? ? ?， 所以 PAC 的面积 1 1 1 0 1 562 2 2 2PACS P C A M? ? ? ? ? ? ? 9分 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ， 由 D PAC P ACDVV? ， 得 1133P A C A C DS h S P O? ? ?， 又 23 234ACDS? ? ? ? 11分 1 15 1
17、333 2 3h? ? ? ? ?，解得 2 155h? ， 所以点 D 到平面 PAM 的距离为 2155 12分 21.() 由题意知，圆的标准方程为： ， ? 1分 设直线 的斜率为 （ 存在）， 则方程为 ，即 ， ? 3分 又 的圆心为 ， ， 由 ， ? 4分 - 9 - 所以直线方程为 ，即 ? 5分 当 不存在时，直线 的方程为 ? 6分 综上所述，直线 的方程为 或 ? 7分 () ， ， ? 12 分 22.解： (1) 3)( 2 ? xxxf ，由 xxx ? 32 ， ? 1分 解得 3?x 或 1?x ， 所以所求的不动点为 1? 或 3. ? 3分 (2)令 xbxbax ? 1)1(2 ，则 012 ? bbxax 由题意，方程 恒有两个不等实
