1、 - 1 - 2017 2018 学年度第一学期高二半期考试 数学试卷 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 ) 1 “ 1x? ” 是 “ 2 1x? ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2命题 :px?R ， 2 10x ? 的否定是（ ） A :px? ? ?R ， 2 10x ? B :px? ? ?R ， 2 10x ? C :px? ? ?R ， 2 10x ? D :px? ? ?R ， 2 10x ? 3方程 2214 10xykk?表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 （ ） A (4
2、, )? B (4,7) C (7,10) D (4,10) 4 同时掷两个骰子，则向上的点数和为 8的概率是（ ） A 16 B 736 C 536 D 14 5根据秦九韶算法求 1x? 时 4 3 2( ) 4 3 6 1f x x x x x? ? ? ? ?的值，则 2v 为（ ） A 1? B 5? C 21 D 22? 6从装有 2个红球和 2个 黑 球的口袋内任取 2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A至少有一个 黑 球与都是 黑 球 B至少有一个 黑 球与都是红球 C至少有一个 黑 球与至少有 1个红球 D恰有 1个 黑 球与恰有 2个 黑 球 7 .在平面直角坐标系
3、 xOy中，已知 ABC 顶点 A（ -4， 0）和 C（ 4， 0）顶点 B在椭圆 =1上，则 =（ ） A. B. C. D. 8 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30名，高二年级有 40 名现用分层抽样的方法在这 70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( ) A 6 B 8 C 10 D 12 - 2 - 9在长为 10cm 的线段 AB上任取一点 P，并以线段 AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与 49 cm2之间的概率为 ( ) A 51 B 52 C 54 D 103 10编号为 1， 2， 3的三
4、位学生随意坐入编号为 1， 2， 3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率 ( ) A23 B13 C16 D56 11若如图所示的程序框图输出的 S的值为 126，则条件 为 ( ) A n5? B n6? C n7? D n8? 12 .已知 F1， F2 分别是椭圆 mx2+y2=m（ 0 m 1）的左、右焦点， P 为椭圆上任意一点，若的最小值为 ，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13 命题“若 2 1x? ，则 11x? ? ”的逆否命题是 14 如图，矩形长为
5、5，宽为 3，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 （结果用分数表示） 15.点 P 是椭圆 + =1上一点， F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，若 |PF1|PF2|=12，则 F 1PF2的大小 _ 16椭圆 的右焦点为 F，过 F 的直线交椭圆于 A， B两点，点 C是点 A关于原点 O的对称点，若 CFAB 且 CF=AB，则椭圆的离心率为 _ - 3 - 三、解答题 (本大题共 6小题 ，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. （本小题满分 10分） 已知圆 122 ?yx 和点 A（
6、 2， 0），过 A作圆的割线，交圆于 B、 C两点， M是弦 BC的中点，求点 M的轨迹方程。 18 （本小题满分 12 分） 命题 p：关于 x的不等式 2 2 4 0x ax? ，对一切 x?R 恒成立； 命题 q：函 数 ( ) (3 2 )xf x a? 是增函数若 p或 q为真， p且 q为假，求实数 a的 取值范围 19. （本小题满分 12 分） 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 ? ?50,40 ， ? ?60,50 ? ? ?100,90 后得到如下部分频率分布直方图 .观察图形的信息，回答下列问题： ( )求分数在
7、 ? ?70,80 内 的频率，并补全 这个频率分布直方图； （） 用分层抽样的方法在分数段为 ? ?80,60 的学生中抽取一个容量为 6 的样本， 将该样本看成一个总体，从中任取 2 人， 求至多有 1人在分数段 ? ?80,70 的概率 . 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 ? ?2222: 1 0xyC a bab? ? ? ?的离心率 22e?，焦距为 2 （ 1）求椭圆 C 的方程； 第 19 题图 - 4 - （ 2）已知椭圆 C 与直线 0x y m? ? ? 相交于不同的两点 ,MN，且线段 MN 的中点不在圆221xy?内，求实数 m 的取值范围 21 . （本小
8、题满分 12分） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1， 2， 3， 4 （ 1） 从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4的概率； （ 2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n m 2的概率 22（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的右焦点为 F（ 1， 0），且经过点 （ 1）求椭圆 P的方程； （ 2）已知正方形 ABCD 的顶点 A， C在椭圆 P上，顶点 B， D在直线 7x-7y+1=0上，求该正方形 ABCD的面积 - 5 - 高二半期考试 数学试卷答案 一、选择题 ABCC BD
9、DB ABBB 二、填空题 13 若 x -1或 x 1,则 x2 1 14 515 15. 60 16 三、解答题 17 解： 设 M（ x， y），利用平几知识知： OM AM， OM =（ x， y）， ),2( yxAM ? ，由 OM AM =0，即 0)2( 2 ? yxx 因此，所求的方程 1)1( 22 ? yx （ 210 ?x ） 18 解： p为真： =4 a2 16 0 ? 2 a 2， q为真： 3 2a 1 ? a 1， 因为 p或 q为真， p且 q为假 p， q一真一假 当 p真 q假时， 221aa? ? 1 a 2， 当 p假 q真时， 221aaa ? 或
10、 ? a 2， a的取值范围为 1 2) ( 2? ?， ， 19解： （） 分数在 ? ?70,80 内 的频率为： 1 ( 0 .0 1 0 0 .0 1 5 0 .0 1 5 0 .0 2 5 0 .0 0 5 ) 1 0? ? ? ? ? ? 1 0.7 0.3? ? ? ，故 0.3 0.0310? ， 如图所示： （）由题意， ? ?60,70 分数段的人数为： 0.15 60 9?人； ? ?70,80 分数段的人数为： 0.3 60 18?人； - 6 - 在 ? ?80,60 的学生中抽取一个容量为 6 的样本， ? ?60,70 分数段抽取 2人，分别记为 ,mn； ? ?
11、70,80 分数段抽取 4人，分别记为 , , ,abcd ； 设 从样本中任取 2 人，至多有 1人在分数段 ? ?80,70 为事件 A ，则基本事件空间包含的基本事件有： ( , )mn 、 ( , )ma 、 ( , )mb 、 ( , )mc 、 ( , )md 、 ? 、 (, )cd 共 15种， 则事件 A 包含的基本事件有： ( , )mn 、 ( , )ma 、 ( , )mb 、 ( , )mc 、 ( , )md 、 (, )na 、 (, )nb 、 (,)nc 、 (, )nd 共 9种， 93() 15 5PA? 20. 解 :（ 1）由题意知 2 , 2 2,2
12、ceca? ? ?解得 2, 1,ac?又 2 2 2a b c?， 222, 1ab? ? ? 故椭圆的方程为 2 2 12x y? （ 2）联立得 220,1,2x y mx y? ? ? ?消去 y 可得 223 4 2 2 0 .x m x m? ? ? ? 则 ? ?221 6 1 2 2 2 0 3 3m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,M x y N x y，则12 4 ,3mxx? ?则122 .3myy? MN 中点 的 坐标为 2 ,33mm?， 因为 MN 的中点不在圆 221xy?内， 所以 222 3 513 3 5
13、mm m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 355m?， 综上，可知 3535m? ? ? ?或 35 35 m?. - 7 - 21 解： （ 1） 从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2， 1和 3，1和 4， 2和 3， 2和 4， 3和 4，共 六 个 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4的事件共有 1和 2， 1和 3两个 因此所求事件的概率为13 （ 2）先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其中一切可能的结果 (m， n)有： (1， 1)， (1， 2)， (1， 3)， (1， 4
14、)， (2， 1)， (2， 2)，(2， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (3， 2)， (3， 3)， (3， 4)， (4， 1)， (4， 2)， (4， 3)， (4， 4)，共 16个 所有满足条件 n m 2的事件为 (1， 3)(1， 4)(2， 4)，共 3个， 所以满足条件 n m 2的事件的概率为 P1316 故满足条件 n m 2的事件的概率为 1 P1 13161316 22. 解：（ 1）由题意可得： a2-b2=1， + =1，联立解得 a2=4， b2=3 椭圆 P的方程为 + =1 （ 2） ABCD为正方形， AC BD，设直线 AC 的方程为： y=-x+m 代入椭圆方程可得： 7x2-8mx+4m2-12=0， =64m2-28（ 4m2-12） 0，解得 m ， 设 A（ x1， y1）， C（ x2， y2）， 则 x1+x2= ， x1?x2= ， y1+y2=2m-（ x1+x2） =2m- = 线段 AC的中点 M 由点 M在直线 BD 上， 7 -7 +1=0，解得 m=-1 直线 AC的方程为： x+y+1=0 |AC|= = = 该正方形 ABCD的面积 S= = =
