1、7.1.1 条件概率条件概率问题问题1：某个班级有：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：数如下表所示：团员团员非团员非团员合计合计男生男生16925女生女生14620合计合计301545在班级里随机选择一人做代表：在班级里随机选择一人做代表：(1)选到男生的概率是多少？选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？分析：分析：随机选择一人做代表，则样本空间随机选择一人做代表，则样本空间包含包含45个等可能的样本点个等可能的样本点.用用A表示事
2、件表示事件“选到选到团员团员”，B表示事件表示事件“选到男生选到男生”，根据表中的数据可以得出，根据表中的数据可以得出，n()=45，n(A)=30，n(B)=25.问题问题1：某个班级有：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：数如下表所示：团员团员非团员非团员合计合计男生男生16925女生女生14620合计合计301545解：解：“在选到团员的条件下，选到男生在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是的概率就是“在事件在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生发生”的概率，记为的概率，记为 P(B|A).此时相当于以此时
3、相当于以A为样本空间来考虑事件为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的发生的概率，而在新的样本空间中事件样本空间中事件B就是积事件就是积事件AB，包含的样本点数，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知，根据古典概型知识可知，分析：分析：随机选择一人做代表，则样本空间随机选择一人做代表，则样本空间包含包含45个等可能的样本点个等可能的样本点.用用A表示事件表示事件“选到团员选到团员”，B表示事件表示事件“选到男生选到男生”，根据表中的数据可以得出，根据表中的数据可以得出，n()=45，n(A)=30，n(B)=25.(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？如果已
4、知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？问题问题1：某个班级有：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：数如下表所示：团员团员非团员非团员合计合计男生男生16925女生女生14620合计合计301545(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？团员团员非团员非团员合计合计男生男生1616女生女生1414合计合计3030追问：事件追问：事件A的发生是如何改变样本空间的的发生是如何改变样本空间的？是增大样本空间还是缩小是增大样本空间还是缩小样本空间？样本空间？条
5、件概率条件概率 本质上是在新的样本空间本质上是在新的样本空间A中事件中事件AB的概率，的概率，即即解：会缩小样本空间，解：会缩小样本空间，样本空间 ，且所有的样本点都是等可能的.解：解：如果b表示男孩，g表示女孩，问题2满足古典概型的条件.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是的概率就是“在事件在事件A发生的条发生的条件下，事件件下，事件B发生发生”的概率，记为的概率，记为P(B|A).此时此时A成为样本空间，事件成为样本空间，事件B就是积事件就是积事件AB.根据古典概型知识可知，根据古典概型知识可知，问题问题2：假定生男孩生女孩
6、是等可能的，现在考虑有两个小孩的家庭假定生男孩生女孩是等可能的，现在考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，随机选择一个家庭，那么那么(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又有多大？如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又有多大？设 A=“选择的家庭中有女孩”，则设 B=“选择的家庭中有两个小孩都是女孩”，则(1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率是思考思考通过问题通过问题1和问题和问题2，你能得到什么结论？，你能得到什么结论？与与 ，问题问题3结合结合以上
7、两个问题以上两个问题，你能探索条件概率，你能探索条件概率之间的关系吗？之间的关系吗？对于一般的古典概型，在事件对于一般的古典概型，在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率都是发生的概率都是借助借助Venn图可知，图可知，ABAB若已知事件若已知事件A发生，则发生，则A成为样本空间成为样本空间.此时此时B发生的概率是发生的概率是AB包含样本点数与包含样本点数与A包含样本点数的包含样本点数的比值，即比值，即 .因为因为所以在事件所以在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率可以通过发生的概率可以通过 来计算来计算 一般地一般地,设设,为两个事件为两个事件,且且(A),
8、称称为在事件为在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的发生的条件概率条件概率 一般把一般把 P(B|A)读作读作 A 发生的条件下发生的条件下 B 发生的概率发生的概率.反之，若反之，若P(B|A)=P(B)，且，且P(A)0，则：则：条件概率与事件独立性的关系条件概率与事件独立性的关系 在问题在问题1和问题和问题2中，都有中，都有P(B|A)P(B).一般地，一般地，P(B|A)与与P(B)不一定相等不一定相等.如果如果P(B|A)与与P(B)相等，那么事件相等，那么事件A与与B应满足什么条件？为什么？应满足什么条件？为什么？直观上看，当事件直观上看，当事件A与与B相互独立时，事
9、件相互独立时，事件A发生与否不影响事件发生与否不影响事件B发生的概率，这等价发生的概率，这等价于于P(B|A)=P(B)成立成立.追问追问对于任意两个事件对于任意两个事件A与与B，如果已知，如果已知P(A)与与P(B|A)，如何计算，如何计算P(AB)呢？呢？由条件概率的定义，对任意两个事件由条件概率的定义，对任意两个事件A与与B，若，若P(A)0，则，则P(AB)=P(A)P(B|A)，称此式为概率的乘法公式称此式为概率的乘法公式.问题问题4事实上，若事件事实上，若事件A与与B相互独立，相互独立，即即P(AB)=P(A)P(B)，且且P(A)0，则：则：P(AB)=P(A)P(B)因此，因此
10、，当当P(A)0时时，当且仅当当且仅当A与与B相互独立相互独立时，有时，有 P(B|A)=P(B)在在5 5道试题中有道试题中有3 3道代数题和道代数题和2 2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1 1道题，抽出的题不道题，抽出的题不 再放回再放回.求求:(1 1)第第1 1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2 2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率;(2 2)在第在第1 1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2 2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.分析分析:如果把如果把“第第1次抽到代数题次抽到代数题”和和“第第2次抽到几何题次抽到几何题”作为两个事件，那么问题
11、作为两个事件，那么问题(1)就是就是 积事件的概率，问题积事件的概率，问题(2)就是条件概率就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条 件概率件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.条件概率、乘法公式的应用条件概率、乘法公式的应用：设：设A=“第第1次抽到代数题次抽到代数题”，B=“第第2次抽到几何题次抽到几何题”.(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取 2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即 ,(2)“在第1次抽到
12、代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件 B发生的概率.显然 .利用条件概率公式，得在在5 5道试题中有道试题中有3 3道代数题和道代数题和2 2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1 1道题，抽出的题不道题，抽出的题不 再放回再放回.求求:(1 1)第第1 1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2 2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率;(2 2)在第在第1 1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2 2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.分析分析:如果把如果把“第第1次抽到代数题次抽到代数题”和和“第第2次抽到几何题次抽到几何题”作为两个
13、事件，那么问题作为两个事件，那么问题(1)就是就是 积事件的概率，问题积事件的概率，问题(2)就是条件概率就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条 件概率件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.条件概率、乘法公式的应用条件概率、乘法公式的应用：设设A=“第第1次抽到代数题次抽到代数题”，B=“第第2次抽到几何题次抽到几何题”.在缩小的样本空间在缩小的样本空间A上求上求P(B|A).已知第已知第1次抽到代数题，这时还余下次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中道试题，其中代数题和
14、几何题各代数题和几何题各2道道.因此，事件因此，事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率为发生的概率为利用乘法公式可得 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,问问:“第一颗掷出第一颗掷出6 6点点”的概率是多少？的概率是多少？“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”10”的概率又是多少的概率又是多少?“已知第一颗掷出已知第一颗掷出6 6点，则掷出点数之和不小于点，则掷出点数之和不小于10”10”的概率呢？的概率呢？【变式练习变式练习】1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455566162636465666162
15、63646566解：设为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出6点”为事件A，“掷出点数之和 不小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点，掷出点数之和不小于10”为事件AB.问题问题5通过以上的例题解答，请问求条件概率一般有几种方法通过以上的例题解答，请问求条件概率一般有几种方法？你认为条？你认为条件概率有什么性质？件概率有什么性质？计算计算A发生的条件发生的条件下下事件事件B发生的发生的的两种方法：的两种方法：(通常适用古典概率模型通常适用古典概率模型)(适用于一般的概率模型适用于一般的概率模型)一种是基于样本空间 ，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A).另一种是根据
16、条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间 缩小为A，求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.问题问题5通过以上的例题解答，请问求条件概率一般有几种方法通过以上的例题解答，请问求条件概率一般有几种方法？你认为条？你认为条件概率有什么性质？件概率有什么性质？条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设 P(A)0，则如果B和C是两个互斥事件，则设B和 互为对立事件，则例例2 2 已知已知3 3张奖券中只有张奖券中只有1 1张有奖，甲、乙、丙张有奖，甲、乙、丙3 3名同学依次不放回地各名同学依次不放回地各 随机抽取随机抽取1 1张张.他们中奖的概率与抽奖的次序
17、有关吗？他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？因为因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。所以中奖的概率与抽奖的次序无关。追问追问若是放回随机抽样，若是放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变?无论是放回或不放回，无论是放回或不放回，中奖的概率都与抽奖的次序无关，都是中奖的概率都与抽奖的次序无关，都是例例3 银行储蓄卡的密码由银行储蓄卡的密码由6位数字组成位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记某人在银行自助取款机上取钱时，忘记 了码的最后了码的最后1位数字位数字.求：求：(1)任意按最后
18、任意按最后1位数字，不超过位数字，不超过2次就按对的概率；次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后如果记得密码的最后1位是偶数，不超过位是偶数，不超过2次就按对的概率次就按对的概率.1.什么是条件概率？条件概率与积事件的概率有什么关系？什么是条件概率？条件概率与积事件的概率有什么关系？2.对于随机事件对于随机事件A、B，请你说一说，请你说一说“事件事件A、B同时发生同时发生”与与“在事件在事件A发生的条发生的条 件下，事件件下，事件B发生发生”的区别，这两个事件的概率有什么关系？哪个概率更大？的区别，这两个事件的概率有什么关系？哪个概率更大？3.求条件概率一般有几种方法？求条件概率一般有几种方法？(1)减缩样本空间法减缩样本空间法(2)条件概率定义法条件概率定义法4.条件概率有哪些性质？条件概率有哪些性质？教科书第48页练习1、2题，习题7.1第1、2、3、6、9、10题
