1、 选择性必修第三册选择性必修第三册 7.3.2 7.3.2离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差温故知新1.离散型随机变量的均值(数学期望）2.离散型随机变量均值离散型随机变量均值的运算性质的运算性质E(aXb)aE(X)b(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X).3.求离散型随机变量的均值的步骤数学期望是反映离散型随机变量的平均水平数学期望是反映离散型随机变量的平均水平Xx1x2xixnPp1p2pipn 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平
2、均水平或分布的“集中趋势”.”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.温故知新如何评价这两名同学的射击水平？因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.问题1 1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X X和Y Y的分布列如下表1 1和表2 2所示：表1 1表2 26789100.09 0.24 0.32 0.280.16789100.07 0.22 0.38 0.30 0.03探究新知如何评价这两名同学的射击水平？问题1 1：从两名
3、同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X X和Y Y的分布列如下表1 1和表2 2所示：表1 1表2 26789100.09 0.24 0.32 0.280.16789100.07 0.22 0.38 0.30 0.03评价射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.下图一和图二分别是X X和Y Y的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于8 8环，即乙同学的设计成绩更稳定.图一图二探究新知问题2 2：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？我们知道,样本方差可以度量一组样本数据x1,x2,xn 的离散程度,它是通
4、过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.即样本的方差 设离散型随机变量X的分布列如表所示.x1 1x2 2.xnp1 1p2 2.pn所以可以用这个加权平均数来衡量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.样本方差反映了这组数据的波动情况。一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢?概念生成 一般地，设离散型随机变量X的分布列如表所示.称x1 1x2 2.xnp1 1p2 2.pn D(X)=(x1E(X)2 p1+(x2E(X)2 p2+(xnE(X)2 pn随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.
5、解惑提高(1)随机变量X的方差D(X)是数值，是随机变量的一个重要特征数；(2 2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.(3 3)随机变量方差和样本方差的区别和联系区别：随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.联系：对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差，因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差.解决问题因此，问题因此，问题1中可以用两名同学中可以用两名同学射击射击成绩的方差和标
6、准差来刻画它们成绩的稳定性。由成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为问题1 1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X X和Y Y的分布列如下表1 1和表2 2所示：表1 1表2 26789100.09 0.24 0.32 0.280.16789100.07 0.22 0.38 0.30 0.03 因为D(Y)D(Y)E(Y),E(X)E(Y),所以投资股票A A的期望收益较大.典型例题例2 2 投资A A、B B两种股票
7、，每股收益的分布列分别如表1 1和表2 2所示：收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3表1 1 股票A A收益的分布列（1 1）投资哪种股票的期望收益大？（2 2）投资哪种股票的风险较高？表2 2 股票B B收益的分布列解：（2)2)股票A A和股票B B投资收益的方差分别为 D(X)=(-1)D(X)=(-1)2 2x0.1+0 x0.1+02 2x0.3+2x0.3+22 2x0.6-1.1x0.6-1.12 2=1.29,=1.29,D(Y)=0 D(Y)=02 2x0.3+1x0.3+12 2x0.4+2x0.4+22 2x0.3-1x0.3-1
8、2 2=0.6.=0.6.因为E(X)E(X)和E(Y)E(Y)相差不大，且D(X)D(YD(X)D(Y),),所以资股票A A比投资股票B B的风险高.总结提升(1)(1)比较均值离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高1.1.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(2)在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)(3)得出结论依据均值和方差做出判断.2.2.离散型随机变量的数字特征离散
9、型随机变量的数字特征x的期望与方差对比 名称名称数学期望数学期望方差方差定义定义E(x)=D(x)=性质性质(1)E(a)=a(a为常数)(2)E(ax)=aE(x)(a0)(3)E(ax+b)=aE(x)+b(a，b为常数,且a0)(4)若服从两点分布，则E(x)=np(1)D(a)=0(a为常数)(2)D(ax)=a2D(x)(a0)(3)D(ax+b)=a2D()(a，b为常数,且a0)(4)若x服从两点分布，则D(x)=np(1-p)数学数学意义意义 E(x)是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平 D(x)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度总结提升样本样
10、本离散型随机变量离散型随机变量均均值值公公式式意意义义方方差差或或标标准准差差公公式式意意义义随着不同样本值的变化而变化是一个常数随着不同样本值的变化而变化，反映数据偏离平均数的平均程度，方差越小，偏离程度越小.是一个常数，反映随变量取值偏离均值的平均程度，方差越小，偏离程度越小.1给出下列四个命题：离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度则正确命题应该是()A BC DD课堂评价A 练习 4、请分别计算探究中两名
11、同学各自的射击成绩的方差.P56789100.030.090.200.310.270.10P567890.010.050.200.410.33因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？课堂小结1.离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差(x1E(X)2 p1+(x2E(X)2 p2+(xnE(X)2 pn(1)D(X)=2.离散型随机变量的方差的性质离散型随机变量的方差的性质课堂小结3.求离散型随机变量求离散型随机变量X的方差的方差、标准差、标准差的基本步骤的基本步骤:4.4.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)(1)比较均值在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高(2)在均值相等或接近的情况下计算方差.分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)(3)得出结论依据均值和方差做出判断.
