1、 1 2017-2018-1 学期高二年级期中考试试题 数 学 说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 .满分 150分，考试时间 120分钟 .答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡 . 第卷（选择题，共 60分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. ABC? 中，若 1, 2, 60a c B ? ? ?，则 ABC? 的面积为 A. 21 B. 23 C. 1 D. 3 2.设数列 na 是等差数列 , 若 394, 8,aa? 则 6a? A. 5 B. 112 C. 6 D. 132
2、3.若 , , , ,a b c d R? 且 ,a bc d?, 则下列不等式一定成立的是 A. a c b d? ? ? B. ac bd? C. abdc? D. a d b c? ? ? 4.设 ,xy满足约束条件 12xyyxy?,则 3z x y?的最大值为 A. 5 B. 3 C. 7 D. -8 5.在 ABC? 中 , 80, 100, 45a b A ? ? ?,则此三角形解的情况是 A. 一解 B. 两解 C. 解的 个数不确定 D. 无解 6.设 , , , 2,a b c R ab?且 22c a b?恒成立 ， 则 c 的最大值是 A 12 B 2 C 14 D 4
3、 7.下列结论正确的是 A当 2x? 时， 1x x? 的最小值为 2 B当 0x? 时， 1 2xx?2 C当 102xxx? ? ?时 ， 无最大值 D 当 0x? 且 1x? 时， 1lg 2lgx x?8.在等比数列 ?na 中 , 675 ?aa ， 5102 ?aa ,则1018aa 等于 A. 2332 ? 或 B. 32 C. 23 D. 32 或 23 9.在 ABC? 中 ,角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc,若 120 , 2 ,C c a?则 A. ab? B. ab? C. ab? D. a 与 b 的大小关系不确定 10.设数列 an是公差 d 0的等差数列 ，
4、 Sn为 其 前 n项和 ， 若 S6 5a1 10d， 则 Sn取最大值时 ， n的值为 A. 5 B. 6 C. 5或 6 D. 11 11.已知 na 是等比数列，2512, ,4aa?则 1 2 2 3 1nna a a a a a ? ? ? ? A 32(1 2 )3 n? B 32(1 4 )3 n? C 16(1 2 )n? D 16(1 4 )n? 12.若某学生要作一个三角形，要求它的三条高长度分别为 1 1 1, , ,13 11 5 则此学生将 A. 不能作出满足要求的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 第卷（非选择题，
5、共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13.已知数列 an的前 n项和为 Sn n2 2n 2， 则数列 an的通项公式为 _. 14.在 ABC中 ， a 4， b 5， c 6， 则 sin22sinAC _. 15.在数列 an中 ， 已知 a1 2， a2 7， an 2等于 anan 1(n N*)的个位数 ， 则 a2 017 _. 16.若实数 ,xy满足 22 1,x y xy? ? ? 则 xy? 的最大值为 _. 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(本小题满分 10分 ) 在 A
6、BC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc, 且 ,ABC 成等差数列， ,abc成等比数列 . 求证： ABC? 为等边三角形 . 3 18.(本小题满分 12分 ) 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔 底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D 测得 1 5 3 0 3 0B C D B D C C D? ? ? ? ?， ，米，并 在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60? ,求塔高 AB 19.(本小题满分 12分 ) 已知等差数列 na 满足： 3 5 77, 26. na a a a? ? ?的前 n 项和为 nS （ 1） 求 na 及 nS ； （ 2） 令2
7、1 ()1n nb n Na ?，求数列 nb 的前 n 项和 nT 20.(本小题满分 12分 ) 已知 ABC? 中内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 向量 m (2sin , 3)B?， n 2(cos 2 , 2 cos 1)2BB?， 且 m n （ 1） 求锐角 B的大小； （ 2）在 （ 1） 的 条件下，如果 2b? ， 求 ABCS? 的最大值 21.(本小题满分 12分 ) 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为 21 万元 该公司第 n年需要付出设备的维修和工人工资等费用 na 的信息如下图 （ 1）求 na ； （ 2）引进这种设备后，
8、从第几年开始该公司能够获利？ 费用 (万元 )年an42n214 （ 3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 22.(本小题满分 12分 ) 设数列 na 前 n 项和为 nS , 满足 31()42nna S n N ? ? ? （ 1）求数列 na 的通项公式 ； （ 2）令 ,nnb na? 求数列 nb 的前 n 项和 nT ； （ 3）若不等式 21 2209nn aT n ? ? ? ?对任意的 nN? 恒成立，求实数 a 的取值范围 5 数 学 一、选择题（ 本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 ） 题号
9、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C B D B D A C B D 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 .） 13 1, 12 3, 2.n na nn? ? ?14 12 15 2 16. 233 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 解：由题意，知 2A C B? 又因为 0180A B C? ? ? ,所以 003 180 , 60BB? 2分 又由余弦定理，知 2 2 2 2 cosb a c ac B? ? ? 且由题意，知 2b ac? 故有 22ac a c ac
10、? ? ? 2220a ac c? ? ? 即 2( ) 0ac? 所以 ac? 8分 从而， AC? ，又 00180 120A C B? ? ? ? 故 060A B C? ? ? 所以 ABC? 为等边三角形 . 10分 18 解： 在 BCD 中， 1 8 0 1 5 3 0 1 3 5C B D? ? ? ? ? ? ? ? ? 由正弦定理得 sin sinB C C DB D C C B D? 所以 3 0 sin 3 0 1 5 2sin 1 3 5BC ? 6分 在 Rt ABC? 中， ta n 1 5 2 ta n 6 0 1 5 6A B B C A C B ? ? ?
11、? ?（ m） 12 分 6 答 : 塔高 15 6 m. 19 解：（ 1）设等差数列 na 的首项为 1a ，公差为 d ， 3 5 77, 26,a a a? ? ? 112 7 , 2 1 0 2 6 ,a d a d? ? ? ? ? 解得 1 3, 2.ad? 1 ( 1) 2 1,na a n d n? ? ? ? ? ?1() ( 2 ).2 nn n a aS n n? ? ? 6分 （ 2） 21nan?， 2 1 4 ( 1)na n n? ? ? ?， 1 1 1 1()4 ( 1) 4 1nb n n n n? ? ? ?， 故12 1 1 1 1 1 1(1 )4
12、2 2 3 1nnT b b b nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 11(1 )4 1 4( 1)nnn?， ?数列 nb 的前 n 项和 .4( 1)n nT n? ? 12分 20.解 ： （ 1） m n， 2sin B? ?2cos2B2 1 3cos 2B， sin 2B 3cos 2B， 即 tan 2B 3. 又 B为锐角 ， 2B (0， )， 2B 23 ， B 3. 6分 （ 2） B 3， b 2， 由余弦定理 cos B a2 c2 b22ac ， 得 a2 c2 ac 4 0. 又 a2 c2 2ac， 代入上式 ， 得 ac4 ， 当且仅
13、当 a c 2时等号成立 . 7 故 S ABC 12acsin B 34 ac 3， 当且仅当 a c 2时等号成立 ， 即 S ABC的最大值为 3. 12分 21.（ 1）解 ： 由题意知，每年的费用是以 2为首项， 2为公差的等差数列，求得： 1 2( 1) 2na a n n? ? ? ? 2分 （ 2）设纯收入与年数 n的关系为 f(n),则： 2( 1 )( ) 2 1 2 2 2 5 2 0 2 52nnf n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? 由 f(n)0得 n2-20n+250 解得 10 5 3 n 10 5 3? ? ? ? 又因为 n N? ,所以 n=
14、2,3,4, 18.即从第 2年该公 司开始获利 7分 （ 3） 年平均收入为 ()fnn =20- 25(n ) 2 0 2 5 1 0n? ? ? ? ? 当且仅当 n=5时，年平均收益最大 . 所以 这种设备使用 5年，该公司的年平均获利最大 . 12分 22.解 ： （ 1） 31()42nna S n N ? ? ?1131( 2)42nna S n? ? ?两式相减，得 1133()44n n n n na a S S a? ? ? ?. 所以，1 11 , 4 ( 2 ).4 nnn naa a na? ? ? ?又113142aS?，即1 1 131 242a a a? ? ?
15、 ?na? 是首项为 2 ，公比是 4 的等比数列 . 所以 1 2 2 2 12 4 2 2 2n n nna ? ? ? ? ? ? ?. 4分 （ 2） 212.nnnb n a n ? ? ? ? 3 5 2 11 2 2 2 3 2 2 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 2 1 2 14 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 - ,得 3 5 2 1 2 13 ( 2 2 2 2 ) 2 .nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? 故 211 (3 1) 2 2 .9 nnTn ? ? ? ? 8分 （ 3）由题意，再结合（ 2），知 31 09nan? ? 即 (3 1) 9 0n n a? ? ?. 从而 21139a n n? ? 设 211() 39g n n n? ? ?，m ax 2( ) (1) .9g n g? ? ?29a? ? 12分
