1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（B） 第第 8 单元单元 不等式不等式 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小小题，每小题题 5 分，在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知a、bR，且ab，则（ ） A 11 ab Bsinsinab C 11 33 ab D 22 ab 2 “2a”是“0 x ， 1 xa x 成立”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3若直线 440(0,0)axbyab 被圆 22 4240 xyxy截得的弦长为6，则 4ba ab 的最小值为（ ） A3 2 B3 2 2 C5 D7 4设0a，0b，则“ 1ab ”是“ 11 4 ab ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C
3、充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知正项等比数列 n a满足 765 2aaa，若存在两项 m a， n a，使得 2 1 64 mn a aa，则 19 mn 的最小值为（ ） A 3 2 B 8 3 C 11 4 D2 6对于实数 a，b，m，下列说法：若ab，则 22 ambm；若ab，则 | |a ab b；若 0ba，0m， 则 a ma b mb ； 若0ab， 且|l n | |l n |ab， 则2ab的最小值为2 2 其 中是真命题的为（ ） A B C D 7设 p：实数x满足 2 10 05xaxaa，q：实数x满足ln2x，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件
4、 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8已知实数满足约束条件 40 20 340 xy xy xy ，目标函数zaxby（0a且0b）的最大值为 2， 则 12 ab 的最小值为（ ） A1330 2 B 7 6 2 C3 2 2 D5 6 2 9若, a bR，满足0ab 且 22 3ab，则 33 ab ba 的最小值为（ ） A 3 2 B 3 C3 D2 3 10已知 2 2 log2()17yxx的值域为 ,)m ，当正数, a b满足 21 32 m abab 时， 则74ab的最小值为（ ） A 9 4 B1 C 52 2 4 D2 11实数a，b，c满足 2
5、21aacb 且 2 10ab ，则下列关系成立的是（ ） Abac Bcab Cbca Dcba 12已知,0,a b，且21ab ，则 22 24sabab 的最大值是（ ） A 21 2 B 2 1 C 21 D 21 2 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13若x，y满足不等式组 1 10 1 xy x xy ，则32xy的最大值为_ 14已知0a，0b，若不等式 31 3 m abab 恒成立，则m的最大值为_ 15若1ba且3log 6log11 ab ba，则 3 2 1 a b 的最小值为_ 16已知 , x y为正实数
6、，则 29 2 yx xxy 的最小值为_ 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知关于x的一元二次不等式 2 0axxb的解集为 , 21, （1）求a和b的值； （2）求不等式 2 0axcb xbc的解集 18 （12 分）已知a，b，c均为正实数，求证： （1） 2 ()4ababcabc； （2）若3abc ，则1113 2abc 19 （12 分）已知函数 2 2 ,1, xxa f xx x （1）当 1 2 a 时，求函数 f x的最小值；
7、 （2）若对任意1,x， 0f x 恒成立，试求实数 a 的取值范围 20 （12 分）已知, ,a b c为正数，且满足1abc 证明： （1） 111 9 abc ； （2） 8 27 acbcababc 21 （12 分）已知( ) |2 1|1|f xxx （1）将( )f x的解析式写成分段函数的形式，并求函数( )f x的值域； （2）若1ab，对任意,(0,)a b， 41 9 ( )f x ab 恒成立，求x的取值范围 22 （12 分）已知函数 2f xxaxb， , a bR （1）若1a ， 1 2 b ，求 2f x 的解集； （2）若0ab，且 f x的最小值为 2，
8、求 21 ab 的最小值 高三数学卷（B） 第第 8 单元单元 不等式不等式 答答 案案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】C 【解析】对于 A 选项，取1a ，1b，则ab成立，但 11 ab ，A 选项错误； 对于 B 选项，取a ，0b，则ab成立， 但sinsin0，即sinsinab，B 选项错误； 对于 C 选项，由于指数函数 1 3 x y 在R上单调递减， 若ab，则 11 33 ab ，C 选项正确；
9、 对于 D 选项，取1a ，2b，则ab，但 22 ab，D 选项错误， 故选 C 2 【答案】A 【解析】0 x 时， 1 2x x ，“0 x ， 1 xa x ”等价于2a， 而2a可推出2a，2a不能推出2a， 所以“2a”是“0 x ， 1 xa x ”成立的充分不必要条件，故选 A 3 【答案】B 【解析】由题得圆的方程可以化为 22 (2)(1)9xy， 所以圆心为(2, 1) ，半径为3r ， 因为直线440(0,0)axbyab被圆 22 4240 xyxy截得的弦长为6， 所以直线经过圆心，所以2440ab，即1 2 a b， 所以 44144 ()()33232 2 22
10、2 baababa b abababab ， 当且仅当42 2,21ab时取“=” ， 所以 4ba ab 的最小值为3 2 2 ，故选 B 4 【答案】A 【解析】因为0a，0b，所以21abab，所以 1 0 4 ab， 所以 1 4 ab （当且仅当 1 2 ab时取等号） ， 所以 111 22 44 abab （当且仅当 1 2 ab时取等号） 所以“1ab ”是“ 11 4 ab ”的充分条件， 反之，当 1 3 a ，1b时， 11 4 ab ，但是1ab， 所以“1ab ”是“ 11 4 ab ”的不必要条件 故选 A 5 【答案】D 【解析】设正项等比数列 n a的公比为q，
11、且0q ， 由 765 2aaa，得 6 66 2a a qa q ， 化简得 2 20qq，解得 2q = 或1q （舍去） ， 因为 2 1 64 mn a aa，所以 112 111 64 mn a qa qa ， 则 2 64 m n q ，解得8mn， 所以 191191919 ()101022 888 nmnm mn mnmnmnmn ， 当且仅当 9nm mn 时取等号，此时 9 8 nm mn mn ，解得 2 6 m n ， 所以 19 mn 的最小值为2，故选 D 6 【答案】B 【解析】对于，当0m时， 22 0ambm，所以是假命题； 对于，当0a时，|a ab b成立
12、； 当0a时，a ab b等价于 22 ab- -，即 22 ab， 因为0ba，所以 22 ab，所以 |a ab b成立； 当0a 时，0b，所以a ab b成立，所以是真命题； 对于，因为0,0bam，所以 ()()() 0 ()() amaam bbm aba m bmbbm bbm b ， 所以 ama bmb ，所以是真命题； 对于，因为0ab，且|ln| |ln |ab， 所以10 ab，且lnlnab，所以1ab ， 因为 1 222 2aba a ，当且仅当 1 2a a ，即 2 2 a 时成立， 2 1 2 ，不合题意，所以2ab的最小值不是2 2， 又由 2 11 22
13、a aa ，因为1a ，所以 2 11 220a aa ， 所以 1 2ya a 是 a 的增函数， 1 2a a 在1a 时没有最小值所以是假命题， 故选 B 7 【答案】A 【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力 2 1010Ax xaxax xxa ， 当01a时， ,1Aa； 当1a 时，1A； 当15a，1, Aa， 2 ln20Bxxxxe ， 因为AB，所以pq是的充分不必要条件，故选 A 8 【答案】A 【解析】由题意，画出约束条件 40 20 340 xy xy xy 所表示的平面区域，如图所示， 目标函数zaxby（0a且0b） ，可化为
14、直线 az yx bb ， 当直线 az yx bb 过点B点时，此时在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由 20 340 xy xy ，解得(3,5)B，所以目标函数的最大值为352zab， 则 121 121561 (35 )13(132 30) 222 ba ab ababab ， 当且仅当 56ba ab 时取“=” ，故选 A 9 【答案】C 【解析】因为 22 3ab， 则 33442222222 ()2929 =2 abababa ba b ab baabababab ， 又由 22 2abab，当且仅当ab时等号成立，即23ab，所以 3 0 2 ab， 设 93 2
15、,(0, 2 f xx x x ，可得函数 f x在 3 (0, 2 上单调递减， 所以 3 ( )3 2 fxf，即当 3 0 2 ab时， 9 23ab ab ， 所以 33 ab ba 的最小值为3， 故选 C 10 【答案】A 【解析】 2 2 22 ()log217log116()yxxx， 当1x 时，函数有最小值4，故4m； 即 21 4 32abab ， 1 742 32 4 21 32 ababa a b bab 212 459 5 43244 22 3abab abab ， 当 2 32 22 3 ab ab b ba a ，即 3 20 a ， 3 10 b 时等号成立，
16、 故选 A 11 【答案】D 【解析】由 2 21aacb 可得 2 (1)0acb，所以cb， 由 2 10ab 可得 2 1ab ， 22 13 1()0 24 babbb ，ba ， 综上cba，故选 D 12 【答案】A 【解析】,0,a b且21ab， 2 2222 2(2)21 242 2(2 )2 222 abab sabababab ， 当且仅当 1 2 2 ab时取等号，故s的最大值是 21 2 ，故选 A 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】3 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图所示： 目标函数32
17、zxy，即 3 22 z yx 与直线 3 2 yx 平行， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点1,0A时，取得最大值，故 max 3z， 故答案为3 14 【答案】12 【解析】因为 3199 366212 bab a ab ababab ，且0a，0b， 所以当且仅当 9ba ab ，即3ab时取等号， 因为不等式 31 3 m abab 等价于 31 3abm ab ，所以m的最大值为12， 故答案为12 15 【答案】2 2 1 【解析】因为1ba，所以log1 ab ， 因为3log6log11 ab ba，所以 6 3log11 log a a b b ， 2 log3log()
18、3 aa bb或舍， 即 3 ba， 因此 3 2222 112 (1)12 21 1111 abbb bbbb ， 当且仅当 21b 时取等号 16 【答案】6 2 4 【解析】令0 y t x ， 则 29999 22242 2246 24 2222 yx ttt xxyttt ， 当且仅当 9 22 2 t t ，即 3 2 2 2 y t x 时，等号成立， 故答案为6 2 4 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）1a ，2b； （2）答案见解
19、析 【解析】 （1）由题意知2和1是方程 2 0axxb的两个根， 由根与系数的关系，得 1 2 1 2 1 a b a ，解得 1 2 a b （2）由1a 、2b，不等式可化为 2 220 xcxc，即20 xxc， 则该不等式对应方程的实数根为2和c， 所以，当2c时，不等式为 2 20 x，它的解集为； 当2c时，不等式的解集为2,c； 当2c时，不等式的解集为, 2c 18 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】证明： （1）要证 2 4ababcabc， 可证 2222 40a bacabbcabc，需证 2222 220b acaca cbbc， 即证 22 0
20、b aca cb，当且仅当abc时，取等号， 由已知，上式显然成立， 故不等式 2 4ababcabc成立 （2）因为, ,a b c均为正实数， 由不等式的性质知 123 12 22 aa a ，当且仅当12a 时，取等号， 123 12 22 bb b 当且仅当12b 时，取等号， 123 12 22 cc c 当且仅当 12c 时，取等号， 以上三式相加，得 21116 2 abcd abc ， 所以1113 2abc ，当且仅当1abc 时，取等号 19 【答案】 （1） 7 2 ； （2）3a 【解析】 （1）当 1 2 a 时， 1 2 2 f xx x ， f x在区间1,上为增
21、函数， 由对勾函数的性质知函数 f x在区间1,上的最小值为 7 1 2 f （2）在区间1,上， 2 2 0 xxa f x x 恒成立 2 20 xxa 恒成立 设 2 2yxxa，1,x， 因为 2 2 211yxxaxa在1,上递增， 当1x 时， min 3ya ， 于是，当且仅当 min 30ya 时，函数 0f x 恒成立， 故3a 20 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1）1abc， 故 1 3 11abcabcabc abcab bacac c b abacbc 3 2229 ， 当 1 3 abc时等号成立 （2）易知10a，10b，10c ，
22、1111acbcababcabcacbcababcabc 3 1118 327 abc ， 当 1 3 abc时等号成立 21 【答案】 （1） 2,1 1 ( )3 ,1 2 1 2, 2 xx f xxx xx ，( )f x值域为 3 , 2 ； （2） 1 3 3 x 【解析】 （1）由已知得 2,1 1 ( )3 ,1 2 1 2, 2 xx f xxx xx ，画出图像如下： 根据图像知 ( )f x值域为 3 , 2 （2）,(0,)a b， 414144 ()5529 abab ab ababbaba ， 当且仅当 4ab ba 时取“”号，即 2ab时等号成立， 所以原不等式
23、恒成立，只需9 ( )9f x ，即( )1f x ， 根据图像解得 1 3 3 x 22 【答案】 （1）0,2； （2）4 【解析】 （1）由题意 1121f xxxx ， 2f x ，即212x，即11 1x ，解得02x， 所以 2f x 解集为0,2 （2）因为 222f xxaxbxaxbab， 当且仅当20 xaxb时，取到最小值2ab，即22ab， 因为0ab，故22ab， 2121 abab ， 所以 2112112114 224 2222 ba ab abababab 14 424 2 ba ab ， 当且仅当 4ba ab ，且22ab，即1a ， 1 2 b 或1a， 1 2 b 时，等号成立， 所以 21 ab 的最小值为 4
