1、 - 1 - 北京市西城八中 2016-2017 学年高二数学上学期期中试题 理（含解析） 一、 选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别为 13， 25， 12，现 3 人各投篮 1 次，是否投进互不影响，则 3 人都投进的概率为（） A 115B 215C 15D 110【答案】 A 【解析】 3 人都投进的概率 1 2 1 13 5 2 15P ? ? ? ?，故选 A 2抛 掷 2 颗骰子，所得的 2 颗点数相同的概率为（） A 14B 16C 18D 112【答案】 B 【解析】抛掷 2 颗骰子所出现的不同结果数是 6 6 36? ，事件 “
2、投掷两颗骰子，所得的点数相同 ” 所包含的基本事件有 (1,1) ， (2,2) ， (3,3) ， (4,4) ， (5,5) ， (6,6) 共六种，故事件 “ 掷 2 颗骰子，所得点数相同的概率是 6136 6P? ” 3袋中有 5 个大小完全相同的球，其中 2 个黑球， 3 三个白球不放回地连续取 2 次，则一直在第 1次取到黑球的条件下，第 2 次取到白球的概率是（） A 14B 34C 310D 35【答案】 B 【解析】记事件 A 为 “ 第一次取得黑球 ” ，事件 B 为 “ 第二次白球 ” ：则 2()5PA?， 11231154CC 3() C C 10P AB ?， 所
3、以 3( ) 310( / )2( ) 45P A BP B APA? ? ?， 即第 1次取到黑球的条件下， - 2 - 第 2 次取到白球的概率是 34 故选 B 4在 10 支铅笔中，又 8 支正品和 2 支次 品，从中任取 2 支，则恰好取到 1 支正品 1 支次品的概率是（） A 29B 1645C 1745D 25 【答案】 B 【解析】从 10 支铅笔中取 2 支铅笔，共有 210C 45? 种可能，其中 1支正品 1支次品包含 1182CC 16?种可能，所以事件 “ 恰好取到 1件正品 1支次品 ” 的概率是 1645P?，故选 B 5四棱锥 P ABCD? 的底面为菱形，侧
4、棱 PC 与底面垂直，则侧棱 PA 与菱形对角线 BD 的关系是（） A平行 B相交不垂直 C异面垂直 D相交垂直 【答案】 C 【解析】 C BAPD PC 底面 ABCD ， BD? 平面 ABCD ， PC BD ， 又 底面 ABCD 为菱形， BD AC ， BD 平面 PAC ， BD PA ， 又 PA ， BD 异面，所以侧棱 PA 与 BD 的关系是异面垂直，故选 C 6某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） A圆柱 B圆锥 C三棱锥 D三棱柱 - 3 - 【答案】 A 【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，故选 A 7若空间中四条直线 1l
5、 、 2l 、 3l 、 4l ，满足 12ll? 、 23ll 、 34ll? ，则下列结论一定正确的是（） A 14ll? B 14ll C 1l 、 4l 既不平行也不垂直 D 1l 、 4l 位置关系不确 【答案】 D 【解析】 12ll? ， 23ll ， 34ll? ， 13ll ， 34ll ， 1l 与 4l 相交、平行、异面都有可能， 即 1l 、 4l 的位置关系不确定，故选 D 8一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积等于（ ） 1268正视图左视图俯视图A 288 B 312 C 336 D 384 【答案】 C 【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱
6、，底面是直角边分别为 6 ， 8 的直角三角形， 三棱柱的高为 12 ，所以此几何体的表面积 1 6 8 2 6 1 2 8 1 2 1 0 1 2 3 3 62S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选 C 9正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? ， P ， Q ， R 为别是 AB ， AD ， 11BC 的中点，则正方体过 P ， Q ，R 三点的截面图形是（） - 4 - A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 【答案】 D 【解析】 MNQPSRA 1B 1C 1D 1CBAD如图，过 P ， Q ， R 的截面是六边形，故选 D 10设四棱锥 P ABCD?
7、中，底面 ABCD 是边长为 1的正方形，且 PA? 平面 ABCD 过直线 BD且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 E ，如果三棱锥 E BCD? 的体积取得最大值，则此时四棱锥 P ABCD? 的高为（） ECBAPDA 1 B 3 C 2 D不确定 【答案】 C 【解析】 - 5 - xyzDPAB CE以 A 为坐标原 点， AB 、 AD 、 AP 所在直线为 x ， y ， z 轴建立如图所示坐标系，设 PAh? ， 因为 E 在 PC 上，所以设 PE PC? ，代入有 ( . , )E h h? ? ， 因为 PC 平面 BDE ， PC BE ， 则 0PC BE?，代
8、入得 22 12hh? ? ? 所以21 1 1 1 23 6 2 6E B C D B C D E hV S Z hh h? ? ? ? ? ? ? ?， 所以当体积取到最大值时 2PA h? ，故选 C 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 11棱长为 2 的正方体的内切球表面积为 _ 【答案】 4 【解析】正方体的棱长等于其内切球的直径，所以其内切球半径 1R? ，故表面积 24 4SR? 12盒子 中装有编号为 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 的 6 个球，从中任意取出 2 个，则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是 _ 【答案】 25【解析】从 6 个球中任意取出 2
9、 个，共有 26C 15? 种可能，若 2 个球的编号之和为偶数，则取出2 个球的编号都是奇数或都是偶数，共有 2233C C 6?种可能，故 2 个球编号之和为偶数的概率是 6215 5P? - 6 - 13随机变量 X 的分布列如下表，则此随机变量 X 的数学期望是 _ X 1 2 3 5 P 16 13 13 16 【答案】 83【解析】 1 1 1 1 8( ) 1 2 3 56 3 3 6 3EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9 ，服用这种新药的 3 个人中恰有 1 人被治愈的概率为 _（用数字作答） 【答案】 0.027 【解析
10、】恰有 1人被治愈的概率 123C 0.9 (0.1) 0.027P ? ? ? ? 15直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的体积为 V ， P ， Q 分别是侧棱 1AA ， 1CC 的点，且 1AP CQ? ，则四棱锥 B APQC? 的体积为 _ 【答案】 13v【解析】 PQA 1B 1C 1CBA 1AP CQ? ， 1112APQC ACC ASS? ， 1112B APQC B ACC AVV? ， 又 1 1 1 1 1 1 1 11233B A C C A A B C A B C B A B CV V V V V V? ? ? ? ? ? ?， 故 13B APQCVV?
11、 ? - 7 - 16将 1个半径 1的球切割打磨成四个同样大小的小球，则小球半径的最大值为 _ 【答案】 62? 【解析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大， 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为 2r ，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为 22 2 3 2 6433rrr?， 设正四面体的外接球半径为 x ，则 222 2 6 2 333x r x r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得： 62xr?， 612 rr?， 6 6236r ? ? ? 故本题答案为： 62? 三、解答题（共 80 分
12、） 17袋中装有大小相同的 3 个红球和 3 和个白球 （ ）从中任意取出 2 个球，求这 2 个球都是红球的概率 （ ）从中任意取出 3 个球，求恰有 1个是红球的概率 【答案】见解析 【解析】（ ）任取 2 个球总的基本事件个数： 26C 15? ， 2 个球都是红球包含的基本事件个数为： 23C3? ， 故从中任 取 2 个球，这 2 个球都是红球的概率 2326C 31C 15 5P ? ? ? （ ）任取 3 个球，总的基本事件个数是： 36C 20? ， 恰有 1个红球包含的基本事件个数是： 1233CC 9? ， 故从中任取 3 个球，恰好有 1个红球的概率 123336CC 9
13、C 20P? 18如图，四棱锥 S ABCD? 满足 SA? 面 ABCD ， 90DAB ABC? ? ? ? ? SA AB BC a? ? ?，2AD a? （ ）求证 ：面 SAB? 面 SAD （ ）求证： CD? 面 SAC - 8 - SCBA D【答案】见解析 【解析】 DAB CSE（ 1）证明： SA 平面 ABCD ， AB? 平面 ABCD ， AB SA ， 又 90BAD? ? ? ， AB AD ， SA AD A? ， AB 平面 SAD ， 又 AB? 平面 SAB ， 平面 SAB 平面 SAD （ ）证明：取 AD 中点为 E ， 90DAB ABC? ?
14、 ? ? ?， 2AD a? ， BC a? ， E 是 AD 中 点， ABCE? 是矩形， CE AB a?， DE a? ， 2CD a? ， 在 ACD 中， 2AC a? ， 2CD a? ， 2AD a? ， 2 2 2AC CD AD?， 即 CD AC ， 又 SA 平面 ABCD ， CD? 平面 ABCD ， CD SA ， CD 平面 PAC - 9 - 19某商场经销某商品，顾客可以采用一次性付款或分 期付款购买，根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6 ，经销 1件该产品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 25
15、0 元 （ ）求 3 位购买商品的顾客中至少有 1位采用一次性付款的概 率 （ ）若 3 位顾客每人购买 1件该商品，求商场获得利润不超过 650 元的概率 （ ）若 3 位顾客每人购买 1件该商品，设商场获得的利润为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期 望 【答案】见解析 【解析】解：（ ）记 A 表示事件： “ 3 位顾客中至少有 1 位采用一次性付款 ” 则事件 A 的对立事件是 “ 3 位顾客中没有人采用一次性付款 ” ，则： 3( ) 1 (1 0 .6 ) 1 0 .0 6 4 0 .9 3 6PA ? ? ? ? ? ? （ ）记商场获得利润不超过 650 元为事件 B ，事
16、件 B 包含 3 位顾客中 3 人均一次性付款和 3 位顾客中只有 2 人一次性付款 3 2 23( ) 0 .6 C 0 .6 (1 0 .6 ) 0 .2 1 6 3 0 .3 6 0 .4 0 .6 4 8PB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） X 可取 600 ， 650 ， 700 ， 750 ， 3( 600) 0.6 0.216PX ? ? ?， 223( 6 5 0 ) C 0 .6 (1 0 .6 ) 0 .4 3 2PX ? ? ? ? ? ?， 123( 7 0 0 ) C 0 .6 (1 0 .6 ) 0 .2 8 8PX ? ? ? ? ? ?， 3(
17、7 5 0 ) (1 0 .6 ) 0 .0 6 4PX ? ? ? ? 所以 X 的分布列为 X 600 650 700 750 P 0.216 0.432 0.288 0.064 数学期望 ( ) 6 0 0 0 .2 1 6 6 5 0 0 .4 3 2 7 0 0 0 .2 8 8 7 5 0 0 .0 6 4 6 6 0EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20四棱锥 P ABCD? 中，侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面 ABCD 是面积为 23的菱形， ADC? 为锐角， M 为 PB 的中点 （ ）求证： PD 面 ACM （ ）求证： PA? CD （ ）求三棱锥 P ABCD? 的体积 - 10 - MC BAPD【答
