1、 - 1 - 河南省南阳市八校 2017-2018 学年高二数学上学期期中联考试题 文（含解析） 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 得 ， ， 所以由正弦定理可知， ， 故选 D。 2. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，其中 ，则角 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由余弦定理可知， ， 得 ， 所以角 最大值为 ，
2、 故选 B。 3. 设 ， ，若 ，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】令 ， 则 B、 D错，排除； 令 ， 则 C错，排除； 故选 A。 4. 如图，要测出山上信号发射塔 的高，从山脚 测得 ，塔顶 的仰角为 ，塔底 的仰角为 ，则信号发射塔 的高为（ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意可知， ， 的、得， 由正弦定理可知， ， 解得 ， 故选 B。 5. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ， 得 ， ， 又 时，得 ， ， 所以 ， 故选 D。 6. 若数列
3、 满足 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意 ， ， 故选 C。 7. 已知等比数列 的前 项和为 满足 ， ， 称等差数列，且 ，则（ ） - 3 - A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意可得 ，得 ，又 ，设等比数列 的着项为 ，公比为 ，得 ，选 B. 8. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， 的面积为 ，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】 A 【解析】由 得 ， ， ， 所以 ， 故选 A。 9. 2017年国庆节期间，某数学教师进行了一次 “ 说走就走 ” 的登山活动，从山脚 处出
4、发，沿一个坡角为 的斜坡直行，走了 后，到达山顶 处， 是与 在同一铅垂线 上的山底，从 处测得另一山顶 点的仰角为 ，与山顶 在同一铅垂线上的山底 点的俯角为，两山 ， 的底部与 在同一水平面，则山高 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】如图 ， 由题可知， ， 所以 ， ， ， 故选 D。 - 4 - 点睛：解三角形的实际应用题型，首先是模型的建立，本题要根据题目条件，画出正确的几何图形模型，再根据题目的条件，利用解三角形的知识，进行目标的求解 。 在本题中，可以根据条件的特殊性，直接利用三角形的几何特征求解。 10. 某船开始看见灯塔时在 南偏东 方向，后来船沿南偏东
5、的方向航行 后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 设船开始位置为 ， 最后位置为 ， 灯塔位置为 ， 则 ， ， 由正弦定理得： ， 即 ， 解得 ， 则这时船与灯塔的距离是 ，故选 D. 11. 已知数列 为等差数列， ， ，则数列 的前 项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ， 得 ， ， 所以 时 ， ； 时 ， 所以， 故选 C。 12. 已知过点 的直线 的倾斜角为 ，设点 是直线 在第一象限内的部分上的一点，则 的最小值是（ ） - 5 - A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意得
6、直线 ， 所以点 满足 ，且 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立，故选 C。 点睛：本题求 最小值，考察的是基本不等式的 “1” 的妙用，根据条件得到 ，则 ， 再利用基本不等式解题即可，最后注意等号成立的条件即可。 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 不等式 的解集为 _ 【答案】 【解析】 ， ， 得 或 ， 所以解集为 。 14. 若数列 的通项公式为 ，则该数列中的最小项的值为 _ 【答案】 【解析】令 ， 则 ，对称轴 ， 由复合函数的单调性性质可知， 在 单调递减 ， 单调递增 ， 又 为整数，则 当 时 ， ；当 时 ，
7、 ， 因为 ， 所以最小项为 。 点睛：数列是特殊的函数，本题将数列通项式看做函数，观察函数的性质，得到数列的相关性质。本题中利用复合函数的单调性性质，得到数列 在 单调递减 ， 单调递增 ， 再根据 为整数 ， 计算 ， 比较大小即可。 15. 已知实数 ， 满足条件 则 的最小值是 _ 【答案】 - 6 - 【解析】 由图可知，过点 时 ， 。 16. 在 中， ， ，在边 上存在一点 ，满足 ，作 ， 为垂足，若角 ，则 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】由题意可得 ，由正弦定理 ， ， 所以 ，填 。 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步
8、骤 .） 17. 已知数列 满足 ， （ 1）写出该数列的前 4项，并归纳出数列 的通项公式； （ 2）证 明： 【答案】（ 1） ;（ 2）证明见解析 【解析】试题分析：（ 1）由迭代依次写出列前 4项， ， ，- 7 - ， ,由数列的项数 n与以 4为底的指数 n相等，所以猜测通项公式 。（ 2）由 ，代入 = =4。 试题解析：（ 1） ， ， ， 因为 ， ， ， ， ? ，归纳得 （ 2）因为 ，所以 【 点睛 】 由数列的递推公式归纳出数列的通项公式时，需要找到数列项 与项数 n的关系，再用数学归纳法证明所归纳通项正确。第（ 2）问的本质是把一个线性递堆关系转为一个等比数列，进一
9、步求等比数列求出通项公式。 18. 已知 ，且 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围 【答案】 【解析】试题分析：含参不等式问题，采取分离参数法，得到 ， 则只要即可 ， ， 所以 ， 。 试题解析：由题意，得 ， 则 ， 令 ， 当且仅当 ， 即 时，等号成立 ， ， 。 19. 已知实数 ， 满足 （ 1）设 ，求 的最小值； （ 2）设 ，求 的取值范围 【答案】（ 1） ;（ 2） 【解析】试题分析：先画出本题的可行域区域，（ 1） 表示点 与 的斜率；（ 2） 表示点 与点 的距离的平方，再减- 8 - 1. 试题解析： 如图 ， （ 1） 表 示点 与 的斜率 ， 所以过点 时，
10、斜率最小， 即 ； （ 2） ， 表示点 与点的距离的平方，由图可知 ， 过点 时 ， 距离最小， ； 过点 时，距离最大， ， 的取值范围是 。 20. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 （ 1）证明： ； （ 2）若 ，求 的面积 【答案】（ 1）证明见解析 ;（ 2） 【解析】试题分析：（ 1） 先对条件进行切化弦，得到 ， 再进行通分化简得到 ， 最后正余弦定理进行角化边，得到答案证明；（ 2） 利用第（ 1） 题结论求出 ， 进一步通过余弦定理求出 ， 得到 ， 通过面积公式 解 出答案。 试题解析： （ 1） ， ， ， ， - 9 - ， ， 证毕。 （ 2） ，
11、又由 ， 可知， ， ， ， 21. 已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， 内部的一点 满足， 若 ，且 （ 1）求 ； （ 2）求 的面积 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析： （ 1） 边化角得到 ， 解得， 又由 ， 得到 ， 解得答案；（ 2） 由可知， 是 的重心，所以得到 ， 两边平方可得 ，又由正弦定理可知 ， 可求出 ， 进一步求出面积。 试题解析 ： （ 1） ， ， ， ， ，又 ， ， 。 （ 2） 由 可知， 是 的重心， ，两边平方得 ， 又 ， 得 ， 。 点睛 ：（ 1）解三角形中边角转化的技巧要熟悉应用，本题中利用正弦定理进行边化角，再通过和差公式及三角形内角和为 108 ， 解得答案；（ 2） 对三角形的性质要熟悉，本题中- 10 - 可知， 是 的重心，再得到 ， 向量关系到长度关系的转化一般应用平方去处理，随后解得答案。 22. 已知数列 满足 ， （ 1）证明数列 是等比数列，并求 的通项公式； （ 2）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证： 【答案】（ 1） ;（ 2）证明见解析 . 试题解析 ： （ 1）有题可知 ， ， 则 ， 首项 ， 是以 2为首项， 2为公比的等比数列。 ， 得 。 （ 2） ，
