1、 1 福建师大二附中 2016 2017 学年第 一 学期高 二 年 期中考 数 学 试 卷 （满分： 150 分，完卷时间： 120 分 钟 ） 一 .选择题 (每题 5 分 ,共 60 分 ) 1. 若 ab? ， 则下列正确的是 ( ) A 22ab? B ac bc? C 22ac bc? D a c b c? ? ? 2. 等差数列 ?na 中 ， 1 5 410, 7a a a? ? ?，则数列 ?na 的公差为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3. 一船自西向东匀速航行上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方
2、向的 N 处，则这只船航行的速度为 （ ） A 2617 海里 /小时 B 634 海里 /小时 C 2217 海里 /小时 D 234 海里 /小时 4.若集合 2 4M x x?， 3 01xNxx? ， 则 MN ( ) A 2xx? B 2 3xx? C 2 3x x x? ? ?或 D 3xx? 5. 已知 ,ab是两个不相等的正数， A 是 ,ab的等差中项， B 是 ,ab的等比中项，则 A 与 B 的大小关系是 ( ) A. AB? B. AB? C. AB? D. 11AB? 6.在 ABC? 中， 内 角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c ， 若 2
3、2 2( ) tana b c C ab? ? ?，则角 C 等于 ( ) A 30 B 60 C 30 或 150 D.60 或 120 7. 在等差数列 ?na 中，若 14,aa是方程 2 60xx? ? ? 的两根，则 23aa? 的值为 ( ) A.6 B.-6 C.-1 D.1 8. 已知数列n满足1 0,?*1 3 ()31nnnaa n Na? ? ，则 前 200 项的和为 ( ) A 0 B3?C D 2 9. 若 baabba ? 则）（ ,lo g43lo g 24 的最小值是（ ） A. 326? B. 327? C. 346? D. 347? 10. 设 1m? ，
4、在 约束条件1yxy mxxy?下，目标函数 z x my? 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为（ ） A (1,1 2)? B (1 2, )? ? C (1,3) D (3, )? 11.在 ABC? 中，角 ,ABC 所对应的边分别为 ,abc， s in s in ( ) 3 s in 2C A B B? ? ?.若 3C ? ,则ab? ( ) A.3 或 12 B. 3 或 14 C. 3D. 12 12.设 是定义在 上的恒不为零 的函数，对任意实数 ，都有 ，若 ，则数列 ?na 的前 n 项和 nS 的取值范围是（ ） A. 1,22?B. C. D. 二 .填空 题 (
5、每题 5 分 ,共 20 分 ) 13. 不等式 012 ?mxmx 的解集是全体实数，则 m 的取值范围是 14. 已知正数,ab的 等比中项是 2，且11,+m b n aab? ? ?，则mn?的最小值是 15. 2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式如图所示 ， 在坡度为 15? 的观礼台上 ， 某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直 线 MN 共面 ，在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为60? 和 30? ， 且座位 A 、 B 的距离为 106 米 ， 则旗杆的高度为 _米 16. 把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号
6、内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数， 循环分为 (1)， (3,5)， (7,9,11)， (13)， (15,17)， (19,21,23)， (25)， ，则第 100 个括号内的数为 _. 三 .解答题 (共 70 分 ) 工序所需时间 (分钟 ) ?fx R ,xy R? ? ? ? ? ? ?f x f y f x y? ? ? ? ?1 1 ,2 na a f n n N ? ? ?1,22? 1,12? 1,12?3 17.(10分 )一个小型家具厂计划生产 A 型和 B 型两种型号的 桌子 .每种都要经过打磨和上漆两道工序 .下表给出了两种型号打磨和上漆所需的时间
7、及一个工人每天分别完成打磨和上漆工序的最长工作时间 . 如果 A 型桌子每张获利 400 元 ,B 型桌子每张获利 300元 , 问： A 型和 B 型桌子每天各生产 多少张，才能使工厂获利 最大？最大值为多少元？ 18. (12 分 )在锐角三角形 ABC? 中 , ,abc分别是角 ,ABC 所对的边，且 3 2 sina c A? （ 1）确定角 C 的大小； （ 2）若 7c? ，且 ABC? 的面积为 332 ，求 ab? 的值 19. (12 分 ) 等差数列 na 中，已知 0?na ， 15321 ? aaa ，且 13,5,2 321 ? aaa 构成等比数列 nb 的前三项
8、 . （ 1）求数列 na ， nb 的通项公式； （ 2）求数列 nnba 的前 n 项和 nT . 20. (12 分 )小王在年初用 50 万元购买一辆大货车 ， 第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元 ， 从第二年起 ， 每年都比上一年增加支出 2 万元 ， 假定该车每年的运输收入均为 25 万元小王在该车运输累计收入超过总支出后 ， 考虑将大货车作为二手车出售 ， 若该车在第 x 年年底出售 ， 其销售价格为25x? 万元 (国 家规定大货车的报废年限为 10 年 ) (1)大货车运输到第几年年底 ， 该车运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利
9、润最大 (利润累计收入销售收入 -总支打磨 上漆 A 型桌子 10 6 B 型桌子 5 9 工作最长时间 450 450 4 出 )? 21. (12 分 )已知 (), , 3 ( 0 )2fxxx?成等差数列又数列 ( 0)nnaa? 中 ， 1 3a? ， 此数列的前n 项的和 *()nS n N? 对所有大于 1的正整数 n 都有 1()nnS f S ? (1)求数列 na 的第 1n? 项； (2)若 nb 是11na?， 1na的等比中项 ， 且 nT 为 nb 的 前 n 项 ， 求 nT . 5 22. (12 分 ) 已知二次函数 2)( 2 ? bxaxxf ( 0?a
10、). （ 1）若不等式 0)( ?xf 的解集为 2| ?xx 或 1?x ，求 a 和 b 的值； （ 2）若 12 ? ab . 解关于 x 的不等式 0)( ?xf ； 若对任意 2,1?a ， 0)( ?xf 恒成立，求 x 的取值范围 .6 2 3 150xy? 4 3 0xy? y 福建师大二附中 2016 2017 学年第一学期 高二 年期中考数 学 答 案 一 .选择题 D B A B B C D B D A A C 二 .填空 题 13. ? ?-4,0 14. 5 15.30 16.397 三 .解答题 17. 解 :设每天生产 A 型和 B 型桌子分别为 yx, 张，总利
11、润为 z （元）则由题意，得 1 0 5 4 5 0 2 9 06 9 4 5 0 2 3 1 5 00 , 0 0 , 0x y x yx y x yx y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 目标函数是 400 300z x y?， 画图，得2 902 3 150xyxy? ?的交点是 (30,30)P m a x 3 0 4 0 0 3 0 3 0 0 2 1 0 0 0z ? ? ? ? ?（元） 答： A 型和 B 型桌子每天各生产 30、 30 张，才能使工厂获利最大，最大值 为 21000 元 . 18. （ 1） 3 2 sina c A? ，由正弦定理 3 si
12、n 2 sin sinA C A? ? 3sin 2C? 由 ABC? 是锐角三角形， ? 060C? （ 2） 1 3 3s in22ABCS ab C? ? 6ab?， 2 2 2 1c o s 22a b cC ab?，将 7? 代入得到 2213ab?， 2 90xy? 75 45 50 90 0 x P 7 ? 2 2 2( ) 2 1 3 1 2 2 5a b a b a b? ? ? ? ? ? ?， ? 5ab? 19. 解：（ 1）设等差数列 na 的公差为 d ，则由已知得： 153 2321 ? aaaa ，即 52?a . 又 100)135)(25( ? dd ，解得
13、 2?d 或 13?d （舍）， 321 ? daa ， 12)1(1 ? ndnaa n . 又 5211 ?ab ， 10522 ?ab ， 2?q ， 125 ? nnb . （ 2） 2)12(272535 12 ? nn nT ?， 2)12(27252352 32 nn nT ? ?， 两式相减得 12)21(52)12(2227252235 132 ? ? nnnn nnT ?， 12)12(5 ? nn nT . 20. (1)设大货车到第 x年年底的运 输累计收入与总支出的差为 y 万元 ， 则 y 25x ? ?6x x（ x 1）2 2 50， (0 x10 ， x N)
14、， 即 y x2 20x 50， (0 x10 ， xN)， 由 x2 20x 50 0， 解得 10 5 2 x 10 5 2， 而 2 10 5 2 3， 故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出 (2)因为利润累计收入销售收入总支 出 所以销售二手货车后 ， 小王的年平均利润为 y 1xy (25 x) 1x( x2 19x 25) 19 ? ?x 25x ， 而 19 ? ?x 25x 19 2 x 25x 9， 当且仅当 x 5 时取得等号 即小王应当在第 5 年年底将大货车出售 ， 才能使年平均利润最大 21. 因为 x， f（ x）2 ， 3(x0) 成等差数列 ， 所以 f（
15、x）2 2 x 3. 所以 f(x) ( x 3)2. 因为 Sn f(Sn 1)(n2) ， 8 所以 Sn f(Sn 1) ( Sn 1 3)2. 所以 Sn Sn 1 3， Sn Sn 1 3. 所以 Sn是以 3为公差的等差数列 因为 a1 3， 所以 S1 a1 3. 所以 Sn S1 (n 1) 3 3 3n 3 3n. 所以 Sn 3n2(nN *)所以 an 1 Sn 1 Sn 3(n 1)2 3n2 6n 3. (2)因为数列 bn是 1an 1， 1an的等比中项 ， 所以 ( bn)2 1an 1 1an， 所以 bn 1an 1an 13（ 2n 1） 3 （ 2n 1
16、） 118? ?12n 1 12n 1 . 所以 Tn b1 b2 bn 118?1 13 ?1315 ? ?12n 112n 1 118?1 12n 1 n9（ 2n 1） . 22. 解： (1) 不等式 0)( ?xf 的解集为 2| ?xx 或 1?x ， 与之对应的二次方程 022 ?bxax 的两根为 1， 2， ?aab22121，解得?31ba. (2) 将 12 ? ab 代入 2)( 2 ? bxaxxf ，得)1)(2(2)12()( 2 axxaxaaxxf ? ( 0?a ) 0)1)(2( ? axx ， 若 ( 21?a )，不等式 0)( ?xf 解集为 21| ?xax ； 若 210 ?a ，不等式 0)( ?xf 解集为 12| axx ? ； 若 21?a ，不等式 0)( ?xf 解集为 2| ?xx . 令 2)2()( 2 ? xxxaag ，则? ?0)2( 0)1(gg或 0?x ，解得 2?x 或 21?x 或 0?x . 故 x 的取值范围是 2| ?xx 或 21?x 或 0?x .
