1、 - 1 - 2017-2018 学年高二上期中考试数学试卷（理） 考试内容：必修五、常用逻辑用语、椭圆、双曲线 考试时间： 120分钟 第卷（选择题共 60 分） 一 .选择题（共 12小题，每小题 5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）： 1. 等 差 数 列 ?na 的前 项和为 nS ， 若 ? 1074 ,8,5 Saa 则 （ ） A 65 B 66 C 67 D 68 2. 若集合 ? ? ? ?| 2 1 | 3 , ( 2 1 ) ( 3 ) 0 ,A x x B x x x? ? ? ? ? ? ?则 A B 是 （ ） A 11 2 32x x x? ? ? ?
2、? ?或B ? ?23xx? C 112xx? ? ?D 1 22xx? ? ?3. 已知 01ab? ?， ， 则 下 列 不 等 式 成 立 的 是 （ ） A2aaa bb?B2aaabb?C2aaabb?D2aaabb?4. “ ba? ”是“ 22ab ab?”成立的（ ） A充要条件 B既不充 分也不必要条件 C必要不充分条件 D充分不必要条件 5. 已知双曲线 22: 1( 0 , 0 )yxC a bab? ? ? ?的离心率为 52 ,则 C 的渐近线方程为 （ ） A 14yx? B 12yx? C 4yx? D 2yx? 6. 在 ABC 中 , 1 cos2 A? =
3、( , ,2cbabcc? 分别为角 ,ABC 的对应边 ),则 ABC 的形状为 （ ） A 正三角形 B 等腰直角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 7. 下 列 选 项 中 说 法 正 确 的 是 - 2 - （ ） A若 22 bmam ? ，则 ba? B命题 “ qp? 为真 ” 是命题 “ qp? 为真 ” 的必要条件 C若向量 ,ab满足 0ab? ， 则 a 与 b 的夹角为 钝 角 D “ 0, 2 ? xxRx ” 的否定是 “ 0, 0200 ? xxRx ” 8. 已知变量 ,xy满足约束条件 1 0,2 3 0,xyxy? ? ? ? ? ?若目标函数 4 (
4、0, 0 )z ax by a b? ? ? ?在该约束 条 件 下 的 最 小 值 为 2 ，则 18ab? 的 最 小 值 为 （ ） A 25 B 26 C 27 D不存在 9.已知点 F 是双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 ,AB两点，若 ABE? 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 （ ） A ? ?1,2 B ? ?1,? C ? ?1,1 2? D ? ?2,? 10. 数列 na 满足 1 1 2 0 1 712 , 032 ,1 52 1 , 12nnn
5、nnaaa a aaa? ? ? ? ? ? ?若 则 （ ） A 54 B 53 C 52 D 51 11. 已知 222 2 4 1aax x x? ?对 于 任 意 的 ? ?1,x? ? 恒 成 立 ， 则 （ ） A a 的最大值为 2 B a 的最大值为 4 C a 的最小值为 3? D a 的最小值为 4? 12.已知数列 ? ? ?,nnab满足 1 1 1 11 , 2 ,n n n n n na b a a b b a b? ? ? ? ? ?，则下列结论正确的是（ ） - 3 - A.只有 有限个正整数 n 使得 2nnab? B.只有有限个正整数 n 使得 2nnab?
6、 C.数列 ? ?2nnab?是递增数列 D.数列 2nnab?是递减数列 第卷（非选择题共 90分） 二 .填空题（共 4小题，每小题 5分， 请把答案写在答题卡上 ）： 13.“若 a M P? ，则 aM? 或 aP? ”的逆否命题是 . 14.已知 数列 na 的前 n 项和 132 2 ? nnSn ，则通项 ?na _. 15.已知 1F、 2是椭圆 1: 2222 ? byaxC（ 0）的两个焦点， P为椭圆 C上一点，且21 PFPF ?.若 21F?的面积为 8，则 b=_. 16. 已知动点 ? ?,Pxy 满足? ? ?222401 1 1xyxx x y y? ? ?
7、? ? ? ?，则 228x y x?的最小值为_ 三 .解答题 （共 6题，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17.(本题满分 10 分 )已知命题 p ：函数 ? ?f x x a x? ? ?在 ?2 2,a? ? ? 上单调递增；命题 q ：关于 x 的方程 2 4xx?80a? 有解 .若 pq? 为真命题 ， pq? 为假命题，求实数 a 的取值范围 . 18.( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ABC? 中 ,abc ，分别是角 ,ABC 的 对 边 ， 且? ?2 c o s c o s C ta n ta n 1 1A A C ?. （ I）求 B 的大小； （ II）若
8、D 为 AC 的中点，且 1BD? ，求 ABC? 面积最大值 . 19.(本题满分 12 分 )已知数列 ?na 中， ? ?*11 211, .21nnna a a n Nn? ? ? ?（ I）证明数列21nan?是等比数列，并求数列 ?na 的通 项公式； （ II）求证：1 2 2 3 11 1 1 1+ 2nna a a a a a ? ? ? ?. - 4 - 20.(本题满分 12 分 )如图，椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 l的方程为 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2） 是经过右焦点 的任一弦（不经过点 ），设直线 与直线 相交于点 ，记 、 的斜率分别为 、 、 问：是否
9、存在常数 ，使得 ? 若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由 21.(本题满分 12 分 )设各项均为正数的数列 ?na 的前 n项和为 nS ， 满足124 4 1nnS a n? ? ?，且 1 1a? ，公比大于 1的等比数列 ?nb 满足 2 3b? ， 1310bb? . （ 1） 求证数列 ?na 是等差数列，并求其通项公式 ； （ 2） 若3nn nac b?， 求数列 ?nc 的前 n项和 nT ； （ 3）在（ 2）的条件下，若 2 4 23nc t t? ? ?对一切正整数 n恒成立 ， 求实数 t的取值范围 22.(本题满分 12 分 )设椭圆 22:143xyC ?的
10、左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过右焦点 2F 的直线1l 与椭圆相交于 ,AB两点 . （ ）设直线 1AF , 1BF 的斜率分别是 1k ， 2k ，当12 920kk?时，求直线 1l 的方程； （ ）过右焦点 2F 作与直线 1l 垂直的直线 2l ，直线 2l 与椭圆相交于 ,DE两点 ,求四边形- 5 - ADBE 的面积 S 的取值范围 . 2017-2018学年高二上期中考试数学试卷（理）参考答案 一 .选择题：（每小题 5 分，计 60 分） 1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二 .填空题： (每小题
11、5 分 ,计 20分 ) 13. 若 aM? 且 aP? ，则 a M P? 14. 214 5 2n na nn? ? ? ?15.22 16. 649? 三 .解答题： 17.解：由已知得 ? ? 2,x a x afx a x a? ? ?， ? ?fx? 在 ? ?,a? 上单调递增 . ? 2分 若 p 为真命题，则 ?2 2,a? ? ? ? ?,a? ? ， 2 2aa? ， 1a? 或 2a? ； ? 4分 若 q 为真命题， 24 4 8 0a? ? ? ? ?， 84a? ， 23a? . ? 6分 pq? 为真命题， pq? 为假命题， p? 、 q 一真一假， ? 7分
12、 当 p 真 q 假时， 1223aaa? ? ?或 ，即 2a? ； ? 8分 当 p 假 q 真时， 1223aa? ? ?，即 21 3a? ? ? . ? 9分 故 21,3a ? ? ?2,?. ? 10分 18.解：（ I）由 ? ?2 c o s c o s C ta n ta n 1 1A A C ?，得 s in s in2 c o s c o s 1 1c o s c o sACAC AC?， - 6 - ? ?2 s in s in c o s c o s 1A C A C? ? ?， ? ? 1cos 2AC? ? ? ?， ? 2分 1cos 2B?， 又 0, 3B
13、B? ? ? ?. ? 4分 （ II）在 ABD? 中，由余弦定理得 22 1 2 1 c o s22bbc A D B? ? ? ? ? ?. ? 6分 在 CBD? 中，由余弦定理得 22 1 2 1 c o s22bba C D B? ? ? ? ? ?， ? 8分 二式相加得 2 2 222 2 c o s2222b a c a c Bac ? ? ? ? ?， ? 9分 整理得 224a c ac? ? ? ， ? 10分 222,a c ac? 43ac?， 所以 ABC? 的面积 1 1 4 3 3s in2 2 3 2 3S a c B? ? ? ? ?， ? 11 分 当且
14、仅当 233ac? 时“ ? ”成立 . ABC? 的面积的最大值为 33 . ? 12 分 19.解： （ I）由题设知 n 1 n 1a a a, 1 02n 1 2n 1 1? ? ? ? 且 ? 2分 ?数列 na2n 1? 是首项为 1,公比为 1的等比数列 , ? 4分 11 1 1 2 121 nn na ann ? ? ? ? ? ? ? ； ? 6分 （ II） ? ? ? ?11 1 1 1 1= 2 1 2 1 2 2 1 2 1nna a n n n n? ? ? ? ? 8分 1 2 2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1+ = 12 3 3 5 2 1 2 1
15、1 1 1 1 11.2 2 1 2 4 2 2nna a a a a a n nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 20.解： （ 1）由 在椭圆上，得 ? 1分 又 得 - 7 - 由 ，得 ? 3分 故椭圆 C的方程为 ? 4分 （ 2）设直 线 的方程为 ， 由 ? 5分 ? 6分 ? ? 9分 又将 代入 得 ， ? 11分 故存在常数 符合题意 ? 12 分 21.解： (1)当 时， ， ， 即 ， ， .? 2分 当 时， 是公差 的等差数列， 又 ， ， ? 3分 则 是首项 ，公差 的等差数列， 所以数列 的通项公式为 . ? 4分 - 8 - (2)由题意得 13nnb ? ， 2133nn nna nc b ?； ? 5分 则前 n项和 ； ； 相减可得 ； 化简可得前 n项和 ； ? 8分 （ 3） 2 4 23nc t t? ? ?对一切正整数 n恒成立 ， 由1nncc? ?可得数列 ?nc 单调递减 ,即有最大值为1 13c?，
