1、 - 1 - 2017-2018 学年度上学期期中考试 高二数学（理科试题） 一选择题 :5*12=60 1 已知集合 ? ? ? ?| 1 2 4 , 1 , 2 , 3xP x Q? ? ? ?，则 PQ? （ ） A. ?1 B. ? ?1,2 C. ? ?2,3 D. ? ?1,2,3 2 将甲、乙、丙、丁四名学生分配 到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 3 某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为（ ） A. 83 B. 43 C. 4 8 2? D. 8 4 2? 4 执行如图所示的程序框图，当输入的 X 的
2、值为 4 时，输出的 Y 的值为 2， 则空白判断框中的条件可能为（ ） . - 2 - A. B. C. D. 5 已知样本 7 8 9 xy、 、 、 、 的平均数是 8 ，标准差是 2 ，则 xy 值为（ ） A. 8 B. 32 C. 60 D. 80 6 如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录 的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨）的几组对应数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 m 4.5 若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得 y 对 x 的回归直线方程是 0.7 0. 5? 3yx?，则表中 m 的值为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 3 D.
3、3.5 7 一班有学员 54人，二班有学员 42 人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加 44 方 队进 行 军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 ( ) A. 9人、 7人 B. 15人、 1人 C. 8人、 8人 D. 12人、 4人 8 已知圆 C： ? ? ? ?2224x a y? ? ? ?（ 0a? ）及直线 l ： 30xy? ? ? ，当直线 l 被 C 截得的弦长为 23时，则 a = （ ） A. 2 B. 22? C. 21? D. 21? - 3 - 9 如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时 ,圆心坐标为 ( ) A.
4、(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(0, -1) 10 已知 P是直线 3x 4y 8 0上的动点， PA， PB是圆 x2 y2 2x 2y 1 0的切线， A， B是切点， C是圆心，那么四边形 PABC面积的最小值是 （ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 32 11 在棱长为 6 的正方体 中， 是 中点，点 是面 所在的平面内的动点，且满足 ，则三棱锥 的体积最大值是（ ） A. 36 B. C. 24 D. 12 某校高一年级研究性学习小组，调查了学校超市甲、乙两种签字笔连续 5 天的日销售量（单位：件），得到如图所示的茎叶图，则甲、乙两种签字笔中日销售量较
5、为稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 一样稳定 D. 无法比较 二填空题： 5*4=20 13 设 (x1,y1)， (x2,y2)， ， (xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则变量 x 和 y 之间呈现 _关系 (填正相关或负相关） 14 点 ? ?1, 1P ? 到直线 10xy? ? ? 的距离是 _ 15 有 6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为 _ 16 在矩形 ABCD 中， AB = 4， BC = 3，沿对角线 AC 把矩形折成二面角 D-AC-B，并且 D 点
6、在平面 ABC 内的射影落在 AB 上若在四面体 D-ABC 内有一球，当球的体积最大时，球的半径是 . 三解答题 - 4 - 17 （ 10 分 ） 已知 A(3,5)， B( 1,3)， C( 3,1)为 ABC的三个顶点， P、 M、 N 分别为边 AB、BC、 CA 的中点，求 PMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径 18 （ 12 分 ） 某个容量为 100的样本，频率分布直方图如图所示： （ 1）求出 b 的值； （ 2）根据频率分布直方图分别估计样本的众数、中位数与平均数 .（精确到 0.1） 19 （ 12分 ） 求过两直线 2 3 0xy? ? ? 和 30xy? ?
7、? 的交点，且满足下列条件的直线 l 的方程 .（ ）和直线 3 1 0xy? ? ? 垂直；（ ）在 y 轴的截距是在 x 轴上的截距的 2倍 . 20 （ 12分 ） 如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，各棱长均为 6， ,PQ分别是侧棱 1BB 、 1CC上的点，且 1 2BP CQ?.求异面直线 11AC 与 AP 所成角的 余弦值 . - 5 - 21（ 12 分 ） 如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD， AB AD， AD BC， AP AB AD 1 求二面角 B PD A的余弦值 22 （ 12分 ） 已知圆 C 满足： 圆心在第一象限，截 y
8、轴所得弦长为 2； 被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:1； 圆心到直线 20xy?的距离为 55 . （ ）求圆 C 的方程； （ ）若点 M 是直线 3x? 上的动点，过点 M 分别做圆 C 的两条切线，切点分别为 P ， Q ，求证： 直线 PQ 过定点 . 参考答案 1 A2 C3 D4 B5 C6 A7 A8 C9 D10 A11 B12 B 13 负相关 14 322 15 14416 4 7 - 76 17 外接圆的方程为 x2 y2 7x 15y 36 0， 圆心为 7 15,22?，半径 r 1 1302 试题解析：解 点 O、 M、 N分别为 AB、 BC、 CA的中
9、点且 A(3,5)， B( 1,3)， C ( 3,1)， O(1,4)， M( 2,2)， N(0,3) 所求圆经过点 O、 M、 N， 设 OMN外接圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0， - 6 - 把点 O、 M、 N的坐标分别代入圆的方程得 ，解得 7 15 36DEF? OMN外接圆的方程为 x2 y2 7x 15y 36 0， 圆心为 ，半径 r 18 (1)0.15； (2)答案见解析 . 试题解析： (1)根据频率和为 1，得 1 0 . 0 5 0 . 1 0 . 3 0 . 4 0 . 1 5b ? ? ? ? ? ?； （ 2）根据频率分布直方图中小矩形图最高的是
10、 34，估计样本的众数是 343.52? ? ；平均数是 1 . 5 0 . 0 5 2 . 5 0 . 1 3 . 5 0 . 4 4 . 5 0 . 3 5 . 5 0 . 1 5 3 . 9? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由第一组和第二组的频率和是 0.05 0.1 0.15?所以 0.35 0.4x? ，则 0.875x? 所以中位数为 3 0 .8 7 5 3 .8 7 5 3 .9? ? ?. 19 () 3 1 0xy? ? ? ;() 为 2 4 0xy? ? ? 试题解析：（ ）解：由 2 3 0 30xyxy? ? ? ? ?可得两直线的交点为 ? ?1,2 直线
11、l 与直线 3 1 0xy? ? ? 垂直， 直线 l 的斜率为 3 则直线 l 的方程为 3 1 0xy? ? ? （ ）当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为 20xy? 当直线 l 不过原点时，令 l 的方程为 12xyaa? 直线 l 过 ? ?1,2 ， 2a? 则直线 l 的方程为 2 4 0xy? ? ? 20 31020 - 7 - 21 22 （ ） ? ? ? ?221 1 2xy? ? ? ?（ ）证明见解析 试题解析：（ ）设圆 C 的圆心为 ? ?,ab （ 0a? ， 0b? ），半径为 r ， 则点 C 到 x 轴， y 轴的距离分别为 b ， a . 由题设知
12、圆 C 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90? ，知圆 C 截 x 轴所得的弦长为 2r ， 故 222rb? ， 又圆 C 被 y 轴所截得的弦长为 2，所以 有 221ra?，从而得 2221ba?. 又因为 ? ?,Cab 到直线 20xy?的距离为 55 ，所以 2 555abd ?， 即有 21ab? ? ，由此有 2221 21baab?或 2221 21baab? ?. 解方程组得 1 1ab?或 1 1ab?（舍） 于是 2222rb?，所求圆的方程是 ? ? ? ?221 1 2xy? ? ? ? （ ）设点 M 的坐标为 ? ?3,t ， 2 2 2 2 23M P M C r t t? ? ? ? ? 以点 M 为圆心， 以 ? ?MPQ 为半径圆 M 的方程为 ? ? ? ?22 23 2 3x y t t t? ? ? ? ?， 联立圆 M 和圆 C 的方程： ? ? ? ? ? ? ?22 2223 2 3 1 1 2x y t t txy? ? ? ? ? ? ? ? ?得直线 PQ 的方程为： ? ?2 1 3 0x t y t? ? ? ? ? 即 ? ? ? ?2 3 1 0x y t y? ? ? ? ?，直线 PQ 过定点 ? ?2,1 .
