1、 1 安徽省 2017-2018 学年高二数学上学期期中试题 文 时间 120 分钟，满分 100 分。 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 ) 1 设 l， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题为真的是 ( ) A若 l m， m? ，则 l B 若 l ， l m，则 m C 若 l ， m? ，则 l m D 若 l ， m ，则 l m 2 设 P 是异面直线 a， b 外的一点，则过点 P 与 a， b 都平行的平面 ( ) A有且只有 一个 B恰有两个 C不存在或只有一个 D有无数个 3 两
2、个圆 C1： x2 y2 2x 2y 2 0与 C2： x2 y2 4x 2y 1 0的公切线有且仅有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 4圆 x2 y2 4x 6y 0和圆 x2 y2 6x 0交于 A、 B两点，则 AB的垂直平分线方程为 ( ) A x y 3 0 B 2x y 5 0 C 3x y 9 0 D 4x 3y 7 0 5 如图所示的是正四面体的平面展 开图， G， H， M， N 分别为 DE， BE， EF， EC 的中点，在原正四面体中，给出下列结论： GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 所成角为60； DE 与
3、MN 垂直其中正确的结论有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6一个四面体的所有棱长为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) A 3 B 4 C 3 3 D 6 7一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 ( ) A 45 B 35 C 55 D 255 8与直线 2x 3y 6 0 关于点 (1， 1)对称的直线方程是 ( ) A 3x 2y 2 0 B 2x 3y 7 0 C 3x 2y 12 0 D 2x 3y 8 0 9 在三棱锥 P ABC? 中，已知 PA 底面 ABC ， AB BC ，
4、 E ， F 分别是线段 PB ， PC 上的动点，则下列说法错误的是（ ） A 当 AE PB 时， AEF? 一定为直角三角形 B 当 AF PC 时， AEF? 一定为直角三角形 C 当 EF 平面 ABC 时， AEF? 一定为直角三角形 2 D 当 PC 平面 AEF 时 ， AEF? 一定为直角三角形 10如果直线 l 将圆 x2 y2 4x 2y 0 平分，且不通过第三象限，则 l 的斜率的取值范围是( ) A. 12-,?B. 1,2?C. 12,-? ?D. 12,+?11 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( ) A 16 B 13 C 12 D 1 12 已知
5、点 ? ?1,0A? ， ? ?1,0B ， ? ?0,1C ，直线 ? ?0y ax b a? ? ?将 ABC? 分割为面积相等 的两部分，则 b 的取值范围是 ( ) A ? ?0,1 B 211,22?C 211,23? ? ? ?D 11,32?二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分，把正确答案填在题中横线上 ) 13 已知平面区域?x 0，y 0，x 2y 4 0恰好被圆 C： (x a)2 (y b)2 r2及其内部所覆盖，若圆 C 的面积最小，则圆 C 的方程为 _ 14 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线 AB1与侧面
6、ACC1A1所成 角的正弦值为 _ 15 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 2yx? ? 与圆 2 2 2 ( 0)x y r r? ? ?交于 A ， B 两点，O 为坐标原点，若圆上有一个 C 满足 5344OC OA OB? ? ?，则 r? 16 在三棱锥 S ABC? 中， 090S A B S A C A C B? ? ? ? ? ?， 2AC? ， 13BC? ，29SB? ， 则直线 SC 与 AB 所成角的余弦值是 三、解答题 (本大题共 5 个大题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (本题满分 9 分 ) 已知三条直线 l1： 2x y a
7、0(a 0)， l2： 4x 2y 1 0， l3： x y 1 0，且 l1与 l2间的距离是 7510 . 3 (1)求 a 的值 (2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件？若能，求点 P 的坐标；若不能，说明理由 点 P 在第一象限； 点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的 12 ； 点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 2 5 18 (本题满分 9 分 )如图所示，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方 形， AA1 3，点 E 在棱 B1B 上运动 (1)证明： AC D1E； (2)当三棱 锥 B1A1D1E 的体积
8、为 23 时，求异面直线 AD， D1E 所成的角 19 (本小题满分 10 分 )已知方程 x2 y2 2(t 3)x 2(1 4t2)y 16t4 9 0(t R)的图形是圆 (1)求 t 的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点 P(3,4t2)恒在所给圆内，求 t 的取值范围 20 (本小题满分 12 分 )如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， 090ABD?， EB 平面 ABCD ， EF AB ， 2AB? ， 3EB? ， 1EF? ， 13BC? ，且 M是 BD 的中点 4 （ 1）求证： EM 平面 ADF ； （ 2）求多面体 EFAB
9、CD 的体积 21 (本小题满分 12 分 )在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 1C ： ? ? ? ?224 5 4xy? ? ? ?和圆 2C ： ? ? ? ?223 1 4xy? ? ? ? （ 1）若直线 1l 过点 ? ?2,0A ，且与圆 1C 相切，求 直线 1l 的方程； （ 2）若直线 2l 过点 ? ?4,0B ，且被圆 2C 截得的弦长为 23，求 直线 2l 的方程； （ 3）直线 3l 的方程是 52x? ，证明：直线 3l 上存在点 P ，满足过 P 的无穷多对互相垂直的直线 4l 和 5l ，它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交，且直线 4l 被圆 1C 截
10、得的弦长与直线 5l 被圆 2C 截得的弦长相等 高二上学期期中考试数学文试卷答案 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B C C A C D 文 B理 B C A B 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分，把正确答案填在题中横线上 ) 13 答案 (x 2)2 (y 1)2 5 解析 由题易知，此平面区域表示的是以 O(0， 0)， P(4， 0)， Q(0， 2)所构成的三角形及其内部，能覆盖它且面积最小的圆是其外接
11、圆，又 OPQ 为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边 PQ 的中点 (2， 1)，半径为 |PQ|2 5，所以圆 C 的方程为 (x 2)2 (y 1)2 5. 5 14 答案 64 15 答案 10r? 16（文） 答案 1717 （理） 答案 7 6 三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17解： (1)将直线 l2的方程化为 2x y 12 0，所以两条平行线 l1与 l2间的距离 d ? ?a 1222（ 1） 27 510 ， 所以 ? ?a 125 7 510 ，即 ?a 12 72， 由 a 0，解得 a 3. (2)假设存在
12、点 P，设点 P(x0， y0)若 P 点满足条件，则 P 点在与 l1， l2平行的直线l ： 2x y c 0 上，且 |c 3|5 12? ?c 125 ，解得 c132 或116 ， 所以 2x0 y0 132 0 或 2x0 y0 116 0. 若 P 点满足条件，由点到直线的距离公式， 有 |2x0 y0 3|5 25|x0 y0 1|2 ， 即 |2x0 y0 3| |x0 y0 1|， 所以 x0 2y0 4 0 或 3x0 2 0. 由于点 P 在第一象限，所以排除 3x0 2 0. 联立方程 2x0 y0 132 0 和 x0 2y0 4 0， 解得?x0 3，y0 12
13、(舍去 )； 联立方程 2x0 y0 116 0 和 x0 2y0 4 0， 解得?x0 19，y0 3718.所以存在点 P（ 19， 3718）同时满足三个条件 18 解析 (1)证明：连接 BD， 7 因为 ABCD 为正方形，所以 AC BD， 因为 B1B平面 ABCD， AC? 平面 ABCD， 所以 B1B AC. 又因为 B1B BD B， 所以 AC平面 B1BDD1. 因为 D1E?平面 B1BDD1， 所以 AC D1E. (2)因为 V 三棱锥 B1A1D1E V 三棱锥 EA1B1D1， EB1平面 A1B1C1D1. 所以 V 三棱锥 EA1B1D1 13S A1B
14、1D1 EB1. 又因为 S A1B1D1 12A1B1 A1D1 1， 所以 V 三棱锥 EA1B1D1 13EB1 23， 所以 EB1 2. 因为 AD A1D1，所以 A1D1B1为异面直线 AD， D1E 所成的角 在 Rt EB1D1中，可求得 ED1 2 2. 因为 D1A1平面 A1ABB1，所以 D1A1 A1E. 在 Rt EA1D1中， cos A1D1E 22 2 12，所以 A1D1E 60，所以异面直线 AD， D1E 所成的角为 60 . 19 解析 (1)方程即 (x t 3)2 (y 1 4t2)2 7t2 6t 1， r2 7t2 6t 10. 17t1. (2) r 7t2 6t 1 7? ?t 37 2 167 ， t 37时， rmax 47 7， 此时圆面积最大，所对应的圆的方程得 ?x 2472?y 13492 167. (3)当且仅当 32 (4t2)2 2(t 3) 3 2(1 4t2)(4t2) 16t4 90 时，点 P 在圆内 8t2 6t0，即 0t34. 20解析： 8 （ 2） 532 21解析：
