1、 - 1 - 2017 2018 学年度高二第一学期期中考试 数学（ 文 科）试题 （试卷分值： 150 分 考试时间： 120 分钟 ） 注意事项： 第 卷 所有选择题的答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置， 第 卷的答案 必须用0.5 毫米黑色签字笔写 在答题 卡 的相应位置上，否则不予计分。 第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是 A. 一个圆柱 B. 一个圆锥 C. 两个圆锥 D. 一个圆台
2、 2. 下列命题正确的是 A. 棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等 D. 一个棱柱至少有五个面 3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中1OA OB?，则原平面图形的面积为 A. 1 B. 2 C. 32 D. 2 4. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A. 2? B. 3? C. 4? D. 5? - 2 - 5. 下列命题正确的是 A. 四边形确定一个平面 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 经过三点确定一个平面 D. 经过一条直线和一个点确定一个平面 6. 已知 m ， n 是两条不
3、同的直线， ? ， ? ， ? 是三个不同的平面，则下列正确的是 A. 若 /m? ， /n? ，则 /mn B. 若 ? ， ? ，则 /? C. 若 /m? ， /m? ，则 /? D. 若 m? ， n ? ，则 /mn 7. 已知圆锥的表面积为 6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 A. 2?B. 1?C. 2? D. ? 8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为 A. B. C. D. 9. 直线 20xy?的倾斜角为 A. 30? B. 45? C. 60? D. 135? 10. 已知圆 C 的圆心 (2
4、, 3)? ，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为 A. 22 4 6 0x y x y? ? ? ? B. 22 4 6 8 0x y x y? ? ? ? ? C. 22 4 6 0x y x y? ? ? ? D. 22 4 6 8 0x y x y? ? ? ? ? 11. 已知 点 (1,3)P 与直线 l ： 10xy? ? ? ，则点 P 关于直线 l 的对称点坐标为 A. ( 3, 1)? B. (2,4) C. ( 4, 2)? D. ( 5, 3)? 12. 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，有以下结论： /BD 平面 11CBD
5、； 1AC BD? ； 1AC? 平面 11CBD ； 直线 11BD 与 BC 所成的角为 45? - 3 - 其中正确的结论个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分， 共 20分 .) 13. 已知 圆 C ： 22 2 2 2 0x y x y? ? ? ? ?和直线 l ： 20xy?，则圆心 C 到直线 l 的距离为 . 14. 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的各条棱中，与直线 1AA 异面的棱有 条 . 15. 直线 2 1 0x ay? ? ? 与直线 ( 1) 1 0a
6、x ay? ? ? ?平行，则 a 的值是 . 16. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的一个面 1 1 1 1ABCD 在半径为 3 的半球底面上 ， 四个顶点A ， B ， C ， D 都在半球面上，则正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的体积 为 三、解答题（ 共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17 题 10 分，第 1822题 每题 12 分 ） 17. （本小题满分 10 分）已知菱形 ABCD 中， ( 4,7)A? ， (6, 5)C ? ， BC 边所在的直线经过点 (8, 1)P ? . （ 1）求 AD 边所
7、在的直线方程； （ 2）求对角线 BD 所在的直线方程 . 18. （本小题满分 12 分）已知动圆 C 经过点 (1, 2)A ? ， ( 1,4)B? . （ 1）求周长最小的圆的一般方程； （ 2）求圆心在直线 2 4 0xy? ? ? 上的圆的标准方程 . 19. （本小题满分 12 分） 四边形 ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO? 平面 ABCD ，E 是 PC 的中点 - 4 - （ 1）求证： PA 平面 BDE ； （ 2）求证： BD PC? 20. （本小题满分 12 分）如图，多面体 ABCDE 中， /BE CD ， BE BC? ， AB AC? ，平
8、面 BCDE? 平面 ABC ， M 为 BC 的中点 （ 1）若 N 是线段 AE 的中点， 求证： /MN 平面 ACD ； （ 2）若 1BE? ， 2BC? ， 3CD? ，求证： DE? 平面 AME - 5 - 21. （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧棱垂直于底面， AB BC? ，1 2AA AC?， 1BC? ， E ， F 分别为 11AC ， BC 的中点 . （ 1） 求证：平面 ABE? 平面 11BBCC ； （ 2） 求证： 在棱 AC 上存在一点 M ，使得平面 1 /CFM 平面 ABE ； （ 3） 求三棱锥 E A
9、BC? 的体积 22. （本小题满分 12 分）如图组合体中，三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的侧面 11ABBA 是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面）， C 是圆柱底面圆周上不与 A ， B 重合的一个点 . （ 1） 求证：无论点 C 如何运动，平面 1ABC ? 平面 1AAC ； （ 2） 当点 C 是弧 AB 的中点时，求四棱锥 1 1 1A BCCB? 与圆柱的体积比 - 6 - 数学（文科）参考答案 一、选择题（ 每小题 5 分， 共 60 分 ） 1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C 9. B 10. A 11.C 12.
10、D 二、填空题（ 每小题 5 分， 共 20 分 ） 13. 2 14. 4 15. 12 或 0 16. 22 三、解答题（第 17 题 10 分，第 1822 题 每题 12 分） 17. （ 1） 直线 AD 斜率为 5 ( 1 ) 268A D B C P Ck k k ? ? ? ? ? ?，由点斜式方程，得 7 2( 4)yx? ? ? ，即 2 15 0xy? ? ? ； （ 2） 对角线互相垂直， 1 1 57 ( 5 ) 646BD ACk k? ? ? ? ?，线段 AC 的中点为 (1,1) ， 由点斜式方程，得 51 ( 1)6yx? ? ? ，即 5 6 1 0xy?
11、 ? ? 18. （ 1）以线段 AB 为直径的圆的周长最小， AB 中点坐标 (0,1) ， 2 10AB? ， 圆的标准方程为 22( 1) 10xy? ? ? ，一般方程为 22 2 9 0x y y? ? ? ?； （ 2）线段 AB 中垂线的斜率为 1 1 124 31 ( 1 )ABk k? ? ? ? ?，中垂线方程为 1 13yx?， 联立方程 1 132 4 0yxxy? ? ? ? ?，得圆心坐标 (3,2) ，半径 22( 3 1 ) ( 2 2 ) 2 5r ? ? ? ? ?， 标准方程为 22( 3) ( 2 ) 2 0xy? ? ? ? 19. （ 1） 连接 A
12、C ， OE ，则 AC 经过正方形中心点 O ，由 O 是 AC 的中点， E 是 PC 的中点，得 /OE PA ，又 OE? 平面 BDE ， PA? 平面 BDE ，所以 /PA 平面 BDE ； （ 2） 由 PO? 平面 ABCD ，得 PO BD? ，又正方形对角线互 相垂直，即 BD AC? ，PO AC O? 点， PO? 平面 PAC ，所以 BD? 平面 PAC ， 得 BD PC? 20. （ 1） 取 AB 的中点 H ，连接 MH ， NH ，由 N 是 AE 的中点，得 /NH BE ， - 7 - 又 /BE CD ，得 /NH CD ， NH? 平面 ACD
13、，所以 /NH 平面 ACD ，同理可证， /MH 平面 ACD ，而 MH NH H? 点，所以平面 /MNH 平面 ACD ， 从而 /MN 平面 ACD ； （ 2） 连接 AM ， DM ， EM ，由 AB AC? ， M 为 BC 的中点，得 AM BC? ，又 平面 BCDE? 平面 ABC ，平面 BCDE 平面 ABC BC? ， AM? 平面 ABC ，所以 AM? 平面 BCDE ，则 AM DE? ， 由勾股定理，在 Rt EBM? 中， 1BE? ， 1 12BM BC?，得 2EM? ，在Rt DCM? 中， 3CD? ， 1 12CM BC?，得 10DM? ，在
14、直角梯形 BCDE 中，由平面几何知识计算得 22( ) 4 4 2 2D E C D B E B C? ? ? ? ? ?，所以2 2 2EM DE DM?，即 E DE? ，而 AM EM M? 点，所以 DE? 平面AME 21. （ 1） 由侧棱垂直于底面， 1BB? 平面 ABC ，得 1BB AB? ，又 AB BC? ， 1BC BB B? 点，所以 AB? 平面 11BBCC ，从而 平面 ABE? 平面 11BBCC ； （ 2） 取 AC 中点 M ，连接 1CM， FM ，由 F 为 BC 的中点 ，知 /FM AB ， FM? 平面 ABE ，得 /FM 平面 ABE
15、， 因为 1/AM CE ， 1AM CE? ，所以四边形 1AMCE 为平行四边形， 则 1 /CM AE ， 1CM? 平面 ABE ，得 1 /CM 平面 ABE ，而 1C M FM M? 点， 平面 1 /CFM 平面 ABE ，即存在 AC 中点 M ，使得平面 1 /CFM 平面 ABE ； （ 3）点 E 到底面的距离即为侧棱长 1 2AA? ，在 Rt ABC? 中， 2AC? ， 1BC? ，AB BC? ， 所以 3AB? ， 1 1 3312 2 2ABCS A B B C? ? ? ? ? ? ?， 所以 1 3 323 2 3E A B CV ? ? ? ? ?.
16、22. （ 1） 由条件， AB 为底面圆的直径， C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合的一个点，所以 AC BC? ，又圆 柱母线 1AA? 平面 ABC ，则 1AA BC? ， 1AA AC A? 点， 所以 BC? 平面 1AAC ，从而平面 1ABC ? 平面 1AAC ； （ 2） 设圆柱的母线长为 h ，底面半径为 r ，则圆柱 的体积为 2rh? ， - 8 - 当点 C 是弧 AB 的中点时， ABC? 为等腰直角三角形，面积为 2r ， 三棱锥 1A ABC? 的体积为 221133r h r h? ? ? ， 三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的体积为 2rh， 则四棱锥 1 1 1A BCCB? 的体积为 2 2 21233r h r h r h?， 四棱锥 1 1 1A BCCB? 与圆柱的体积比为 23?
