1、 - 1 - 2015 2016 学年第一学期期中考 高二数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1命题 “ 对任意的 1sin, ? xRx ” 的否定是（ ） A不存在 1sin, ? xRx B存在 1sin, ? xRx C存在 1sin, ? xRx D对任意的 1sin, ? xRx 2已知等差数列 na 的通项公式为 nan 23? ，则它的公差为（ ） A 2 B 3 C 2? D 3? 3已知 Rcba ?, ，则下列推证中正确的是（ ） A 22 bmamba ? B bacbca ?Cbaabba 110,33 ?Dbaabba 110
2、,22 ?4在 ABC 中， cba, 分别为 CBA ? , 的 对应边 ，且 acbca ? 222 ，则角 B 的大小为（ ） A ?30 B ?60 C ?90 D ?120 5设 Rx? ，则 “ 022 ?xx ” 是 “ 31 ?x ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6在 ABC 中，若abBA?coscos，则 ABC 是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D钝角三角形 7命题 0,: 22 ? aaxxRxp ；命题 2co ssin,: ? xxRxq ，则下列命题中为真命题的是（ ） A qp?
3、B qp? C qp?)( D )()( qp ? 8数列 na 的通项公式是 )()1( 1 ? Nnnnan，若前 n 项的和为1110，则项数 ?n （ ） A 12 B 11 C 10 D 9 9等差数列 na 的前 n 项和满足 4020 SS ? ，下列结论正确的是（ ） A 30S 是 nS 中的最大值 B 060?S C 030?S D 30S 是 nS 中的最小值 - 2 - 10若实数 yx, 满足不等式组 2 2 000? ? ? ? ?xyx y my，且 2z y x? 的最小值等于 2? ，则实数 m 的值等于（ ） A 1? B 1 C 2? D 2 11已知 n
4、S 为等差数列 na 的前 n 项和， 20151 ?a ， 220122014 20122014 ? SS，则 ?2015S （ ） A 2014? B 2014 C 2015? D 2015 12设 Rx? ，对于使 Mxx ? 22 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值 1 叫做 xx 22?的上确界若 ?Rba, ，且 1?ba ，则ba 221?的上确界为（ ） A 5? B 4? C29D29?二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13已知点 )1,3( 和 )6,4(? 在直线 023 ? ayx 的两侧，则 a 的取值范围是 14在 ABC 中
5、， ? 120,30,6 ? CBa ，则 ABC 的面积为 15古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或堆放小石子来表示数他们研究过如图所示的三角形数和正方形数： 将三角形数 1， 3， 6， 10， ? 记为数列 na ，将正方形数 1， 4， 9， ? 记为数列 nb ，将三角形数的 8 倍加 1 按从小到大的顺序组成一个新的数列 nc 可以推测： （ 1） 6c? ； （ 2） nc 是数列 nb 中的 第 项（用 n 表示） 16下列说法： 当 0?x 且 1?x 时，有 2ln1ln ? xx； ABC 中， BA? 是 BA sinsin ? 成立的充要条件； 已知 nS
6、是等差数列 na 的前 n 项和，若 57 SS? ，则 39 SS? ； 若函数)0()( 2 ? abxaxxf 满足 2)1(1 ?f ， 5)1(2 ?f ，则 30)3(9 ? f 其中，正确命题的序号为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分） 17（本小题满分 12 分）在 ABC 中，已知 ?60,3,2 ? AACAB （ 1） 求 BC 的长； - 3 - （ 2） 求 C2sin 的值 18（本小题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 naS nn 32 ? 对一切正整数 n 成立 （ 1） 证明：数列 3 ?na 是等比数列，并求出数列 n
7、a 的通项公式； （ 2） 设nn anb 3?，求数列 nb 的前 n 项和 nT 19（本小题满分 12 分）设 )0,0( ? bayabxz ，其中 yx, 满足约束条件?00048022yxyxyx （ 1） 若 1?ba ，求 z 的最大值和最小值； （ 2） 若 yabxz ? 最大值为 8，求baba 41?的最小值 20 （本小题满分 12 分）已知条 件 p ：函数 xxf a210log)( ?在 ),0( ? 上单调递增，条件 q ：对于任意实数 x ，不等式 022123 22 ? aaaxx恒成立，如果 “ p 且 q ” 为真命题，求实数 a 的取值范围 21（本
8、小题满分 13 分） 已知函数 mxxf ? 2)( ，其中 Rm? 定义数列 na 如下：)(,0 11 nn afaa ? ? ， ?Nn - 4 - （ 1）当 1?m 时，求 432 , aaa 的值； （ 2）是否存在实数 m ，使 432 , aaa 构成公差不为 0 的等差数列？若存在，请求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由； （ 3）求证：当 m 大于41时，总能找到 Nk? ，使得 2015?ka 22（本小题满分 13 分）设不等式组?nnxyyx300 所表示的平面区域为nD ，记 nD 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为 )( ?Nnnf （ 1）
9、求 )2(),1( ff 的值及 )(nf 的表达式； （ 2） 记nn nfnfT 2 )1()( ?，试比较 nT 与 1?nT 的大小；若对于一切的正整数 n ，总有 mTn? 成立，求实数 m 的取值范围； （ 3） 设 nS 为数列 nb 的前 n 项和，其中 )(2 nfnb ? ，问是否存在正整数 tn, ，使16111 ? ? nn nn tbS tbS成立？若存在，求出正整数 tn, ；若不存在，说明理由 - 5 - 福建师大二附中 2015 2016 学年 第一学期期中考 高二数学答案卷 一、选择题 (60 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、
10、填空题 (16 分 ) 13 ； 14 ； 15 、 ； 16 三、解答题 (74 分 ) 17（本小题满分 12 分） 18（本小题满分 12 分） 班级姓名座号准考号-密-封-线- - 6 - 19（本小题满分 12 分） 20（本小题满分 12 分） -密-封-线- - 7 - 21（本小题满分 13 分） 22（本小题满分 13 分） - 8 - - 9 - 福建师大二附中 2015 2016 学年 第一学期期中考 高二数学试卷答案 一、选择题 (60 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C C B B C A C B A C D 二、填空题 (16 分
11、) 13 )24,7(? ； 14 39 ； 15 169 、 12?k ； 16 三、解答题 (74 分 ) 17解：（ 1）由余弦定理知， 72132294c o s2222 ? AACABACABBC，所以 7?BC ； （ 2）由正弦定理知，ABCCAB sinsin ?，所以721760s in2s ins in ? ?ABCABC， BCAB? ，所以 C 为锐角，则7 72731s in1c o s 2 ? CC， CCC co ssin22sin ?7 347 727212 ? 18解答：（ 1） 3211 ? ? nnnn aSSa ， )3(231 ? nn aa ， 又
12、0631 ?a ， 2331 ?nnaa， 数列 3 na? 是以 6 为首项， 2 为公比的等比数列 1263 ? nna ， )12(3 ? nna （ 2）由（ 1）可得 nnanb nnn ? 23， )21(22221 21 nnT nn ? ? ， )21(2222212 132 nnT nn ? ? ? ， - 得2 )1()222(2 32 ? nnT nn ?，化简得2 )1(2)1(2 1 ? ? nnnT nn - 10 - 19解：满足约束条件的可行域如右图 （ 1） 1?ba ，则 yxz ? ，从而 zxy ? ， z 为平行直线系 zxy ? 的纵截距 )0,0(
13、O ， )0,21(A ， )2,0(B ， )4,1(C 当 zxy ? 过 )0,0(O 时， z 有最小值 0； 当 zxy ? 过 )4,1(C 时， z 有最大值 5 （ 2）由题意知 0?ab ，故目标函数 zabxy ? 的最大值 8 在)4,1(C 处取到将 )4,1(C 代入 yabxz ? 得 4?ab 102522521441 ?aaaaaaaababa， 当且仅当5104,210 ? ba取等号 所以baba 41?最小值为 102 20解： p 真 ? 33110 2 ? aa ， q 真 ? 0)2212(4)3( 22 aaa 240822 ? aaa ， qp?
14、 真 ? 23 ? a 21 解：（ 1） 1?m ， 1)( 2 ?xxf 01?a ， 1)0(2 ?fa ， 211)1( 23 ? fa ， 512)( 234 ? afa （ 2） 假设存在实数 m ，使得 432 , aaa 构成公差不为 0 的等差数列 由（ 1）得到 mmmafammmfamfa ? 2234232 )()(,)(,)0( 432 , aaa 成等差数列， 4232 aaa ? ， mmmmmm ? 222 )()(2 化简得 0)12( 22 ? mmm ，解得 0?m （舍）， 21?m 经检验，此时 432 , aaa 的公差不为 0 所以存在 21?m ，使 432 , aaa 构成公差不为 0 的等差数列 （ 3） 41)41()21( 221 ? mmaamaaa nnnnn， 又41?m，令 041 ?md
