1、 1 福建省福州市八县一中 2017-2018 学年高二数学上学期期中试题 理 完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ） 1已知数列 ? 1,54,43,32,21 ?n n，则 96.0 是该数列的 ( ) A .第 20 项 B .第 22 项 C .第 24 项 D .第26 项 2已知： 10 ?x ，则函数 )1( xxy ? 的最大值为（ ） A .21 B . 41 C .81 D .91 3 若 ,abc为实数，则 下列命题正确的是（ ） A .若 0ab?，则
2、 22a ab b? B .若 0ab?，则 11ab? C .若 0ab?，则 baab? D .若 ab? ，则 22ac bc? 4. 已知 数列?n的通项公式为3 25nan?，当nS取到最小 值 时，?( ) A .5 B .6 C .7 D .8 5某观察站 C 与两灯塔 BA, 的距离分别为 km2 和 km3 ，测得灯塔 A 在观察站 C 北偏西?30 ，灯塔 B 在观察站 C 北偏东 ?30 ，则两灯塔 BA, 间的距离为 （ ） A . km345? B . km4 C . km7 D . km13 6 在等比数列 ?na 中，已知 1 1a? ， 4 8a? ，若 35,
3、aa分别为等差数列 ?nb 的第 2 项和第 6 项，则数列 ?nb 的前 7 项和为（ ） A .49 B .70 C .98 D .140 7 在 ABC? 中 , ,abc分别为角 ,ABC 的对边， Bac cos2? ,则 ABC? 的形状为2 （ ） A . 等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 8 设 Rx? ，对于使 2 2x x M?恒成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最大值 1? 叫做2 2xx? 的下确界 若 ,ab R? ，且 1ab?，则 114ab? 的 下确界为（ ） A .415 B .4 C . 2 D .49 9 若 不等
4、式 04)2(2)2( 2 ? xaxa 对一切 Rx? 恒成立，则实数 a 的取 值范围 是 （ ） A . )2,(? B . )2,2(? C . 2,2(? D . )2,( ? 10大衍数列，来源于乾坤普中对易传 “ 大衍之数五十 ” 的推论 ， 主要用于解释中国传统文化中 太极衍生原理 。 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和 ， 是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题 其前 20 项依次是 50,40,32,24,18,12,8,4,2,0 ， ? 则此数列的第 20 项为 （ ） A .220 B .200 C .180 D .162 11已
5、知实数 yx, 满足121yyxx y m?， 如果目标函数 yxz ? 的最小值为 2? ，则实数 m的值为 ( ) A .0 B .4 C .8 D .10 12 在数列 ?na 中， ? ?1na n Nn ?， 从数列 ?na 中选出 ? ?3kk? 项并按原顺序组成的新数列记为 ?nb ，并称 ?nb 为数列 ?na 的 k 项子列 例如数列 12 、 13 、 15 、 18 为?na 的一个 4 项子列 若 ?nb 为数列 ?na 的一个 ? ?3kk? 项子列，且 ?nb 为等差数3 列， 则 ?nb 的公差 d 的最小值为（ ） A . 61? B . 41? C . 31?
6、 D . 21? 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .） 13已知变量 yx, 满足约束条件20701xyxyx? ? ? ? ?， 则 yx 的 最大值为 _ 14数列 na 是等差数列， nS 是它的前 n 项和，已知 103?S ， 609?S ，则 6S? _ 15 已知数列 ?na 满足1 12a?， 1 11n na a? ?（ *nN? ）， 则 数列 ?na 的 前 100项的和为 _ 16 有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：在 ABC? 中，已知32?b ， ， 22cos ?C ，求角 B 经推断，破损处的条件为 三角形一边的长
7、度，该题的答案 ?60B 是唯一确定的，试将条件补充完整 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 10 分） 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且 1?a ， 2?c ， 43cos ?c . （ 1）求 Asin 的值； （ 2）求 ABC? 的面积 . 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 是 单调递增 的等差数列，首项 21?a ，且 2a ， 4a ， 44?S 成等比数列 . 4 （ 1）求数列 na 的通项公式 ； （ 2）设数列 nb 满足 nann ab )2(? ，求
8、数列 nb 的前 n 项和 nT . 19 （本小题满分 12 分） 已知 函数 23)( 2 ? xaxxf （ 1）若 0)( ?xf 的解集为 1 xx? 或 ?xb? ，求 a ， b 的值； （ 2） 当 0?a 时， 求不等式 axxf ?5)( 的解集 . 20.（本小题满分 12 分） 选修 54? ：不等式选讲 设函数 1)( ? xaxxf （ 1）若 1a? ，解不等式 4)( ?xf ； （ 2）如果 对任意的 Rx? ， 3)( ?xf ，求 a 的取值范围 21.（本小题满分 12 分） 某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用
9、 100万元购买一块土地，该土地可以建造每层 1000平方米的楼房一幢，每层楼房的建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼房的建筑费用提高 2 万元 已知第 1层楼房的建筑费用为 81万元，该楼房楼层为 x 层 （ 1） 求建造 该幢楼 房的总费用 )(xf （总费用包括建筑费用和购地费用）； （ 2） 问： 要使该楼 房每平方米的平均费用 y 最低 应把楼房建成几层？此时 每平方米的 平均费用为多少万元？ 22.（本小题满分 12 分） 已知各项都是正数的数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 2 12n n nS a a?， nN? 5 （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2
10、）设数列 ?nb 满足： 1 1b? , 1 2 ( 2)n n nb b a n? ? ?，求 数列 1nb?的前 n 项和 nT ； （ 3） 在（ 2）的条件下， 若 )8(21 ? nTn ? 对任意 的 n ),2( *Nnn ? 恒成立，求 ? 的取值范围 . 2017-2018 学年第一学期八县（市）一中期中联考 高二数学 (理科 )参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、 6 14、 30 15、 50 16、 26?a 三、解答题（ 本大题共 6 小题，共 70 分 ，解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 ）
11、 17、 解：（ 1） ? 43cos ?c ， 47sin ? c ? 2 分 CcAa sinsin ? 472sin1 ?A814sin ? A ? 5 分 （ 2） Cabbac c o s2222 ? bb 2312 2 ? 2?b ? 7 分 47472121s i n21 ? ? CabS ABC ? ? 10分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D C B A D C B C A 6 18、解：（ 1）由题意，得： )4( 4224 ? Saa ， 即 )46()2()32( 2 ? ddd ? ? 2 分 化简，得： 0443 2
12、? dd ， 解得： 322 ? dd 或 ? 4 分 ?数列 ?na 是 单调递增 的等差数列 0?d ， 2?d ? 5 分 nna n 22)1(2 ? ? 6 分 （ 2）由（ 1）得， nn nb 22 ? ? ? 7 分 )22()26()24()22( 321 nn nT ? )2222()2642( 321 nn ? ? ? 8 分 21 )21(22 ? nnn? ? 10 分 22 12 ? ?nnn 22 12 ? ?nn nnT ? ? 12 分 19、解 ：（ 1） ? 023)( 2 ? xaxxf 的 解集为 1 xx? 或 ?xb? ?方程 0232 ? xax
13、 的两个根为 1 和 b ? 1 分 由韦达定理，得：?abab2131? ? ? ? ? 2 分 解得：?21ba? 4 分 （ 2） 不等式 2 3 2 5ax x ax? ? ? ?，可化为： 03)3(2 ? xaax 即： 0)1)(3( ? xax ， ? 5 分 7 0?a? ，得 0)1)(3( ? xaxa ， ? 0)1)(3( ? xax ? 6 分 当 3 1a? 时 ， 即 30a? ? ? ， 不等式的解集为： 3 1xxa? ? 8 分 当 3 1a? 时 ， 即 3a? ， 不等式的解集为： ? ? 9 分 当 3 1a? 时 ， 即 3a? ， 不等式的解集为
14、： 31xxa? ? ? 11 分 综上所述：当 30a? ? ? ， 不等式的解集为： 3 1xxa? ?当 3a? ， 不等式的解集为： ? 当 3a? ， 不等式的解集 为： 31xxa? ? ? 12 分 20、解： （ 1）当 1a? 时，?1,211,21,211)(xxxxxxxxf ， ? 2 分 由 4)( ?xf 得： 411)( ? xxxf ， ? 3 分 不等式可化为? ? ? 42 1xx或? ? ? 42 11 x或? ? 42 1xx， ? 4 分 不等式的解 集为 ? ?22 ? xxx 或 ? 6 分 （ 2） 根据绝对值不等式的性质得： 11)1()(1)
15、( ? aaxaxxaxxf ? ? 8 分 所以 对任意的 Rx? ， 3)( ?xf 等价于 31?a ， ? 10 分 解得： 4?a 或 2?a ? ? 11 分 从而 a 的取值范围 为： ),42,( ? ? 12 分 21、解：（ 1）建筑 x 层楼房时，建造 该幢楼 房的总费用为： 8 )(,1008010022 )1(81)( *2 Nxxxxxxxf ? ? 6 分 （定义域没写扣 1 分） （ 2） 每平方米的平均费用 为： 100810 110001000 100802 ? xxxxxy ? 8 分 101100810110002 ? xx? 10 分 当且仅当 xx 1011000? ，即 10?x 时，等号成立 ? 11 分 答： 要使该楼 房每平方米的平均费用最低 应把楼房建成 10 层， 此时 每平方米的 平均费用为 101 万元 ? 12 分 22、解：（ 1） 1?n 时，1211 21 aaa ?， 211?a? ? ? 1 分 ?nnn aaS 212 ?1211 21 ? ? nnn aaS1212 21212 ? ? nnnn
