1、 - 1 - 第 4 题 C B D A C1 B1 A1 D1 M 2017年秋高二年期中考试数学（理）科试卷 考试时间： 120 分钟 满分： 150分 一 ,选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 . 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的 ） 1.命题： “ 0xR?， 020x ? ” 的否定是（ ） A 0xR?， 020x ? B 不存在 0xR? ， 020x ? C xR? ， 20x? D xR? ， 20x? 2.抛物线 22xy? 的焦点坐标是 ( ) A. )0,1( B. )0,21( C. )81,0( D. )41,0( 3.双曲线 2
2、2 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的一条渐近线为 xy 2? ，则该双曲线的离心率为 ( ) A 3 B 2 C 5 D 6 4.如图，在平行六面体 1111 DCBAABCD ? 中 ,点 M 为 AC 与 BD 的交点， 若 aBA ?11 ，, 111 cAAbDA ? 则下列向量中与 MB1 相等的是（ ） A cba ? 2121 B cba ? 2121 C cba ?2121 D cba ? 2121 5.平面内有两定点 A、 B及动点 P，设命题甲：“ |PA|+|PB|是定值”， 命题乙：“点 P的轨迹是以 A、 B为焦点的椭圆 ”， 则甲是乙的 （ ） A
3、充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6.“|x|2” 是 “x 2-x-60” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为 1的正方形，若 A1AB= A1AD - 2 - =60，且 A1A=3，则 A1C 的长为 （ ） A 5 B 22 C 14 D 17 8空间四边形 OABC中， OA=6,AB=4,AC=3,BC=6， OAC OAB 3，则 cos OA ， BC 等于 ( ) A. 21 B. 22 C 121 D 61 9
4、.已知椭圆)20(14 222 ? bbyx的左，右焦点分别为21,FF，过 的直线交椭圆于BA,两点，若22 AFBF ?的最大值为 5，则b的值是 ( ) A. 1 B.2C.3D.310.已知命题 :p 椭圆 2241?xy上存在点 M 到直线 : 2 6 2 0? ? ?l x y 的距离为 1，命题:q 椭圆 222 27 54?xy与双曲线 229 16 144?xy 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ） A ? ?pq B ? ?pq C. ? ? ? ? ? ?pq D ?pq 11. 如图，过抛物线 xy 42? 焦点的直线依次交抛物线和圆 1)1( 22 ? yx 于
5、 A、 B、 C、 D四点，则 |AB| |CD| ( ) A 4 B 2 C 1 D.12 12.已知 A,B,P 是双曲线 12222 ?byax 上的不同三点，且 AB 连线经过原点，若直线 PA， PB 的斜率乘积 32?PBPA KK，则该双曲线的离心率为（ ） A. 315 B. 25 C. 210 D. 2 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 13. 若双曲线 22116yxm?的离心率 e=2，则 m= 。 14、已知命题 P：任意“ ? ?2,1?x ， 02 ?ax ”，命题 q：“存在 ? ? 011, 2 ? xaxRx ”若“ p且 q”为真命题，则实数 a
6、的取值范围 是 。 - 3 - 15.已知点 A 是抛物线 pxy 22 ? (p 0)上一点， F 为其焦点，以 F 为圆 心， |FA|为半径的圆交准线于 B， C两点， FBC为正三角形，且 ABC的面积是 1283 ，则抛物线的方程为 。 16.已知椭圆 1:C 2222111xyab?与双曲线 2C : 22221xyab?有公 共 的 焦点12,FF， 且在第一象限交 点为 P ， 且 124cos = 5FPF? 若 1C 与 2C 的离心率 分别为 1e 、 2e ，则1211ee? 的 最大值为 。 三、解答题（ 10+12+12+12+12+12=70 分，写出必 要的解题
7、过程） 17.（本小题满分 10分） 设命题 p ：方程 2211 2 2xymm?表示双曲线；命题 q ： 022, 0200 ? mmxxRx （ 1） 若命题 p 为真命题，求 实数 m 的取值范围 （ 2） 若命题 q 为真命题，求 实数 m 的取值范围 （ 3） 求使“ qp? ”为假命题的实数 m 的取值范围 18.已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)过点 (0， 4)，离心率为35. (1)求 C的方程； (2)求过点 (3， 0)且斜率为 45的直线被 C所 截线段的中点坐标 . 19、 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC， AB=AC=2， A1A
8、=4，点 D是 BC 的中点； - 4 - （ I）求异面直线 A1B， AC1所成角的余弦值； （ II）求直线 AB1与平面 C1AD所成角的正弦值 20.如图，已知四棱锥 P ABCD? ，底面 ABCD 为菱形， PA? 平面 ABCD ， 060ABC?，,EF分别是 ,BCPC 的中点 （）证明： AE PD? ； （）若 2, 2AB PA?，求二面角 E AF C?的余弦值 21.在圆 224xy?上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段， D 为垂足，点 M 在线段 DP 上，且 2DP DM? ，点 P 在圆上运动。 (1)求点 M 的轨迹方程； (2)过定点 ? ?
9、1,0C? 的直线与点 M 的轨迹交于 ,AB两点，在 x 轴上是否存在点 N ，使NANB? 为常数，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。 - 5 - 22如图，椭圆 =1（ a b 0）的一个焦点是 F（ 1， 0）， O为坐标原点 （ ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （ ）设过点 F的直线 l交椭圆于 A、 B两点若直线 l绕点 F任意转动，恒有 |OA|2+|OB|2|AB|2，求 a的取值范围 - 6 - 季延中学 2017 年秋高二年期中考试数学（理）参考答案 一： CCCDB AACDB CA 二： 13, 48 14， ? ?1
10、,? 15, y2 16x 16, 103 三： 17.解 （ 1） 方程 2211 2 2xymm?表示双曲线， (1 2 )( 2) 0mm? ? ?，即 2m? 或 12m? 。 ? 4分 （ 2） 2?m 或 1?m ? 7分 （ 3） 要使“ qp? ”为假命题，则 p， q都是 假命题， ?12 212mm 得 212 ? m m? 的取值范围为 21,2(? ? 10 分 18.解 (1)将 (0， 4)代入 C的方程得 16b2 1， b 4. 又由 e ca 35，得 a2 b2a2 925，即 116a2925， a 5， C的方程为 x225y216 1. ? 5分 (2
11、)过点 (3， 0)且斜率为 45的直线方程为 y 45(x 3). ? 6分 设直线与 C 的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线方程 y 45(x 3)代入 C 的方程，得 x225（ x 3） 225 1，即 x2 3x 8 0，解得 x13 412 ， x23 412 . ? 9分 设线段 AB 的中点 坐标为 (x ， y) ，则 x x1 x22 32， y y1 y22 25(x1 x2 6) 65， 即中点坐标为 ? ?32， 65 . ? 12 分 19. 【答案】 （ I） （ II） 解：（ I）以 ， ， 为 x， y， z轴建立空间直角坐标系 A
12、xyz， ? 1分 则可得 B（ 2， 0， 0）， A1（ 0， 0， 4）， C1（ 0， 2， 4）， D（ 1， 1， 0）， - 7 - =（ 2， 0， 4）， =（ 0， 2， 4）， cos ， = = ? 5分 异面直线 A1B， AC1所成角的余弦值为 ? 6分 （ II）由（ I）知， =（ 2， 0， 4）， =（ 1， 1， 0）， 设平面 C1AD 的法向量为 =（ x， y， z）， 则可得 1n AC 0n AD 0? ?，即 ，取 x=1可得 =（ 1， 1， ）， ? 9分 设直线 AB1与平面 C1AD所成的角为 ，则 sin=|cos ， |= ? 11
13、分 直线 AB1与平面 C1AD所成角的正弦值为： ? 12分 20. 【答案】 （）见解析；（） 155 试题解析：（）证明：由四边形 ABCD 为菱形， 060ABC?，可得 ABC? 为正三角形， 因为 E 为 BC 的中点，所以 AE BC? ，又 /BC AD ，因此 AE AD? ， 因为 PA? 平面 ABCD ， AE? 平面 ABCD ，所以 PA AE? ， 而 PA? 平面 PAD ， AD? 平面 PAD 且 PA AD A? ， 所以 AE? 平面 PAD ，又 PD? 平面 PAD ，所以 AE PD? ? ? 5分 （）由（）知 ,AE AD AP 两两垂直，以
14、A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ? 6分 又 ,EF分别为 ,BCPC 的中点， - 8 - 所以 31(0 , 0 , 0 ) , ( 3 , 1 , 0 ) , ( 3 , 1 , 0 ) , (0 , 2 , 0 ) , (0 , 0 , 2 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B C D P E F?， 所以 31( 3 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A E A F? ? 7 分 设平面 AEF 的一法向量为 1 1 1( , , )m x y z? ，则 00m AEm AF? ? ?，因此 11 1 13031 022x
15、x y z? ? ? ? ? 取 1 1z? ，则 (0,2, 1)m?， ? 9分 因为 ,B D A C B D P A P A A C A? ? ?，所以 BD? 平面 AFC ， 故 BD 为平面 AFC 的一法向量，又 ( 3,3, 0)BD ? ， ? 10分 所以 2 3 1 5c o s , 55 1 2m B Dm B D m B D? ? ? ? ?， ? 11分 因为二面角 E AF C?为锐角，所以所求二面角的余弦值为 155 ? 12分 21.试题解析： (1)设 P(x0， y0)， M(x， y)，则 x0 x， y0 y. P(x 0， y0)在 x2 y2 4
16、上， x y 4. x 2 2y2 4，即 1. 点 M的轨迹方程为 1(x2) ? 4分 (2)假设存在当直线 AB与 x轴不垂直时， 设直线 AB的方程为 y k(x 1)(k0) ， A(x1， y1)， B(x2， y2)， N(n,0)， 联立方程组 整理得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 4 0， x 1 x2 ， x1x2 .? 6分 (x1 n， y1)(x 2 n， y2) - 9 - (1 k2)x1x 2 (x1 x2)(k2 n) n2 k2 (1 k2) (k2 n) k2 n2 n2 ? 7分 n2 (2n2 4n 1) .? 8分 是与 k无关的常数， 2n 0. n ，即 N ，此时 .? 10分 当直线 AB与 x轴垂直时，若 n ，则 .? 11 分 综上所述，在 x轴上存在定点 N ，使 为常数 ? 12分 22【解答】解：（ ）设 M， N为短轴的两个三等分点， 因为 MNF为正三角形，所以 ， 即 1= ，解得 a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为 ? 4分 （ ）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2） （ ）当
