1、 - 1 - 2017-2018 年度上学期期中试卷 高二数学（理科） 一、单项选择（每题 5 分共 60 分 ） 1、 ABC? 中，若 ? 30,2,1 Bca ，则 ABC? 的面积为（ ） A 21 B 23 C 1 D 3 2、 已知等比数列 an中， a3=2， a4a6=16，则 =（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 3、 设 a， b为非零实数，且 a b，则下列不等式恒成立的是 ( ) A a2 a b B a2 b2 C2211ab 4、 以下列函数中，最小值为 2 的是（ ） A. 33xxy ? B. 1yxx? C. 1lg (0 1)lgy x xx? ? ?
2、 ?D. 1s in (0 )s in 2y x xx ? ? ? ? 5、 命题“ 2, 2 2 0x R x x? ? ? ? ?”的否定为（ ） A. 2, 2 2 0x R x x? ? ? ? ? B. 2, 2 2 0x R x x? ? ? ? ? C. 2, 2 2 0x R x x? ? ? ? ? D. 2, 2 2 0x R x x? ? ? ? ? 6、 设命题 p ：方程 2 3 1 0xx? ? ? 的两根符号不同；命题 q ：方程 2 3 1 0xx? ? ? 的两根之和为3，判断命题“ p? ”、“ q? ”、“ pq? ”、“ pq? ”为假命题的个数为 (
3、) A 0 B 1 C 2 D 3 - 2 - 7、 已知向量 ? ? ? ?0 , 2 ,1 , 1,1, 2ab? ? ? ?，则 a 与 b 的夹角为（ ） A. 0 B. 4? C. 2? D. ? 8、 “ ” 是 “ 方程 为双曲线的方程 ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9、 设 f(x) xlnx， 若 f (x0) 2， 则 x0的值为 ( ) A e2 B e C ln22 D ln2 10、 如图所示，在直三棱柱 中， ， ，点 E、 F 分别是棱 AB、 BB1的中点，当二面角 C1-AA1-B为 4
4、50时，直线 EF和 BC1所 成的角为（ ） A. 450 B. 600 C. 900 D. 1200 11、 在 ABC? 中， o60A? ， 43a? ， 42b? ，则 B 等于 ( ) A. o45 B. o135 C. o45 或 o135 D. 以上答案都不对 12、 设数列 an是等差数列，若 a2+a4+a6=12，则 a1+a2+? +a7等于（ ） A 14 B 21 C 28 D 35 二、填空题（每道题 5 分，共 20 分 ） 13、 不等式22 9 9 0xx? ? ?的解集为 . - 3 - 14、 变量 x， y满足约束条件 ，则 z=2x y的最小值为 1
5、5、 在平面直角坐标 系 xOy 中，已知 ABC 顶点 A(-3,0)和 C(3,0)，顶点 B在椭圆 22125 16?xy上，则 sin sin2sin? ?ACB . 16、写出 下列函数的导数 （ 1） xey x? 的导数为 （ 2） 2(2 1)(3 1)y x x? ? ?的导数为 三、解答题（注释） 17、 在等差数列 ?na 中， 10 23a ? ， 25 22a ? ， （ ）求该数列的通项公式 （） 该数列前多少项的和最大？最大和是多少？ 18、 已知函数 32()f x x bx cx d? ? ? ?的图象过点 (0,2)P ，且在点 ( 1, ( 1)Mf?处的
6、切线方程为 6 7 0xy? （ 1）求 (1)f? 和 ( 1)f ? 的值； （ 2）求函数 ()fx的解析式 19、 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 2ABC ?， D 是棱 AC 的中点，且1 2AB BC BB? ? ?. (1)求证： 11/AB BC D平 面 ； - 4 - (2)求异面直线 1AB 与 1BC 所成的角 20、 已知点 A 是抛物线 2 2xy? 上位于第一象限的点，焦点 F ，且 52AF? ，过 ,AF的直线l 交抛物线于点 B . （ ）求直线 l 的方程； （ ）在抛物线 AOB 部分上求一点 P ，使 P 到直线 l 距离最大，并
7、求出最大值 . 21、 四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA平面 ABCD， E为 PD 的中点 (1)证明： PB平面 AEC； (2)设 ，三棱锥 的体积 ，求二面角 D-AE-C的大小 22、 已知椭圆 C： x2 2y2 4. （ I）求椭圆 C的离心率； - 5 - （ II）设 O 为原点，若点 A 在直线 y 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB，求线段 AB 长度的最小值 参考答案 一、单项选择 1、 A 2、 B 3、 C 4、 A 5、 A 6、 C 7、 C 8、 B 9、 B 10、 B 11、 A 12、 C 二、填空题 13、【答案】 14
8、、【答案】 6 15、【答案】 56 16、【答案】 62 三、解答题 17、【答案】 （ ） max 17 442SS?；（ ） |an|前 n项和为223 1 0 3 , 1 7223 1 0 3 8 8 4 , 1 822n n nn n n? ? ? ? ?. 试题分析： （ 1）通过解方程组 119 23 24 22ad? ? ? ，进而计算可得结论； （ 2）通过（ 1）可知，对 n的值分 n 17、 n 18两种情况进行讨论即可 试题解析： ( )设数列 an的 公差为 d， 由 得 a n a1 (n 1)d 3n 53， 令 an0，得 n0；当 n18 ， nN 时， an
9、0， a n前 17 项和最大 ? ?m a x 1 7 1 7 5 0 1 7 8 3 4 4 2SS? ? ? ? ? ? ? ?. ( )当 n17 ， nN 时， |a1| |a2| |an| a1 a2 an na1 ? ?12nn d? n2 n， 当 n17 ， nN 时， |an|前 n项和为 n2 n， 当 n18 ， nN 时， |a1| |a2| |an| a1 a2 a17 a18 a19 an 2(a1 a2 a17) (a1 a2 an) n2 n 884， - 6 - 当 n18 ， nN 时， |an|前 n项和为 n2 n 884. 18.【答案】 （ 1）
10、( 1) 1f ?， ( 1) 6f ? ； （ 2） 32( ) 3 3 2f x x x x? ? ? ? 试题分析： （ 1） 由导数的几何意义并结合已知条件即可得出， ( 1)f ? 等于 ()fx在点( 1, ( 1)Mf?处的切线方程的斜率，而点 ( 1, ( 1)Mf?在切线方程上即可得出 (1)f? 的值；（ 2）首先由 ()fx过点 (0,2)P 可求出 d 的值，然后求出函数 ()fx的导函数 ()fx，并由( 1) 6f ? 可得等式 3 2 6bc? ? ? ，再由 ( 1) 1f ?可得等式 11b c d? ? ? ? ?，于是联立方程组即可得出 , ,bcd 的值
11、，最后代入即可得出所求的 函数 ()fx的解析式 试题解析： （ 1） ()fx在点 ( 1, ( 1)Mf?处的切线方程为 6 7 0xy?，故点 ( 1, ( 1)f?在切线 6 7 0xy? ? ? 上，且切线斜率 为 6 ，得 ( 1) 1f ?且 ( 1) 6f ? （ 2） ()fx过点 (0,2)P ， 2d? ， 32()f x x bx cx d? ? ? ?， 2( ) 3 2f x x bx c? ? ?，由( 1) 6f ? 得 3 2 6bc? ? ? ，又由 ( 1) 1f ?，得 11b c d? ? ? ? ?，联立方程 23 2 611dbcb c d? ?
12、? ? ? ? ?得 332bcd?，故 32( ) 3 3 2f x x x x? ? ? ? 考点： 1、导数的几何意义； 2、导数的计算 19、【答案】 (1)见解析； (2)3? . 试题分析： (1)利用题意结合线面平行的判断定理由 ODAB 1即可证得结论 ； (2)建立空间直角坐标系，结合题意可得异面直线 1AB 与 1BC 所成的角为 3? . 试题解析： (1)如图，连接 B1C交 BC1于点 O，连接 OD. O 为 B1C的中点， D为 AC 的中点， ODAB 1. AB 1？ 平面 BC1D， OD? 平面 BC1D， AB 1 平 面 BC1D. (2)建立如图所示
13、的空间直角坐标系 B xyz. - 7 - 则 B(0,0,0)、 A(0,2,0)、 C1(2,0,2)、 B1(0,0,2) (0， 2,2)、 (2,0,2) cos ， ， 设异面直线 AB1与 BC1所成的角为 ，则 cos ， (0 ， )， . 20、 （ ） 3 4 2 0xy? ? ? （ ）点 39,4 32P?，距离最大值为 58 试题分析： （ 1）根据抛物线的几何性质和抛物线的定义，求得焦点 10,2F?和 ? ?2,2A ，即可求得直线的方程； （ 2）平移直线 l 与抛物线相切，当 P 在切点处时，点 P 到直线 l 的距离最大，设处 点 P 的坐标，求得切点的坐
14、标，再利用点到直线的距离公式，即可求解距离的最大值。 试题解析： （ ）抛物线 2 2xy? 的焦点为 10,2F?，准线方程为 12y? ， 设 ? ?, ( 0)A x y x? ，则由抛物线定义得： 1522AF y? ? ?， 2, 2yx? ? ? ? ?2,2A? 所以直线 l 的方程为： 3142yx?即 3 4 2 0xy? ? ? （ ）平移直线 l 与抛物线相切，当 P 在切点处时，点 P 到直线 l 的距离最大 设切点 ? ?00,P x y ，由 22xy ? 求导得： yx? ，所以切线斜率0 34kx?，0039,4 32xy? ? ?，显然 0BAx x x?，
15、39,4 32P? ?直线 : 3 4 2 0l x y? ? ?，所以 P 到直线 l 的距离 003 4 2 558xyd ? 所以所求的点 39,4 32P?，距离最大值为 58 - 8 - 21.【答案】 （ 1）见解析（ 2） 试题分析： （ 1） 可先连结 BD交 AC 于点 O,连结 EO， 根据中位线性质可证明 EO/P， 从 而可得结论； （ 2） 由三棱锥 的体积 ， 可得 ， 以 A为坐标原点， 的方向为 x轴的正方向，建立空间直角坐标系 A xyz,分别求出平面 DAE与平面 ACE的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果 . 试题解析：（ 1）连结 BD交 A
16、C于点 O,连结 EO 因为 ABCD为矩形，所以 O为 BD的中点 又 E为的 PD 的中点，所以 EO/PB EO 平面 AEC,PB 平面 AEC，所以 PB/平面 AEC （ 2）因为 PA 平面 ABCD， ABCD为矩形，所以 AB,AD,AP 两两垂直 如图，以 A为坐标原点， 的方向为 x轴的正方向，建立空 间直角坐标系 A xyz, 三棱锥 的体积 , 则 A(0,0,0)， D(0, ,0)， B( ,0,0)， E(0, , )， C( , ,0)， 则 =(0, , )， =( , ,0)，设 为平面 ACE的法向量， 则 即 令 ，得 ， ，则 又 为平面 DAE的法向量， ， 如图可得二面角 为锐角，所以二面角 为 【方法点晴】本题主要考查线面平行以及利用空间向量求二面角，属于难题 .空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（ 1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（ 2）写出相应点的- 9 - 坐标，求出相应直线的方 向向量；（ 3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（ 4）将空间位置关系转化为向量关系；（ 5）根据定理结论求出相应的角和距离 . 22.【答案】 （ I） 22 ； （ II）
