1、 - 1 - 福建省仙游县 2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1在 ABC 中， 24,4 ? ba ， A=30 ，则三角形的解的个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D不确定 2在等差数列 na 中， 1243 ?aa ，公差 d=2，则 9a =（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 3不等式 12 2 ?xx 的解集为（ ） A 21- ， 1 B 0， 21 C (?- ， 21- )? (1， ? ） D (?- ， 21- )? 1
2、， ? ） 4等比数列 na 中， 92?a ， 2435?a ，则 na 的第 4项为（ ） A 81 B 243 C 27 D 192 5若实数 x， y满足?0001xyxyx ，则yxz 2? 的最大值是（ ） A 21 B 2 C 1 D 0 6已知 x0， y0，且 x+y=1，求yx 14?的最小值是 （ ） A 4 B 6 C 7 D 9 7若 p： ? xR ， sin x1 ，则（ ） A p： ? 0x R ， sin0x 1 B p： ? xR ， sin x1 C p： ? 0x R ， sin0x 1 D p： ? xR ， sin x1 8命题 p： 21 ?x
3、是命题 q： 0?x 的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9若 0?a ， 10 ?b 那么（ ） A 2ababa ? B aabab ?2 C 2abaab ? D aabab ? 2 - 2 - 10 过点 P? ?0,2- 的双曲线 C 与椭圆 1925 22 ?yx 的焦点相同，则双曲线 C的渐近线方程 是（ ） A xy 33? B xy 3? C xy 21? D xy 2? 11设 11102 ? nnan ，则数列 na 从首项到第几项的和最大（ ） A第 10项 B第 11 项 C第 10 项或 11 项 D第 12 项 12下
4、列四个命题中错误的是（ ） A若 11 ? yx ， 31 ? yx ，则 yx?3 的取值范围是 1， 7； B若不等式 ）1(12 2 ? xmx 对满足 |m|2 的所有实数 m都成立，则实数 x的取值 范围是（ 21-7 ， 213? ）； C若正数 a， b满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是 3， + ）； D 若 实数 a， b， c满足 ba? ， ca? ，且 abacbca ? 42 ，则 cba ?2 的 最小值是 4 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13在 ABC 中，如果 8:6:5: ?cba ，那么此三角形最大角的余弦值是 14过
5、椭圆 14 22 ?yx 的左焦点 1F 的直线与椭圆相交于 A、 B两点， 2F 为椭圆的右焦点， 则 AB 2F 的周长为 15命题： “ 若 5?yx ，则 2?x 或 3?y ” 是 命题（填 “ 真 ” 或 “ 假 ” ） 16 若在曲线 0),( ?yxf 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 0),( ?yxf 的 “ 自公切线 ” 下列方程： 122 ?yx ； xxy ? 2 ； xxy cos4sin3 ? ； 241 yx ? 对应的曲线中存在 “ 自公切线 ” 的有 （用序号作答） - 3 - 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答写出文字说明，证明过程或
6、演算步骤 . 17 （本小题 10分） 设 ABC 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c且 bcacb 3) 22 ?（ （ ）求角 A； （ ）若 1,3 ? ba ，求角 B及 ABC 的面积 18 （本小题 12 分） 已知数列 na （ nN *）的前 n项的 2nSn? （ ）求数列 na 的通项公式； （ ）若nn anb )12(2? ，求数列 nb 的前 n项和 19 （本小题 12 分） 已知抛物线 axy ?2 的准线是 21: ?xl （ ）写出抛物线的焦点 F的坐标和标准方程； （ ）若经过焦点切斜角为 45 的直线与抛物线相交于 A， B两点，求线段 A
7、B的 长 - 4 - 20 （本小题 12 分） （ ）已知 82,0,0 ? yxyx ，求 xy的最大值 （ ）设 x 1，求函数 y=x+ +6的最小值 21 （本小题 12 分） 已知命题 0)22lg(: 2 ? xxp ；命题 40: ?xq 若 p且 q为假， p或 q为真，求 实数 x的取值范围 22 （本小题 12 分） 已知椭圆 C： )0(12222 ? babyax 经过点 M（ 1， 22 ），其离心率为 22 ，设直线 mkxyl ?: 与椭圆 C 相交于 A、 B两点 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）已知直线 l 与圆 3222 ?yx 相切，求证： OAOB （
8、 O为坐标原点） 仙游金石中学 2017-2018学年上学期期中考试高二年数学（理科） 参考答案 - 5 - 选择题： 1-5： CDAAB 6-10： DABBB 11-12： CC 填空题： 13： 201- 14： 8 15：真 16： 17设 ABC 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c且 bcacb 3) 22 ?（ （ 1）求角 A； （ 2）若 1,3 ? ba ，求角 B及 ABC 的面积 解：（ 1）由已知条件化简得： b2+c2+bc=a2， 由余弦定理得： ， （ 5分） 又 A （ 0， ）故 （ 6分） （ 2） ，由正弦定理得： ， 又 B A 故 所
9、以（ 9分） （ 12 分） 18已知数列 na （ nN *）的前 n项的 2nSn? （ ）求数列 na 的通项公式； （ ） 若nn anb )12(2? ，求数列 nb 的前 n项和 解：（ ） S n=n2当 n2 时， Sn 1=（ n 1） 2 相减得： an=Sn Sn 1=2n 1 （ 4分） 又 a1=S1=1符合上式 数列 an，的通项公式 an=2n 1 （ 6分） （ II）由（ I）知 T n=b1+b2+b3+bn = =（ 12 分） 19已知抛物线 axy ?2 的准线是 21: ?xl - 6 - （ 1）写出抛物线的焦点 F的坐标和标准方程； （ 2）若经
10、过焦点切斜角为 45 的直线与抛物线相交于 A， B两点，求线段 AB 的长 解：（ 1）由题意可知 = ， a=2 ， 抛物线的标准方程为 y2=2x，焦点 F（ ， 0） （ 5分） （ 2）直线 AB的方程为 y=x ， 联立方程组 ，消去 y得 x2 3x+ =0， （ 8分） 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 则 x1+x2=3， |AB|=|AF|+|BF|=x 1+ +x2+ =x1+x2+1=4 （ 12分） 20（ 1）已知 x 0， y 0， x+2y=8，求 xy 的最大值 （ 2）设 x 1，求函数 y=x+ +6的最小值 解：（ 1） x 0， y
11、0， ，即 ， 两边平方整理得 xy8 ， 当且仅当 x=4， y=2时取最大值 8； （ 6分） （ 2） x 1， x+1 0 y=x+ +6=x+1+ +52 +5=9， 当且仅当 x+1= ，即 x=1时，取等号， x=1 时，函数 的最小值是 9 （ 12分） 21已知命题 0)22lg(: 2 ? xxp ；命题 40: ?xq 若 p 且 q 为假， p 或 q 为真，求实数 x的取值范围 解：由 lg（ x2 2x 2） 0 ，得 x2 2x 21 ， x3 ，或 x 1即 p： x3 ，或 x 1， 非 p： 1 x 3又 q ： 0 x 4， 非 q： x4 ，或 x0 ，
12、 （ 4分） 由 p且 q为假， p或 q为真知 p、 q一真一假 - 7 - 当 p真 q假时，由 ，得 x4 ，或 x 1 （ 8分） 当 p假 q真时，由 ，得 0 x 3 综上知，实数 x的取值范围是 x|x 1，或 0 x 3，或 x4 （ 12分） 22已知椭圆 C： )0(12222 ? babyax 经过点 M（ 1， 22 ），其离心率为 22 ，设直线mkxyl ?: 与椭圆 C 相交于 A、 B两点 （ 1）求 椭圆 C的方程； （ 2）已知直线 l 与圆 3222 ?yx 相切，求证： OAOB （ O为坐标原点） 解：（ 1）由离心率 e= = ， a2=b2+c2，
13、 a2=2b2， 即有椭圆方程为 + =1，将 M（ 1， ）代入，得 b2=1， a2=2， 则所求椭圆方程为 +y2=1 （ 4分） （ 2）证明：因为直线 l与圆 x2+y2= 相切， 所以 = ，即 m2= （ 1+k2）， 由 ，得（ 1+2k2） x2+4kmx+2m2 2=0 （ 7分） 设点 A、 B的坐标分别为 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）， 则 x1+x2= ， x1x2= ， 所以 y1y2=（ kx1+m）（ kx2+m） =k2x1x2+km（ x1+x2） +m2= ， 所以 ? =x1x2+y1y2= + = =0， 故 OAOB （ 12 分）
