1、 - 1 - 福建省仙游县 2017-2018 学年高二数学上学期期中试题 文 一 . 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的） 1已知命题 :p “ , 1 0xx e x? ? ? ? ?R ” ，则 p? 为 （ ） A , 1 0xx e x? ? ? ? ?R B , 1 0xx e x? ? ? ? ?R C , 1 0xx e x? ? ? ? ?R D , 1 0xx e x? ? ? ? ?R 2双曲线 149 22 ?xy的焦距为 （ ） A 13 B 26 C 132 D 52 3设变量 x， y
2、满足约束条件? x y 20 ，2x 3y 60 ，3x 2y 90 ，则目标函数 z 2x 5y 的最小值为 ( ) A 4 B 6 C 10 D 17 4 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a 5 ， c 2， cos A 23，则 b ( ) A. 2 B. 3 C 2 D 3 5若 1a0； a 1ab 1b； ln a2 ln b2.其中正确的不等式是 ( ) A B C D 6.设 a， b R，若 p： a b， q： 1b 1a 0，则 p 是 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7已知数
3、列 an满足 a1 1， an 1an 2n(n N*)，则 a10 ( ) A 64 B 32 C 16 D 8 8若一元二次不等式 ax2 bx 2 0 的解集是 11,23?， 则 a b 的值是 ( ) A 10 B 10 C 14 D 14 9已知第一象限的点 (a， b)在直线 2x 3y 1 0 上，则代数式 2a 3b的最小值为 ( ) A 25 B 24 C 26 D 27 - 2 - 10若函数 ? ? 12 ? axxxf 的定义域为实数集 R，则实数 a 的取值范围 为 ( ) A ( 2,2) B ( ， 2)(2 ， ) C ( ， 22 ， ) D 2,2 11.
4、已知双曲线 C ： 221xyab?的焦距为 10 ，点 (2,1)P 在 C 的渐近线上，则 C 的方程为（ ） A 22120 5xy? B 2215 20xy? C 22180 20xy? D 22120 80xy? 12 设 an 1nsin n25 ， nN *， Sn a1 a2 an.在 S1， S2， ， S100中，正数的个数是 ( ) A 25 B 50 C 75 D 100 第卷 （非选择题 共 90 分） 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13设数列 an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 a1 |a2| a3 |a4| _. 14在
5、ABC 中， A 23 ， ca 3? ，则 bc _. 15 在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率为 22 ，过F1的直线与椭圆交于 A， B 两点，且 ABF2的周长为 16，那么椭圆 C 的 标准 方程为 _ 16平面直角坐标系 xoy 中，双曲线 C1： x2a2y2b2 1(a0， b0)的渐 近线与抛物线 C2： x2 2py(p0)交于点 O， A， B.若 OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为 _ 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分
6、） 已知命题 p ：方程 2 10x mx? ? ? 有两个不等的负实数根；命题 q ：方程 2 2( 2) 1 0x m x? ? ? ?无实根若 “ p 且 q ” 为真命题，求实数 m 的取值范围 18（本小题满分 12 分） 已知等差数列 ?na 中， 2 3 52 20a a a? ? ?，且前 10 项和 10 100S ? . （ I） 求数列 ?na 的通项公式； - 3 - (II)若11nnnb aa?，求数列 ?nb 的前 n 项和 19.（本小题满分 12 分） 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边 分别为 ,abc，满足 (2 ) cos cosb c A a C?
7、 （ I）求角 A 的大小 (II)若 3a? ，求 ABC? 的周长最大值 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22:1xyC ab? （ 0?ba ）的上顶点坐标为 (0, 3) ，离心率为 12 . （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设 P 为椭圆上一点， A 为椭圆左顶点， F 为椭圆右焦点，求 PAPF? 的取值范围 . 21 （本小题满分 12 分） 已知递增的等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a6 64，且 a4， a5的等差中项为 3a3. （ I） 求数列 an的通项公式； - 4 - （ ） 设21n nnb a?，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 22 （
8、本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F(1,0)， O 为坐标原点， A， B 是抛物线 C 上异于 O 的两点 （ I） 求抛物线 C 的方程； （ ） 若直线 OA， OB 的斜率之积为 21? ，求证：直线 AB 过 定点 - 5 - 高二年 数学文科（分值： 150） 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算 .每小题 5 分，满分 60 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B D C B B D A D A D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算 .每小题 5 分，满分 20 分 . 13. 15
9、 14. 1 15. 1816 22 ?yx 16. 32 12.解析 当 1 n24 时， an 0，当 26 n49 时， an 0，但其绝对值要小于 1 n24时相应的值； 当 51 n74 时， an 0；当 76 n99 时， an 0，但其绝对值要小于 51 n74 时相应的值 故当 1 n100 时，均有 Sn 0. 答案 D 16.解析：由题意，双曲线的渐近线方程为 y bax，抛物线的焦点坐标为 F? ?0， p2 .不妨设点A 在第一象限，由? y bax，x2 2py，解得? x 2pba ，y 2pb2a2 ，或? x 0，y 0， 故 A?2pba ，2pb2a2 .
10、所以kAF2pb2a2 p22pba 4b2 a24ab . 由已知 F为 OAB 的垂 心，所以直线 AF 与另一条渐近线垂直，故 kAF ? ? ba 1，即 4b2 a24ab ? ? ba 1，整理得 b2 54a2，所以 c2 a2 b2 94a2，故 c 32a，即 e ca 32. 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解 答应写出文字说明，证明过程或演算过程 . 17.【解析】 p 真12120010x x mxx? ? ? ? ? ? ?2m?， ? 3 分 q 真 ? 0? 13m? ? ? , ? 5 分 p 且 q 为真命题， p 和 q 都为真命题， ?
11、6 分 213m m? ? ? 23m?， ? 8 分 实数 m 的取值范围是 23m?. ? 10 分 - 6 - 18解 (1)由已知得? 2a2 a3 a5 4a1 8d 20，10a1 1092 d 10a1 45d 100， ? 2 分 解得? a1 1，d 2， ? 4 分 an的通项公式为 an 1 2(n 1) 2n 1. ? 6 分 (2)bn 1n n 12 ? ?12n 1 12n 1 ， ? ? 8 分 数列 bn的前 n 项和 Tn 12 ? ?11 13 ? ?13 15 ? ? ?12n 1 12n 1 ?1 0 分 12 （ 1 12n 1） n2n 1.?12
12、 分 19（ I）解 : 法一：由 (2 ) cos cosb c A a C?及正弦定理，得 ( 2 s in s in ) c o s s in c o sB C A A C?3 分 2 s in c o s s in c o s s in c o sB A C A A C? ? ? 2 s in c o s s in ( ) s inB A C A B? ? ? ? (0, )B ? sin 0B? (0, )A ? 1cos 2A? 3A ?6 分 法二：由 (2 ) cos cosb c A a C?及余弦定理，得 2 2 2 2 2 2( 2 ) 22b c a b a cb c
13、ab c b a? ? ? ? ?3 分 整理，得 2 2 2b c a bc? ? ? 2 2 2 1co s 22b c aA bc? (0, )A ? 3A ? ?6 分 - 7 - (II)解：由（ I）得 3A ?，由正弦定理得 3 23s in s in s in 32b c aB C A? ? ? ?所以 2 3 sin ; 2 3 sinb B c C? ABC? 的周长 3 2 3 s in B 2 3 s in (B )3l ? ? ? ? ?9 分 3 2 3 s i n B 2 3 ( s i n B c o s c o s B s i n )33? ? ? ? 3 3
14、 3 sinB 3 cosB? ? ? 3 6sin(B )6? ? ? 2(0, )3B ? 当 3B ? 时， ABC? 的周长取得最大值为 9 20. 【解析】（ ）由题意 得椭圆的方程为 22143xy?.? 5 分 （ ）设 ( , )Pxy ，则 ( 2 , ), (1 , )P A x y P F x y? ? ? ? ? ? ?， ? 7 分 2 2 2 21( 2 , ) ( 1 , ) ( 2 ) ( 1 ) 2 1 ( 2 2 )4P A P F x y x y x x y x x y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、? ? 0,4PA PF? ?12 分 21 解析： (1)设等比数列 an的公比为 q(q 0)， 由题意，得? a1q5 64，a1q3 a1q4 6a1q2， ? 2 分 解得? a1 2，q 2， ? 4 分 所以 an 2n. ? 6 分 (2)因为 bn na2n 1 n22n 1， ? 7 分 所以 Tn 12 223 325 427 ? n22n 1， ? 8 分 14Tn123225327 ? n 122n 1n22n 1， ? 9 分 - 8 - 所以 34Tn 12 123 125 127 ? 122n 1 n22n 112?1 14n1 14 n22n 1 23 4 3
16、n32 2n 1， ?1 1 分 故 Tn 89 16 12n92 2n 1 89 4 3n92 2n 1.?1 2 分 22 解： (1)因为抛物线 y2 2px(p0)的焦点坐标为 (1,0)，所以 p2 1，所以 p 2. 所以抛物线 C 的方 程为 y2 4x. ? ? 4 分 (2)证明： 当直线 AB 的斜率不存在时， 设 A? ?t24， t ， B?t24， t . 因为直线 OA， OB 的斜率之积为 12， 所以 tt24 tt24 12，化简得 t2 32. 所以 A(8， t)， B(8， t)，此时直线 AB 的方程为 x 8. ? 7 分 当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y kx b， A
