1、 1 2017-2018 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（理科） 本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 ,满分 150分 ,考试时间 120分钟 . 第 卷 (选择题 共 60 分 ) 一、选择题 :本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 . 1.直线 MN 的斜率为 2 ，其中点 (1 1)N ?， ，点 M 在直线 1yx? 上，则（ ） .A (57)M， .B (45)M， .C (21)M， .D (23)M ， 2.过原点且与圆 22 4 3 0x y x? ? ? ?相切的直线的倾斜角
2、为（ ） .A 3? 或 23? .B 6? 或 56? .C 4? 或 34? .D 3? 或 56? 3.由直线 2yx? 上的点向圆 22( 4) ( 2) 1xy? ? ? ?引切线，则切线长的最小值为（ ） .A 42 .B 31 .C 33 .D 4 2 1? 4.平面内动点 P 到两点 ,AB距离之比为常数 ( 0, 1)? ? ?， 则动点 P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知 ( 2,0)A? ， (2,0)B ， 12? ，则此阿波尼斯圆的方程为（ ） .A 22 12 4 0x y x? ? ? ? .B 22 12 4 0x y x? ? ? ? .C 22 20 403
3、x y x? ? ? ? .D 22 20+ 4 03x y x? ? ? 5.已知双曲线 2222 1( 0, 0 )yx abab? ? ? ?离心率为 3 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） .A 20xy? .B 20xy? .C 20xy? .D 20xy? 6.已知点 P 在抛物线 2 4xy? 上，则当点 P 到点 (1,2)Q 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ） .A (2,1) .B (2,1)? .C 1( 1, )4? .D 1(1, )4 2 7. 抛物线 22yx? 的焦点到准线的距离是 ( ) .A 2 .B 1 .C 12 .D
4、 14 8.已知动点 ( , )Pxy 满足 225 ( 1 ) ( 2 ) 3 4 1x y x y? ? ? ? ? ?， 则点 P 的轨迹为 （ ） .A 直线 .B 抛物线 .C 双曲线 .D 椭圆 9.已知双曲线方程为 22 14yx ?， 过点 (1,0)P 的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则 L 的条数共有 （ ） .A 4 .B 3 .C 2 .D 1 10.已知 00( , )Px y 是 椭 圆 2 2:14xCy?上 的 一 点 ， 12,FF是 C 的 两 个 焦 点 ， 若120PF PF?，则 0x 的取值范围是（ ） .A 2 6 2 6( , )33? .B
5、 2 3 2 3( , )33? .C 33( , )33? .D 66( , )33? 11. 已知不过原点的直线 l 与 2yx? 交于 ,AB两点，若使得以 AB 为直径的圆过原点，则直线 l 必过点 （ ） .A (01)， .B (10)， .C (02)， .D (10)?， 12. 设双曲线 2222 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?：的左右焦点分别为 12,FF 若在曲线 C 的右支上存在点 P ,使得 12PFF? 的内切圆半径为 a ,圆 心 记为 M ，又 12PFF? 的重心为 G ，满足12MG FF ,则双曲线 C 的 离心率为（ ） .A 2
6、.B 3 .C 2 .D 5 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分， 请 把答案填在答题卡的相应位置上 . 13.点 ( , )Pxy 为椭圆 2 2 19x y?上的任意一点，则 3xy? 的最大值为 _ 14. 已知直线 1 3 1 0l ax y? ? ?： ， 22 2 ( ) 3 0l x a a y? ? ? ?： ， 且 12ll? 已知则 a? _. 3 15.在抛物线 2 16yx? 内，过点 (2,1) 且 被 此点平分的弦所在直线的方程是 _ 16.已知 定圆 ? ?2 23 16M x y? ? ?： ，点 A
7、是圆 M 所在平面内一定点，点 P 是圆 M 上的动点，若线段 PA 的中垂线交直线 PM 于点 Q ,则点 Q 的轨迹可能是 : 椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点；线段 .其中正确的命题序号 为 _ 三、解答题 :本大题共 6 小题 ,共 70 分 ,解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . 17. (本小题满分 10 分 )直线 l 过点 4( ,2)3P ， 且 与 x 轴 ,y 轴的正方向分别交于 ,AB两点 , O 为坐标原点 ， 当 AOB? 的面积为 6 时 ， 求直线 l 的方程 . 18. (本小题满分 12 分 )在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴
8、的非负半轴为极轴建立极坐标系圆 1C 和直 线 2C 的极坐标方程分别为 4sin? ， cos( ) 2 24? (1)求圆 1C 和直线 2C 的直角坐标方程 (2)求圆 1C 和直线 2C 交点的极坐标 19. (本小题满分 12 分 )已知抛物线 2:2C y x? 和直线 :1l y kx?， O 为坐标原点 (1)求证： l 与 C 必有两交点； (2)设 l 与 C 交于 ,AB两点，且直线 OA 和 OB 斜率之和为 1，求 k 的值 20. (本小题满分 12 分 )已知直线 l 的参数方程为 431x t ayt? ? ?（ t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以 O 点
9、为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆 M 的方程为2 6 sin 8? ? ? ? ? (1)求圆 M 的直角坐标方程； 4 (2)若直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ，求实数 a 的值 21.(本小题满分 12 分 )已知点 (0, 2)A ? ,椭圆 2222: 1( 0 )xyE a bab? ? ? ?的离心率为32 ,F 是椭圆的焦点 ,直线 AF 的斜率为 233 , O 为坐标原点 . (1)求 E 的方程 . (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 ,PQ两点 ,当 OPQ? 的面积最大时 ,求 l 的方程 . 22. (本小题满分 12 分 )过椭圆 2
10、2 1 ( 0)xy abab? ? ? ?的左顶点 A 作 斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为 B ，与 y 轴的交点为 C ，已知 613AB BC? . （ ）求椭圆的离心率 ； （ ）设动直线 y kx m?与椭圆有且只有一个公共点 P ，且与直线 4x? 相交于点 Q ，若 x 轴上存在一定点 (1,0)M ，使得 PM QM? ，求椭圆的方程 . 选择题 1-5BBBDD 6-10DDBBA 11-12AC 13 14 15 16 17 直线 的方程为 线或 18 解 :(1)由 , , , 5 ,即为 , 即有 ; ,即为 , 即 , 即有 , ; (2)将直线 和圆的方程
11、联立后 , 即 计算得出直角坐标为 , , 则交点的极坐标为 , (注 :极坐标表示法不唯一 ). 19(1)证明 :联立抛物线 和直线 ,可得 , , 与 C 必有两交点 ; (2)解 :设 , ,则 因为 , ,代入 ,得 因为 , ,代入 得 20（ 1） ， 圆 的直角坐标方程为 ；（ 2）把直线 的参数方程 ( 为参数 )化为普通方程得： ， 直线 截圆 所得弦长为 ，且圆 的圆心 到直线 的距离 或 ， 或 6 21（ 1）设 ，由条件知， ，得 。又 ，所以 ， ，故 的方程为 。 （ 2）根据题意，直线 斜率存在，设 ： ， ， ，将 代入得 。 当 ，即 时， ， 。 从而 。 又点 到直线 的距离 ，所以 的面积 。设 ，则 ， 。因为 ，当且仅当 ，即时等号成立，且满足 。所以，当 的面积最大时， 的方程为或 。 22（ 1）因为 ，设直线方程为 ， ，令 ，则 ，所以 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，整理得 ， ，因为 点在椭圆上，所以，所以 ，所以 ，即 ，所以 。 （ 2）因为 ，可设 ， ，所以椭圆的方程为 ，由得 ，因为动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ，所以 ，即 ，整理得，设 ，则有 ， ，所以 ，又 ， ，若 轴上存在一定点 ，使得，所以 恒成立，整理得所以 恒成立，故 ，所求椭圆方程为 。
