1、 - 1 - 山东省蒙阴县 2017-2018学年高二数学上学期期中试题（学优部） 考试时间： 120分钟；满分 150分 2017.11 第一卷 选择题（共 60分） 一、选择题（每题只有一个正确答案， 12 个小题，每小题 5分，共 60分） 1 不等式 2 2 15 0xx? ? ? ?的解集是 ( ) A. 5, 3x x x ?或 B. | 3 5xx? ? ? C. R D. ? 2 设等差数列 ?na 的前 n项和为 nS ，若 488, 20SS?，则 13 14 15 16a a a a? ? ? ?（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 3 设 a， b为非零
2、实数，且 a b，则下列不等式恒成立的是（ ） A. a2 a b B. a2 b 2 C. 2211ab 4 在 ABC? 中， 02, 2 , 4 5a b A? ? ?，则 B 等于（ ） A. 045 B. 030 C. 060 D. 030 或 060 5 已知等比数列 错误 !未找到引用源。 满足 错误 !未找到引用源。 ，且成等差数列，则公比等于（ ） A. 错误 !未找到引用源。 或 错误 !未找到引用源。 B. 错误 !未找到引用源。 或 错误 !未找到引用源。 C. 错误 !未找到引用源。 D. 错误 !未找到引用源。 6 下列函数中，最小值为 4的是（ ） A. 4yxx
3、? B. 4sin sinyx x?（ 0 x ） C. 4xxy e e? D. y= 2221 1x x? ? 7 以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是（ ） A. 在 ABC? 中， : : s in : s in : s ina b c A B C? B. 在 ABC? 中，若 sin 2 sin 2AB? ，则 ab? C. 在 ABC? 中，若 sin sinAB? ，则 AB? ;若 AB? ，则 sin sinAB? 都成立 D. 在 ABC? 中， sin sin sina b cA B C? ? 8 已知 ABC中， a= 3 ， b=1， B=30，则 ABC 的面积是
4、（ ） A. 32 B. 34 C. 32 或 3 D. 32 或 34 9 ABC? 的内角 A、 B、 C的 对边分别为 a、 b、 c，已知 25 , 2 , c o s 3a c A? ? ?， 则 b? （ ） - 2 - A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 10 定义12 nnp p p? ? ? 为 n 个正数 12, , , np p p 的“均倒数”，若已知数列 ?na 的前 n 项的“均倒数”为 121n? ，又 14nn ab ?，则1 2 2 3 2 0 1 6 2 0 1 71 1 1b b b b b b? ? ? ?（ ） A. 20132014 B. 201
5、42015 C. 20152016 D. 20162017 11 若变量 错误 !未找到引用源。 满足约束条件，则 2z x y?的最大值和最小值的和为 ( ) A. 4 B. 错误 !未找到引用源。 C. 错误 !未找到引用源。 D. 错误 !未找到引用源。 12 已知数列 ?na 满足 2n1 2 3 na a a . a = 2? ? ? ? (n N*)，且对任意 ? ?nN? 都有 taaa n 111 21 ?，则 t的取值范围为（ ） A. （ 13 ， + ） B. 13 ， + ） C. （ 23 ， + ） D. 23 ， + ） 第二卷 非选择题（共 90分） 二、填空题
6、（每小题 5 分，共 20 分） 13 在 ABC? 中，角 A、 B、 C 所对边分别是 a、 b、 c，若 2 2 2 0a b c ab? ? ? ?，则角C? _； 14 数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，? ? ? ?*1 2 2 1 0 01 , 2 , 1 1 ,nnna a a a n N S? ? ? ? ? ? ? ?则_ 15 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平 面内的两个测点 C 与 D测得 BCD=15， BDC=30， CD=40米，并在点 C测得塔顶 A的仰角为 60，则塔高 AB=_米 . - 3 - 16 已知不等式 4 01
7、xm x? ? ? 对一切 ? ?1,x? ? 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 三、解答题 17 (本题满分 10分） 解下列关于 x的不等式 （ 1） 1 32xx? ? ， （ 2） ? ?2220x ax a a R? ? ? ? 18 (本题满分 12分） 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且满足 3c o s sin3b a C c A? . （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若边长 2a? ， 求 ABC? 的面积的最大值 . 19.(本题满分 12 分） 已知等差数列 ?na 的首项 1 1a? ，公差 0d? ，等比数列 ?nb 满足 11ab?
8、， 22ab? ， 53ab? （ 1）求数列 ?na ， ?nb 通项公式； （ 2）设数列 nc 对任意 *nN? ，均有 12112 n nnccc ab b b ? ? ? ?，求数列 ?nc 的前 2017 项和2017S 20 (本题满分 12分） 临沂市博物馆为了保护一 件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体 .该博物馆 需要支付的总费用由两部分组成：罩内该种液体的体积比保护罩的容积少 0.5立方 米，且每立方米液体费用 500元；需支 付一定的保险费用，且支付的保险费- 4 - 用与保护罩容积成反比，当容积为 2立方米时，支付的保险费用为 4000
9、元 . （）求该博物馆支付总费用 y 与保护罩容积 x 之间的函数关系式； （）求当容积为多少立方米时该博物馆支付总费用最 小，其最小值是多少元？ 21.(本题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，且 2 3 2cos cosa c bAB? . （ 1）若 5sinbB? ，求 a ； （ 2）若 6a? ， ABC 的面积为 52 ，求 bc? . 22 (本题满分 12分） 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a? ， *1 2 1,nna S n N? ? ? ?等 差数列 ?nb 中， 2 5b? ，且公差 2d?
10、 （）求数列 ? ? ?,nnab的通项公式； （）是否存在正整数 n ，使得 1 1 2 2 . 6 0nna b a b a b n? ?若存在，求出 n 的最小值；若 不存在，请说明理由 高二上学期 A部数学试题 参考答案 1-5 BACBA 6-10 CBDDD 11-12 BD 13 3?14 2600 15 206 16 5m? 17 试题解析： （ 1） 错误 !未找到引用源。 ?错误 !未找到引用源。 ?错误 !未找到引用源。 ?x（ 2， ；-4分 （ 2） x2 ax 2a2 0（ a R） 解：当 a=0时， x2 0， 解得 x=0-5分 当 a 0 时，原式 ?（ x
11、+a）（ x 2a） 0, 当 a 0 时， -a2a,解得 2ax-a,-9分 综上 当 a=0时，不 等式的解集为 0； 当 a 0 时，不等式的解集为 x a， 2a； 当 a 0 时，不等式的解集为 x 2a， a； -10分 18 试题解析： （ 1） 3c o s sin3b a C c A? ，得 3s in s in c o s s in s in3B A C C A?， 即 ? ? 3s in s in c o s s in s in3A C A C C A? ? ?， -2分 得 3s in c o s s in s in3C A C A? ， -3分 sin 0C? ，
12、3cos sin3AA? -4分 ? ?t a n 3 , 0 , , 3A A A ? ? ? ? ?-6分 （ 2） 2 2 2cos 2b c aA bc? ，即 224b c bc? ? ? ， ? ?2 43b c bc? ? ? ， ? ? ? ? 223 4 2 4b c b c b c? ? ? ? ? ?，即 4bc? （当 bc? 时等号成立）， -9分 1 3 3s in 4 32 4 4ABCs b c A b c? ? ? ? ? ? ABC? 的面积最大值为 3 。 -12 分 （第二小题也可采用正弦定理结合三角函数性质来解决最值问题，照样给分） 19 试题解析：
13、（ 1） ? ?nbq设 公 比 为 ,则2114dqdq? ? ，解得2d? 21nan? ? ? -3分 2 2 1 1 13 , 13 , b 3 nnb a b aq? ? ? ? ? ? ? -5分 - 6 - （ 2） 12112 n nnccc ab b b ? ? ? ? -1121 2 -1n nnccc ab b b? ? ? ? ? ?2n? -7分 -得1 2n nnnc aab ? ? ? ?1*2 2 3 2 ,nnnc b n n N? ? ? ? ? ? -9分 1 3c?又 ? ?1*31 2 3 2 ,n n nc n n N? ? ? ? ?（ ）-10分
14、 ? ?1 2 11 2 3 3 2 3 3 3 nnnS c c c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=3n 20172017 3S? -12 分 （未讨论首项扣两分，结果是 20172017 3 -1S? ） 20 （） 80005 0 0 2 5 0yx x? ? ? （）博物馆支付总费用的最小值为 3750元 解：（）由题意设支付的保险费用1 ky x?，把 2x? ， 1 4000y ? 代入，得 8000k? . 则有支付的保险费用1 8000y x?（ 0.5x? ）， -2分 保护液体的费用 2y = ? ?500 0.5x? ， -4分 - 7 - 故总费用 ? ?
15、12 8 0 0 0 8 0 0 05 0 0 0 . 5 5 0 0 2 5 0y y y x xxx? ? ? ? ? ? ? ?，（ 0.5x? ） -6分 （）因为 80005 0 0 2 5 0yx x ? ? ? 80002 5 0 0 2 5 0 3 7 5 0xx? ? ?-9分当且仅当 8000500x x? 且 0.5x? ， 即 4x? 立方米时不等式取等号， -11分 所以，当 4x? 时 博物馆支付总费用的最小值为 3750 元 .-12分 21（ 1） ；（ 2） 4bc? . 试 题 解 析 ： （ 1 ） 由 正 弦 定 理 得 ： 2 3 2 2 s i n
16、3 s i n 2 s i nc o s c o s c o s c o sa c b A C BA B A B? ? ?， ? ?1 分 即 2 s i n c o s 3 s i n c o s 2 s i n c o sA B C A B A?， ?2 分 ， ?3 分 sin 0C? ， 2cos 3A? ，则 5sin 3A? ， ?5 分 5sinbB? ， 由正弦定理得： 5sin sin 3baA B? ? ?.?6 分 （ 2） ABC 的面积为 52 ， 15sin22bc A? ，得 3bc? ， ?7 分 6a? ， 224 63b c bc? ? ?， ?9 分 ?
17、?2 10 63b c bc? ? ?，即 ? ?2 16bc?， ?11 分 00bc?， ， 4bc? .?12 分 考点 ：正余弦定理的应用 . 22 （ 1） 13nna ? ， 21nbn?；（ 2） 4 试题解析：（） 1 21nnaS? ?， ?当 2n? 时， -12 +1nnaS? 两式相减得， - 8 - ? ?+1 =3 2nna a n ? ， ? ?1 32nna na? ? ?-2分 又 ? ?*2 1 1 12 1 3 3 , 3nna a a a a n N? ? ? ? ? ? ?， ? ?1 3nna nNa ? ? ? ?数列 ?na 是以 1为首项， 3 为公比的等
