1、 1 2017-2018 学年高二上学期期中考试 数学试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.a ， Rb? ，下列命题正确的是（ ） A若 ba? ，则 22 ba? B若 ba? ，则 22 ba? C若 ba? ，则 22 ba? D若 ba? ，则 22 ba? 2.点（ 3,1）和点（ -4,6）在直线 023 ? ayx 两侧，则 a 的范围是（ ） A 7?a 或 24?a B 247 ? a C 7?a 或 24?a D 724 ? a 3.在等差数列 ?na
2、中， 01?a ，公差 0?d ，若 921 aaaam ? ? ，则 m 的值为（ ） A 37 B 38 C 19 D 36 4.几何原本卷 2的几何代数法（用几何 方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明” .现有如下图形： AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆周上， ABCD? 于点 C ，设aAC? ， bBC? ，直接通过比较线段 OD 与线段 CD 的长度可以完成的“无字证明”为（ ） A )0,0( ? mababma mbB )0,0)(2222 ? bababa C. )0,0(2
3、 ? baabba abD )0,0(2 ? baabba 5. ABC? 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .若 a ， b ， c 成等比数列，且 ac 2? ，则?Bcos （ ） A 41 B 43 C. 42 D326.若实数 x ， y 满足?3002xyxyx ，则 yxz 2? 的最小值为（ ） 2 A -7 B -3 C.1 D 9 7.已知各项为正的等比数列 ?na 中， 4a 与 14a 的等比中项为 22 ，则 1172 aa? 的最小值为（ ） A 1 B 8 C. 22 D 4 8.在 ABC? 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为
4、 a ， b ， c ，若 6)( 22 ? bac ，3?C，则 ABC?的面积为（ ） A 3 B 239 C. 233 D 33 9.若关于 x 的不等式 0242 ? axx 在区间（ 1,4）内有解，则实 数 a 的取值范围是（ ） A 2?a B 2?a C. 6?a D 6?a 10.在 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， S 表示 ABC? 的面积，若CcAbBa sincoscos ? ， )(41 222 acbS ? ，则 B? =（ ） A ?90 B ?60 C. ?45 D ?30 11.定义npppn ? ?21为 n 个正
5、数 1p ， 2p ， np 的“均倒数”，若已知数列 ?na 的前 n 项的“均倒数”为121?n，又 41? nn ab，则 ?201620153221111 bbbbbb ? （ ） A20142013B20152014C.20162015D2015112.已知 0?ba ，则babaa ? 14的最小值为（ ） A 2103 B 4 C. 32 D 23 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13.在 ABC? 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 2?b ， 1?c ， ?45B ,则角 C的值是 14.已知
6、在等比数列 ?na 中，各项均为正数，且 11?a ， 7321 ? aaa ，则 ?10S （填数值） 15.对于使 Mxf ?)( 成立的所以常数 M 中，我们把 M 的最小值叫做 )(xf 的上确界，若正数a ， Rb? 且 1?ba ，则 ba 221? 的上确界为 16.给出下列命题： 3 ABC? 中角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ba? ，则 BA coscos ? ； a ， Rb? ，若 ba? ，则 33 ba? ； 若 ba? ，则xa xbab ?； 设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 112016 ?SS ，则 12017
7、?S . 其中正确命名的序号是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知 a ， b ， c 分别是 ABC? 中角 A ， B ， C 的对边，且 CbBc cos3sin ? . （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 3?c ， BA sin2sin ? ，求 ABC? 的面积 ABCS? . 18. 等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 93?a ， 606?S . （ 1） 求数列 ?na 的通项公式； （ 2） 若数列 ?nb 满足 )(1 ? ? Nnabb nnn 且 31?b ，且数列?nb1的前 n
8、项和 nT . 19. 已知函数 )(1)( 2 Raaxaxxf ? . （ 1） 若对任意实数 x ， 0)( ?xf 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2） 解关于 x 的不等式 32)( ? xxf . 20. 在 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 0)cos(3sin ? CAaAb . （ 1） 求角 B 的大小； （ 2） 若 1?ca ，求边 b 的取值范围 . 21. 某科研小组研究发现：一棵水果树的产量 w (单位 :百千克 )与肥料费用 (单位 :百元 )满足如下关系 : ?)52(1 34)20(121)( 2xxxxx
9、? .此外 ， 还需要投入其它成本 (如施肥的人工费等 )x2 百元 .已知这种水果的市场 售价为 16元 /千克（即 16百元 /百千克），且市场需求始终供不应求 .记该棵水果树获得的利润为 )(xL （单位：百元） . （ 1） 求 )(xL 的函数关系式； （ 2） 当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 22.已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，点 ),( nSn 在函数 xxxf 42)( 2 ? 图像上； 4 （ 1） 证明 ?na 是等差数列； （ 2） 若函数 xxg ?2)( ，数列 ?nb 满足 )(ngbn? ，记 nnn bac ?
10、，求数列 ?nc 前 n 项和 nT ； （ 3） 是否存在实数 ? ，使得当 ?x 时，14)( 2 ? naxxxf n对任意 ?Nn 恒成立？若存在，求出最大的实数 ? ，若不存在，说明理由 . 试卷答案 一、选择题 1-5:BBADB 6-10: ABCAC 11、 12： CD 二、填空题 13. ?30 14.1023 15. 29? 16. 三、解答题 17.解析：（ 1）由 CbBc cos3sin ? 及正弦定理CcBb sinsin ?， 得 CC cos3sin ? ，所以 3tan ?C ，又 ?C0 ，故3?C. （ 2）由 BA sin2sin ? 及BbAa si
11、nsin ?，得 ba 2? . 由 3?c 及余弦定理 Cabbac cos2222 ? ， 得 abba ? 229 .所以 32?a ， 3?b . 故 2 332333221si n21 ? CabS ABC. 18. 解析：（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 d ， 93?a? ， 606?S ，? ? ? 602 5669211 da da ， 解得? ? 251da， 322)1(5 ? nna n （ 2） 321 ? nabb nnn? ， 31?b ，当 2?n 时， 1121 )()( bbbbbb nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33123)2(23)1(
12、2 ? ?nn nnnnn 232 )1(2 2 ? 当 1?n 时， 31?b 适合上式，所以 nnbn 22? . 5 )211(21)2( 11 ? nnnnbn ? ? ? ? ? ? ? 21111115131412131121 nnnnT n ? )2(2 1)1(2 143211121121 ? ? nnnn19. （ 1）当 0?a 时， 01)( ?xf 恒成立； 当 0?a 时，要使对任意实数 x ， 0)( ?xf 恒成立，需满足? ? ? 0)1(4)( 02 aa a， 解得 04 ? a ，故实数 a 的取值范围为 04 ? a . （ 2）由不等式 32)( ?
13、xxf 得 02)2(2 ? xaax ， 即 0)1)(2( ? xax . 方程 0)1)(2( ? xax 的两根是 11?x ， )0(22 ? aax. 当 0?a 时， 02?a 02?a，不等式的解为ax 2?或 1?x ； 当 0?a 时，不等式的解为 1?x ； 当 20 ?a 时，a21?不等式的解为ax 21 ?； 当 2?a 时，a21?，不等式无解； 当 2?a 时，a21?，不等式的解为 12 ?xa. 20. （ 1）由已知得： 0cos3sin ? BaAb ，由正弦定理，得 0co ssin3sinsin ? BABA ， 0sin ?A? ，则 0cos3s
14、in ? BB ，即 3tan ?B ，又 ),( ?oB? ，则 3?B . （ 2） 1?ca? ，即 ac ?1 ， 21cos ?B ， ?由余弦定理得： Baccab cos2222 ? ，即 )1(313)( 2222 aaaccaaccab ? 41)21(3 2 ? a ，由 10 ?a ，得 141 2?b ， 121 ?b . 21. 解析：（ 1）? ?)52(31 4864)20(31682)(16)( 2xxxxxxxxxwxL （ 2）当 20 ?x 时 42)2()( max ? LxL 6 当 52 ?x 时 43)1(3148267)1(31867)( ? ?
15、 xxxxxL当且仅当 )1(3148 ? xx时，即 3?x 时等号成立 . 答：当投入肥料费用为 300 元时，种植该果 树获得的最大利润为 4300元 . 22. 解析：（ 1）由题意， nnSn 42 2? ，当 1?n 时， 611 ?Sa ， 2?n 时， ? ?)1(4)1(2)42( 221 ? ? nnnnSSa nnn ， 当 1?n 时， 62411 ? Sa ，也适合上式 ?数列 ?na 的通项公式为 24 ? nan ， ?Nn ； ?na 是等差数列 . （ 2） ?函数 xxg ?2)( ， ?数列 ?nb 满足 nn ngb ? 2)( ， 又 nnn bac
16、? ， nn nT ? ? 2)24(21421026 321 ?， )1(32 2)24(2)24(2102621 ? ? nnn nnT ?， -得： nnnn nnT ? ? 21)52(52)24()222(42621 1321 ?， 121)52(10?nn nT. （ 3）假设存在实数 ? ，使得当 ?x 时， 014)( 2 ? naxxxf n对任意 ?Nn 恒成立， 即142 ? naxx n任意 ?Nn 恒成立， 24 ? nan? ， 1241241 ? nnnnac nn 是递增数列， 所以只要 12 4 cxx ? ，即 0342 ? xx ，解得 1?x 或 3?x . 所以存在最大的实数 1? ，使得当 ?x 时， ncxf ?)( 对任意 ?Nn 恒成立 .
