1、 1 2017 2018学年度第一学期期中考试 高二数学（理）试题 2017.11 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若直线 ax 2y 3a 0与直线 3x (a 1)y 7 a平行，则实数 a ( ) A 3 B 2 C 2或 3 D 3或 2 2.直线 ax y 2a 0与圆 x2 y2 9的位置关系是 ( ) A相离 B相切 C相交 D不确定 3. 如图是一几何体的直观图、正视图和 俯视图在正视图右 侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是 ( ) 4已知 l， m表示两条不同的直线， 表示平面，
2、则下列说法正确的是 ( ) A若 l ， m? ，则 l m B若 l m， m? ，则 l C若 l m， m? ，则 l D若 l ， m? ，则 l m 5. 已知圆 C1： (x 1)2 (y 1)2 1，圆 C2与圆 C1关于直线 l： x y 1 0对称，则圆 C2的方程为 ( ) A (x 2)2 (y 2)2 1 B (x 2)2 (y 2)2 1 C (x 2)2 (y 2)2 1 D (x 2)2 (y 1)2 1 6. 正六棱柱的底面边长为 2，最长的一条对角线长为 2 5，则它的表面 积为( ) A 4(3 3 4) B 12( 3 2) C 12(2 3 1) D 3
3、( 3 8) 7. 过点 (0， 1)的直线 l与半圆 C： x2 y2 4x 3 0(y 0)有且只有一个交点，则直线 l的斜率 k的取值范围为 ( ) A.? ? 340 kkk 或B.? ? 131 kkC.? ? 13134 kkk 或D.? ? 13134 kkk 或2 8. 直线 l： ax by 0和圆 C： x2 y2 ax by 0在同一坐标系的图形只能是 ( ) 9. 已知四边形 ABCD， ?BAD=120， ?BCD=60， AB AD，则 AC的最大值为（ ） A 33 B C 33 D 10. 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若
4、AB 3， AC 4， AB AC， AA1 12，则球 O的半径为 ( ) A.3 172 B 2 10 C.132 D 3 10 11. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A233 B236 C113 D103 12. 已知点 P(x， y)是直线 kx y 4 0(k0)上一动点， PA， PB是圆 C： x2 y2 2y 0的两条切线， A， B是切点，若四边形 PACB的最小 面积是 2，则 k的值为 ( ) A 3 B. 212 C 2 2 D 2 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 若圆 C的半径为 1，其圆心与点 (1,0
5、)关于直线 y x对称，则圆 C的标准方程为 _ 14已知 l1， l2是分别经过点 A(1,1)， B(0， 1)的两条平行直线，则当 l1， l2间的距离最大时，直线 l1的方程是 _ 15已知在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB 90 ， AA1 2， AC BC 1，则异面直线 A1B与 AC所成角的余弦值是 _ 16. 四棱 锥 P ABCD? 底面是一个棱长为 2的菱形，且 ?DAB=60，各侧面和底面所成角均为 60，则此棱锥内切球体积为 . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10分） 求与点 P(4,
6、3)的距离为 5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程 1 1 2 2 2 2 2 正视图 侧视图 俯视图 3 18.（本小题满分 12分） 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面， AB BC， E， F分别是 A1C1， BC 的中点 (1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1； (2)求证： C1F平面 ABE. 19. （本小题满分 12 分） 光线通过点 A(2,3)，在直线 l： x y 1 0上反射，反射光线经过点 B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程 20.（本小题满分 12分） 已知四棱锥 PABCD如图所示， AB CD， BC CD， AB BC
7、2， CD PD 1， PAB为等边三角形 (1)证明： PD平面 PAB； (2)求二面角 PCBA的余弦值 4 21.（本小题满分 12分） 如图，在直角梯形 ABCP 中， CP AB， CP CB， AB BC 12CP 2， D 是 CP 中点，将 PAD 沿 AD折起，使得 PD面 ABCD. (1)求证：平面 PAD平面 PCD； (2)若 E 是 PC 的中点，求三棱锥 APEB 的体积 22.（本小题满分 12分） 已知 P是直线 3x 4y 8 0上的动点， PA， PB 是圆 C： x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线， A，B是切点 (1)求四边形 PACB面积的最
8、小值； (2)直线上是否存在点 P， 使得 APB 60 ？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由 5 2017 2018学年度第一学期期中考试 高二数学（理）试题答案 2017.11 一、 选择题 :（ 5*12=60） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C B A A B C D B C D D 二、 填空：（ 5*4=20） 13. ? ? 11 22 ? yx 14. 032 ? yx 15. 66 16. 6? 三、 解答题： 17:(本小题满分 10分 ) 解： 设所求直线方程为 y kx或 xa ya 1(a 0) 对于 y kx,5 |4k 3|
9、k2 ( 1)2， 9k2 24k 16 0， 解之得 k 43. 对于 x y a,5 |4 3 a|12 12 ， 解之得 a 7 5 2或 7 5 2. 故所求直线方程为 y 43x或 x y 7 5 2 0或 x y 7 5 2 0. 18： (本小题满分 12分 ) 证明： (1)由题设知， B1B AB， 又 AB BC， B1B BC B，所以 AB平面 B1BCC1. 因为 AB?平面 ABE， 所以平面 ABE平面 B1BCC1. (2)取 AB中点 G，连接 EG， FG. 因为 E， F分别是 A1C1， BC的中点， 所以 FG AC，且 FG 12AC. 6 因为 A
10、C A1C1，且 AC A1C1， 所以 FG EC1，且 FG EC1， 所以四边形 FGEC1为平行四边形， 所以 C1F EG. 又因为 EG?平面 ABE，所以 C1F平面 ABE. 19： (本小题满分 12分 ) 解： 设点 A(2,3)关于直线 l的对称点为 A (x0， y0)，则? 2 x02 3 y02 1 0，y0 3x0 2 1，解得 A ( 4， 3) 由于反射光线所在直线经过点 A ( 4， 3)和 B(1,1)，所以反射光线所 在直线的方程为 y 1 (x 1) 1 31 4，即 4x 5y 1 0. 解方程组? 4x 5y 1 0，x y 1 0， 得反射点 P
11、? 23，13 . 所以入射光线所在直线的方程为 y 3 (x 2)3 132 23，即 5x 4y 2 0. 20： (本小题满分 12分 ) (1)证明：如图，连接 BD. 易知在梯形 ABCD中， AD 5，而 PD 1， AP 2， 所以 PD2 AP2 AD2， 则 PD PA， 同理 PD PB， 又 PA PB P，故 PD平面 PAB. (2)解： 如图，取 AB的中点 M，连接 PM， DM，作 PN DM，垂足为 N， 再作NH BC，垂足为 H，连接 PH. 由 (1)，得 AB平面 DPM，则 平面 ABCD平面 DPM，所以 PN平面 ABCD，所以 PN BC， P
12、N NH. 又 NH BC， PN NH N，所以 BC平面 NPH， 即 NHP是二面角 PCBA的平面角 在 Rt HNP中， PN 32 ， NH 1， 7 则 PH 72 ， cos NHP NHPH 2 77 ， 即二面角 PCBA的余弦值为 2 77 . 21： (本小题满分 12分 ) (1) 证明： PD底面 ABCD， PD AD. 又由于 CP AB， CP CB， AB BC， ABCD是正方形， AD CD， 又 PD CD D，故 AD平面 PCD, AD?平面 PAD， 平面 PAD平面 PCD. (2)解： AD BC，又 BC?平面 PBC， AD?平面 PBC
13、， AD平面 PBC， 点 A到平面 PBC的距离即为点 D到平面 PBC的距离 又 PD DC， E是 PC 的中点， DE PC. 由 (1)知有 AD平面 PCD， AD DE. 由题意得 AD BC，故 BC DE. 于是，由 BC PC C，可得 DE平面 PBC. DE 2， PC 2 2， 又 AD平面 PCD， AD CP， AD BC， CP BC， S PEB 12S PBC 12 ? ?12 BC PC 2， VAPEB VDPEB 13 DE S PEB 23. 22： (本小题满分 12分 ) 解： (1)如图，连接 PC，由 P点在直线 3x 4y 8 0上，可设
14、P点坐 标为 ? ?x， 2 34x . 因为圆 C的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 1， 所以 S 四边形 PACB 2S PAC 2 12 |AP| |AC| |AP|. 8 因为 |AP|2 |PC|2 |CA|2 |PC|2 1，所以当 |PC|2 最小时， |AP|最小因为 |PC|2 (1 x)2?1 2 34x2?54x 12 9.所以当 x 45时， |PC|2min 9.所以 |AP|min 9 1 2 2，即四边形 PACB面积的最小值为 2 2. (2)假设直线上存在点 P满足题意 因为 APB 60 ， |AC| 1，所以 |PC| 2. 设 P(x， y)，则 ? (x 1)2 (y 1)2 4，3x 4y 8 0， 整理可得 25x2 40x 96 0， 所以 402 4 25 960. 所以这样的点 P是不存在的
