1、 - 1 - 四川省成都市 2012-2013 学年高二数学上学期期中试题 参考公式 ： S Ch正 棱 柱 或 圆 柱 侧 ； 12S Ch?正 棱 锥 或 圆 锥 侧 ； 24SR?球 面 ；1 )2S C C h? 下正 棱 台 或 圆 台 侧 上 （； V Sh柱 体 ； V Sh锥 体 1 3 ； 343VR?球 ； 13V S S S S h下 下台 体 上 上 （ ）。 一、选择题（本大题 12 个小题，每题 5 分，共 60 分 ,请将答案涂在答题卷上 ) 1在空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（ ） A、必定 4 个 B、 4 个或 1个 C、 3 个或
2、 1个 D、 1个、 3 个、 4 个都有可能 2一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（ ） 3已知 空间四边形 ABCD ，连接 ,ACBD 。设 G 是 CD 的中点，则 ? )(21 BCBDAB （ ） A、 AG B、 CG C、 BC D、 BC21 4已知三条直线 ,mnl ，三个平面 ,? 。下面四个命题中，正确的是（ ） A、 /? ? ? ?B、 /m llm? ? ?C 、 / /m mnn ? ?D 、/m mnn ? ? ? 5已知 ? ? ? ?1 ,1 , , 2 , ,a t t t b t t? ? ? ?，则 ba? 的最小值是（
3、 ） A、 55 B、 555 C、 553 D、 511 6 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 棱长为 a ， E 是 1CC 的中点，则 E 到直线 1AB的距离为（ ） A、 a33 B、 a26 C、 a25 D、 a423 7 在 ABC 中， sin2Asin 2B sin2C sinBsinC，则 A 的取值范围是 ( ) A、 6,0( ? B、 ),6 ? C、 3,0( ? D、 ),3 ? 8 如果一个圆柱，一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为（ ） A、 6:5:4 B、 5:4:3 C、 3:2:1 D、 4:2:1
4、C B D A 侧视图 正视图 - 2 - 9 已知二面角 a? 的大小为 3? ，若平面 ? 内一点 A 到平面 ? 的距离为 3 ，则 A 在平面 ? 内的射影 1A 到平面 ? 的距离是（ ） A、 3 B、 2 C、 1 D、 23 10 若三棱锥 A BCD? 侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与 ABC? 组成的图形可能是（ ） 11 如图，正方体 1111 DCBAABCD ? 中， E 是棱 1DD 的中点， F 是 侧面 11CCDD 上的动 点，且 FB1 /平面 BEA1 ，则 FB1 与平面 11CCDD 所成
5、角的正切值构成的集合是 ( ) A、 2 B、 552 C、 222| ?tt D、 2552| ?tt 12 某几何体的一条棱长为 11 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影 是 长为 10 的线段，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为 x 和 y 的线段，则 xy? 的最大值为（ ） A、 22 B、 23 C、 4 D、 26 二填空题（本大题 4 个小题，每题 4 分，共 16 分，请 把答案填在 答题卷上 ） 13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是 直角梯形（如右图所示）， 4 5 , 1 ,A B C A B A D C D B C? ?
6、 ? ? ?， 则这块菜地的面积为 _。 14. 空间四边形 ABCD 中， 8, ,AB CD M N? 分别是 ,BDAC 的中点，若异面直线 AB 与CD 所成角为 60 ，则 _MN ? 。 15. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， 0AB BD? 且 2221AB BD?，沿 BD 折成直二面角 A BD C?， 则三棱锥 A BCD? 的外接球表面积为 _。 16 设 xbxaxf 2co s2sin)( ? ，其中 0, ? abRba 。 若 |)6(|)( ? fxf 对一切 Rx? 恒成立，则 0)1211( ?f ； |)5(|)107(| ? ff ； )(xf
7、既不是奇函数也不是偶函数； )(xf 的单A B C A B C A B C A B C P P A P P B C D A B(O) D C x y A B C D A B C D A B C D D1 A1 B1 C1 - 3 - 调递增区间是 )(,32,6 Zkkk ? ； 存在经过点 ),( ba 的直线与函数 )(xf 图像不相交 以上结论正确的是 _(写出所有正确结论的编号 ) 三解答题：（ 本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. （ 12 分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部为底 面是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱
8、台 1 1 1 1A B C D ABCD? 。上部为一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等矩形的四棱 柱 2 2 2 2ABCD A B C D? 。 （ 1）证明：直线 11BD? 平面 22ACCA 。 （ 2）现需要对该零件表面进行防腐处理，已知 1 1 2 11 0 , 2 0 , 3 0 , 1 3A B A B A A A A? ? ? ?（单位：厘米）每平方厘米的加工处理费为 0.20 元，需加工 处理费多少元？ 18. （ 12 分） 如图所示，四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 为一直角梯形，其中,AB AD CD AD? 2CD AD AB?， PA? 底面 AB
9、CD ， E 是 PC 的中点。 （ 1）求证： /BE 平面 PAD ； （ 2）若 BE? 平面 PCD ，求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值。 19. （ 12 分 ） 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc ，A B C D A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 B A C P D E - 4 - (sin sin ,1),m A C? ( , sin ),n p B? ,m n p R?且 ，又 214ac b? 。 （ ）当 5,14pb?时，求 ,ac的值； （ ）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围； 20.（ 12 分） 如图，在棱长为 1
10、的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， P 是侧棱 1CC 上的一点，CP m? 。 （ 1）试确定 m ，使得直线 AP 与平面 11BDDB 所成角的正切值 为 32。 （ 2）在线段 11AC 上是否存在一定点 Q ，使得对任意的 m ， 1DQ在平 面 1APD 内的射影垂直于 AP ，并证明你的结论。 21（ 12 分）在正三角形 ABC 中， ,EFP 分别是 ,AB AC BC 边上的点，满足：:AE EB CF FA? : 1:2CP PB?（如图甲），将 AEF? 沿 EF 折成到 1AEF? 的位置，使二面角1A EF B?成直二面角，连接 11,ABAP
11、 （如图乙）。 （ 1）求证： 1AE? 平面 BEP ； （ 2）求二面角 1B AP F?的余弦值； （ 3）求点 F 到平面 1ABP 的距离。 22 （ 14 分）已知 ABC? 和 DBC? 是两个有公共斜边的直角三角形， 并且2,AB AD AC a? ? ? 6CD a? 。 A B C D A1 B1 C1 D1 P A B C P E F B P C F E A1 - 5 - （ 1） 若 P 是 AC 边上的一点，当 PBD? 的面积最小时，求 二面角 B PD C?的 正切 值 ； （ 2） 在 （ 1） 的条件下，求 点 C 到平面 PBD 的距离 ； （ 3） 能否找
12、到一个球，使 , , ,ABCD 都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接正三棱柱的侧面积的最大值。 高 2014 级半期考试数学试题 注意事项： 1、本堂考试 120 分钟，满分 150 分。 2、答题 前，请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上，并使用 2B 铅笔填涂。 3、请将所有试题的答案写在答题卷相应位置，考试结束后，请 考生将答题 卷交回。 A B C D P - 6 - 6正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 棱长为 a ， E 是 1CC 的中点，则 E 到直线 1AB的距离为（ ）D A、 a33 B、 a26 C、 a25 D、 a423 7
13、在 ABC 中， sin2Asin 2B sin2C sinBsinC，则 A 的取值范围是 ( C ) A、 6,0( ? B、 ),6 ? C、 3,0( ? D、 ),3 ? 【解析】 根据正弦定理有 a2 b2 c2 bc，由余弦定理可知 a2 b2 c2 2bccosA，所以 b2c2 2bccosA b2 c2 bc，即有 cosA 12，所以角 A 的取值范围为 3,0( ? ，选择 C. - 7 - 二填空题（本大题 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，请 把答案填在答题卷上 ） 13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是 直角梯形（如右图所示），
14、4 5 , 1 ,A B C A B A D C D B C? ? ? ? ?，则这 块菜地的面积为 _。 22 2? 14. 空间四边形 ABCD 中， 8, ,AB CD M N? 分别是 ,BDAC 的中点，若异面直线 AB 与CD 所成角为 60 ，则 _MN ? 。 43或 4 15. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， 0AB BD? 且 2221AB BD?，沿 BD 折成直二面角 A BD C?， A B(O) D C x y A B C D A B C D - 8 - 则三棱锥 A BCD? 的外接球表面积为 _。 ? 16 设 xbxaxf 2co s2sin)( ?
15、，其中 0, ? abRba 。 若 |)6(|)( ? fxf 对一切 Rx? 恒成立，则 0)1211( ?f ； |)5(|)107(| ? ff ； )(xf 既不是奇函数也不 是偶函数； )(xf 的单调递增区间 是 )(,32,6 Zkkk ? ； 存在经过点 ),( ba 的直线与函 数 )(xf 图像不相交 以上结论正确的是 _( 写出所有正确结论的编号 ) 处理费为： 2420 0.20 484?元 18. （ 1 2 分） 如图所示，四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 为一直角梯形，其中,AB AD CD AD? 2CD AD AB?， PA? 底面 ABCD ， E
16、 是 PC 的中点。 （ 1）求证： /BE 平面 PAD ； （ 2）若 BE? 平面 PCD ，求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值。 解：（ 1）取 PD 中点 F ，可证 ABEF 为平行四边形 /BE AF? ， BE? 平面 PAD ， ? /BE 平面 PAD （ 2）取 CD 中点 G ， EGA? 为所求 设 AB a? ，则 2 2 , 2 , 5P D a E G a A G a? ? ?， 1 32AE PC a? ? 10cos 5EGA? B A C P D E B - 9 - 解：（ 1）建系，平面 11BDDB 的一个法向量 ? ? ? ?1,1, 0 ,
17、 1,1,A C A P m? ? ? ? 2222c o s , , s in2 2 2A C A P mm? ? ? ? ?， 21ta n 3 2 , 3mm? ? ? ? ? （ 2）由题意知， 1AP DQ? 。设 1 1 1,AQ AC? ? ? ? ?1, , 1 1,1, 0x y z ? ? ? ? ?， A B C D A1 B1 C1 D1 P - 10 - 11xyz? ? ? ?11 , ,1 , 1 , , 0Q D Q? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?1,1,AP m? 1 1 1 10 , , , ,12 2 2A P D Q Q? ? ? ? ? ? ? ?110 300 30m A P x y zm A F yz? ? ? ? ? ? ? ?，令 23z? ， ? ?0,1, 3m? 来 源 :Z#xx#k.Com 77c o s , , c o s88nm ? ? ? ? ? （ 3） ? ? 31 , 0 , 0 ,4P F nP F dn? ? ? ? ?
