1、 1 2017 学年第一学期期中考试卷 高二数学 提示：本试卷的所有答案均涂、写在答题纸上 一、 选择题（每小题 5分，共 50分） 1.圆 x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 ( ) A (2， 3) B ( 2， 3) C ( 2， 3) D (2， 3) 2.准线方程为 y 4的抛物线的标准方程是 ( ) A x2 16y B x2 8y C x2 16y D x2 8y 3.在下列命题中， 不是 公理的是 ( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重
2、合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4.如图 ,某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形 ,且其体积为 ,则该几何体的俯视图可以是 ( ) 5.如图是某个正方体的侧面展开图 ,l1,l2是两条侧面的对角线 ,则在正方体中 ,l1与 l2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为 D.相交且夹角为 6.已知双曲线 C： x2a2y2b2 1( )a0， b0 的离心率为52 ，则 C的渐近线方程为 ( ) A y 14x B y 13x C y 12x D y x 7.“ m n 0” 是 “ 方程 mx2 ny2 1表示焦点在 y轴上的椭圆
3、” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8.设 F1( c， 0)， F2(c， 0)分别是椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点，若在直线 xa2c上存在点 P，2 使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A.? ?0， 22 B.? ?0， 33 C.? ?22 ， 1 D.? ?33 ， 1 9.斜率为 1的直线 l与椭圆 x24 y2 1相交于 A， B两点，则 |AB|的最大 值为 ( ) A 2 B.4 55 C.4 105 D.8 105 10.已知 F 为抛物线 y2 x 的焦点，点
4、A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， OA OB 2(其中 O 为坐标原点 )，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 ( ) A 2 B 3 C.17 28 D. 10 二、 填空题（每空 4分，共 32分） 11.若抛物线 y2 2px 的焦点坐标为 (1， 0)，则 p _；准线方程为 _ 12.给出下列命题： 空间四点共面，则其中必有三点共线； 空间四点不共面，则其中任何三点不共线； 空间四点中有三点共线，则此四点必共面； 空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面其中正确命题的序号是 _ 13.长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AA1 2， AD 1， E为 CC
5、1的中点， 则异面直线 BC1与 AE所成角的余弦值为 _ 14设 a 0且 a1 ，则 “ 函数 f(x) ax在 R上是减函数 ” 是 “ 函数 g(x) (2 a)x3在 R上是增函数 ”的 _条件 . 15.过椭圆 x216y24 1内一点 P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是 _ 16.P是曲线 y2 ax上一个动点， a0 ， Q和 P关于点 (1， 1)对称，则点 Q的轨迹方程为 _ 17.在抛物线 y x2上关于 直线 y x 3对称的两点 M， N的坐标分别为 _ 三、解答题 18.（本题满分 14分） 已知 p： x R， f(x) |x 2| |x| m恒成立；
6、 q： g(x) log(5m 2)x在 (0，) 内为单调增函数 .当 p， q有且仅有一个为真命题时，求 m的取值范围 . (答案写在答题纸上 ) 3 19.（本题满分 12 分） 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P， Q 分别是 DD1， CC1的中点 求证： (1)PO 面 D1BQ； (2)平面 D1BQ 平面 PAO. (答案写在答题纸上 ) 20.（本题满分 12分） 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形， OA底 面 ABCD， OA 2， M为 OA的中点 . (1)求四棱锥 O ABCD 的体积；
7、(2)求异面直线 OC与 MD所成角的正切值的大小 . (答案写在答题纸上 ) 21.（本题满分 15 分） 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 P在 x轴上截得线段长为 2 2，在y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P的轨迹方程； (2)若 P点到直线 y x的距离为 22 ，求圆 P的方程 (答案写在答题纸上 ) 22.（本题满分 15分） 椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别是 F1、 F2，离心率为32 ，过 F1且垂直于 x轴的直线被椭圆 C截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C的方程； (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1，
8、 PF2，设 F1PF2的角平分线 PM 交 C的长轴于点 M(m,0)，求 m的取值范围； (3)在 (2)的条件下，过点 P作斜率为 k的直线 l，使得 l与椭圆 C有且只有一个公共点，设直线 PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，若 k20 ，证明 1kk1 1kk2为定值，并求出这个定值 (答案写在答题纸上 ) 高二期中考试数学试题答案 1.圆 x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 ( ) A (2， 3) B ( 2， 3) C ( 2， 3) D (2， 3) 解：圆的 方程可化为 (x 2)2 (y 3)2 13，所以圆心坐标是 (2， 3)故选 D. 2.准线方程为 y
9、 4的抛物线的标准方程是 ( ) A x2 16y B x2 8y C x2 16y D x2 8y 解：由题意可设抛物线方程为 x2 2py(p0)， 抛物线的准线方程为 y p2 4， p 8.该抛物线的标准方程为 x2 16y.故选 C. 3.解：公理是不需要证明的原始命题，而选项 A是面面平行的性质定理，故选 A. 4.解：若该几何体的俯视图是选项 A,则其体积为 1,不满足题意 ;由正视图、侧视图可知俯视图不可能是 B 项 ;若该几何体的俯视图是选项 C,则其体积为 ,不符合题意 ;若该几何体的俯视图是选项 D,则其体积为 ,满足题意 . 5.解：将侧面展开图还原成正方体如图所示 ,
10、则 B,C两点重合 . 故 l1与 l2相交 ,连接 AD,则 ABD为正三角形 , 所以 l1与 l2的夹角为 .故选 D. 6.解：根据双曲线的性质可知 e ca 52 ， c2 a2 b2，联立可得 b2 a24，即ba12 ，故 C 的渐近线方程为 y 12x.故选 C. 7.解：将方程 mx2 ny2 1变形为 x21m y21n 1，根据椭圆的定义，要使焦点在 y轴上，必须满足 1m 0， 1n 0，且 1n 1m，所以 m n 0.故选 C. 8.解法一：由题意知 F1( c， 0)， F2(c， 0)， P? ?a2c， y ， PF1的中垂线过点 F2， | F1F2|F2P
11、|，即 2c ? ?a2c c2 y2，整理得 y2 3c2 2a2 a4c2. y20 ， 3 c2 2a2 a4c20 ， 即 3e2 1e2 20 ，解得 e 33 . e的取值范围是 ? ?33 ， 1 . 解法二：设直线 x a2c与 x 轴交于 M 点，则 |F1F2| |F2P| MF2|，即 2ca2c c，整理得 13 e20， b 14. 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x2 1， y1 y22 x1 x22 b12 b， 由 ? ? 12， 12 b 在直线 y x 3上， 即 12 b 12 3，解得 b 2， 联立得? y x 2，y x2，
12、解得? x1 2，y1 4， ? x2 1，y2 1. 18.解：当 p为真时，因为 x R时， f(x) |x 2| |x|( x 2) x| 2，所以 m 2. 当 q 为真时，因为 g(x) log(5m 2)x 在 (0， ) 内为单调增函数，所以， 5m 2 1 解得 m 35.从而 (1)当 p真 q假时，有?m 2，m 35 ? m35； (2)当 p假 q真时，有?m2 ，m 35 ? m2. 综合 (1)(2)可得 m的取值范围是 ? ? ， 35 2， ) 19.证明： (1)连接 DB，在 D1DB中， P， O分别是 DD1， DB的中点，则 PO D1B，又 PO?面
13、 D1BQ，D1B?面 D1BQ， PO 面 D1BQ. (2)易证四边形 APQB 是平行四边形， PA BQ.又 PA?面 D1BQ， BQ?面 D1BQ， PA 面D1BQ.又由 (1)知 PO 面 D1BQ， PO PA P， PO， PA?平面 D1BQ， 平面 D1BQ 平面 PAO. 20.(1) 38 (2) 36 21. 解： (1)设 P(x， y)，圆 P的半径为 r. 由题意知?y2 2 r2，x2 3 r2， 有 y2 2 x2 3，即 y2 x2 1为圆心 P的轨迹方程 (2)设 P(x0， y0)，由点到直线的距离公式得 | |x0 y02 22 ，即 | |x0
14、 y0 1. 又点 P在双曲线 y2 x2 1上， y20 x20 1. 联立 ?| |x0 y0 1，y20 x20 1，解得?x0 0，y0 1或 ?x0 0，y0 1， 此时圆 P的半径 r 3. 圆 P的方程为 x2 (y 1)2 3或 x2 (y 1)2 3. 22.解 (1)由于 c2 a2 b2，将 x c代入椭圆方程 x2a2y2b2 1，得 y b2a.2 分 由题意知 2b2a 1，即 a 2b2. 又 e ca 32 ，所以 a 2， b 1. 所以椭圆 C的方程为 x24 y2 1.4分 (2)设 P(x0， y0) (y00) ， 又 F1( 3， 0)， F2( 3
15、， 0)， 所以直线 PF1， PF2的方程分别为 1PFl： y0x (x0 3)y 3y0 0， 2PFl： y0x (x0 3)y 3y0 0. 由题意知 |my0 3y0|y20 x0 3 2 |my0 3y0|y20 x0 3 2.6分 由于点 P在椭圆上，所以 x204 y20 1. 所以 |m 3|?32 x0 22 |m 3|?32 x0 22. 因为 3m 3， 2x02， 可得 m 332 x0 2 3 m2 32 x0， 所以 m 34x0.因此 32m32.9分 (3)设 P(x0， y0) (y00) ， 则直线 l的方程为 y y0 k(x x0) 联立得? x22 y2 1，y y0 k x x0整理得 (1 4k2)x2 8(ky0 k2x0)x 4(y20 2kx0y0 k2x20 1) 0. 由题意 0，即 (4 x20)k2 2x0y0k 1 y20 0.12 分 又 x204 y20 1，
