1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期 高 二 期中 测试 数学 一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 不需写出解答过程请把答案直接填写在 答题卡相应位置上 . 1 若点 )2,1(A 在直线 053 ? yax 上，则实数 a 的值 为 2 命题“ 3?x ， 92?x ”的否定是 3 抛物线 24xy? 的准线方程是 4 命题 “ 若 ? 是 钝 角，则 0sin ? ” 的 逆否命题 为 5若 直线 062 ? yax 与直线 02)1( ? yax 垂直，则 实数 a 的值 为 6 若命题 “ tR? ， 2 0ta? ” 是 真 命题，则实数 a
2、的取值范围是 7 已知 p： 0 m 1， q：椭圆 2 2 1x ym?的焦点在 y轴上，则 p是 q的 条件 （ 用 “ 充分不必要 ” ， “ 必要不充分 ” ， “ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” 填空 ） 8.若 两条直线 012)1(,03 ? ayxaayx 互相平行，则 这 两条直线之间的距离为 9 若椭圆 22116 7xy?和双曲线 22 18yx ?有相同的焦点 1F ， 2F ，点 P 是两条曲线的一个 交点，则 21 PFPF? 的值是 10若 不等式 2 2 3 0x x a? ? ? ?成 立的一个充分条件是 05x?， 则实数 a 的 取值范围是 11在
3、平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到点 A(4， 0) 的距离等于它到 准线的距离，则 PA 12. 在 ABC? 中， 6A ? ， 2BC? ， D 是 BC 的一个三等分点，则 AD 的最大值是 13.如图，在平面直角坐标系 xy? 中， 12,FF分别是椭圆 221xyab?（ 0ab? ）的左、右焦点， ,BC分别为椭圆的上、下顶点，直线 2BF 与椭圆的另一个交点为 D ,若- 2 - 1 1tan 2FBO?,则直线 CD 的斜率为 14如 图，在平面直角坐标系 xOy 中 ， F 是 椭圆 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的 右 焦点，
4、直线 23by? 与 椭圆交于 ,BC两 点，且 90BFC?， 则该 椭圆 的离心率为 二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分。请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 15（本题满分 14 分） 已知 ABC 中， BC 边上的高所在的直线方程为 x 2y 1 0， A 的平分线所在直线的方程为 y 0 （ 1）求点 A 的 坐标； （ 2）若点 B 的坐标为 (1,2)， 求点 C 的 坐标 16 （本题 满分 14 分 ） 已知 2: 2 8 0p x x? ? ?， 22: 6 0 , 0q x m x m m? ? ? ? （ 1） 若 q
5、 是 p 的 必要不充分条件，求 m 的 取值范围 ； （ 2）若 p? 是 q? 的 充分 不 必要条件，求 m 的 取 值 范围 - 3 - 17 （ 本小题满分 15 分 ） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2 ，且双曲线 C 与斜率为 2 的直线 l 相交 ，且 其 中一个 交 点 为 ? ?3,0P? （ 1）求双曲线 C 的方程 及 它的渐近线方程； （ 2）求以直线 l 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程 18 （ 本小题满分 15 分 ） 已知直线 l 与圆 C ： 22 2 4 0x y x y a? ? ? ?
6、?相交于 A ， B 两点，弦 AB 的中点 为 (0,1)M （ 1）若圆 C 的半径为 3 ，求实数 a 的值； （ 2）若 弦 AB 的长为 6 ，求实数 a 的值； （ 3） 当 1a? 时 ，圆 22:2O x y?与 圆 C 交 于 ,MN两 点，求 弦 MN 的 长 - 4 - 19.（本小题满分 16 分 ） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C： 22116xymm? (m 0)的离心率为 45 ， ,AB分 别为椭圆的 左、 右 顶 点， F 是其右焦点， P 是椭圆 C 上异于 A 、 B 的动点 （ 1）求 m 的值 及 椭圆的 准线方程 ； （ 2）设过点 B
7、 且与 x 轴的垂直的 直线交 AP 于点 D ，当直线 AP 绕点 A 转动时，试判断以BD 为直 径的圆与直线 PF 的位置关系，并加以证明 20（本题满分 16 分） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中， 已 知 动 圆 S 过定点 ? ?2 2,0P? ， 且 与 定 圆? ?2 2: 2 2 3 6Q x y? ? ?相 切 ，记 动圆圆心 S 的轨迹为曲线 C （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2） 设 曲线 C 与 x 轴， y 轴的正半轴分别相交于 ,AB两点，点 ,MN为椭圆 C 上相异的两点，其中点 M 在第一象限，且直线 AM 与直线 BN 的斜率互为相反数 ，
8、试判断 直线 MN 的斜率 是否 为定值 如果是 定 值 ， 求 出 这 个 值 ； 如 果不是 定值 ，说明理由 ； （ 3）在（ 2）条件下，求四边形 AMBN 面积的取值范围 - 5 - 2017-2018 学年第一学期 高 二 期中 测试 数学答案 一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 不需写出解答过程请把答案直接填写在 答题卡相应位置上 . 1 1? 2 3?x ， 92?x 3 1y? 4 “ 若 sin? 0 ，则 ? 不是 钝 角 ” 532 6 ),0( ? 7 充要 8223 9 15 10 ? ?18,? 11 5 12.2723 ? 13.2
9、5 14 55 二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分。请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15解： （ 1）由? y 0，x 2y 1 0， ?3 分 得? x 1，y 0， A( 1,0) ?6 分 （ 2） y 0 是 A 的平分线， 点 B 关于 y 0 的对称点 B(1 ， 2)在直线 AC 上， 8 分 直线 AC 的方程为 yx 1 21 1 1，即 y x 1. ?10 分 又 BC 的方程为 y 2 2(x 1)，即 y 2x 4. ?12 分 由? y x 1，y 2x 4， 解得? x 5，y 6. 点 C(5， 6) ?14
10、 分 16 解 ：若命题 p 为真，则 24x? ， ? 2 分 若命题 q 为真，则 3m x m? 2 ? 4 分 (1)若 q 是 p 的必要不充分条件，则 3 2 3 2 ,4 2 4 ,mm? ? ? ? ? ,或, 2解得 m 2 ， 故 m 的取值范围为 2, )? ? 8 分 (2)若 p? 是 q? 的充分不必要条件 ,则 q 是 p 的充分不必要条件? 10 分 则 3 2 3 22 4 , 2 4m 0 0mmm? ? ? ? ?或 解得 20 3m? ， - 6 - 故 m 的取值范围为 2(0, 3 ? 14 分 17 解：（ 1）由题意，设双曲线的方程为 22 1(
11、 0 , 0)xy abab? ? ? ? ? 2 分 点 ? ?3,0P? 在双曲线上， 3a? 双曲线 C 的离心率为 2 ， 32c? 2 2 2c a b?， 3b? 双曲线的方程为： 22199xy?， ? 4 分 其渐近线方程为： yx? ? 7 分 （ 2） 由题意，直线 l 的方程 为 2( 3)yx?，即 26yx?， ? 9 分 直线 l 与坐标轴交 点分别为 12( 3,0), (0,6)FF? ? 11 分 以 1( 2,0)F? 为焦点的抛物线的标准方程为 2 12yx? ； ? 13 分 以 2(0,4)F 为焦点的抛物线的标准方程为 2 24xy? ? 15 分
12、18解：（ 1）圆 C 的标准方程为 ? ? ? ?221 2 5x y a? ? ? ? ? 由 圆 的半径为 3 可知， 59a? ， 所以 4a? ?4 分 （ 2） 弦 ? ? 22 5 2 3 6A B a C M a? ? ? ? ? ?， 解得 6a? ?8 分 （ 3）当 1a? 时 ， 圆 C 为 22 2 4 1 0x y x y? ? ? ? ?， 又 圆 P ： 22:2P x y? 所 以两圆的相交弦所在直线方程为 2 4 3 0xy? ? ? ? 11 分 圆心 O 到 MN 的 距离为223 3 51024? 所以 9 1 5 5222 0 5MN ? ? ? 1
13、5 分 19.解 ：（ 1）因 为 椭圆的离心率为 45 所 以 16 1616 25m ? ， 解得 9m? 所以椭圆的方程为 22125 9xy? ?3 分 准线方程为 254x? ?5 分 （ 2） 由 题可 知 ? ? ? ? ? ?5 , 0 , 5 , 0 , 4 , 0A B F? ， 设 ? ?00,P x y 由 椭圆的对称性， 不 妨设0 0y? 若 0 4x? ，则 94,5P?， PF 方程 为 4x? ， - 7 - AP 方程 为 15xy?， ? ?5,2D 以 BD 为 直径的圆的圆心 ? ?5,1 ，半径 为 1与直线 PF 相 切； ?8 分 若 0 4x?
14、 ，则 AP 方程 为 ? ?00 55yyxx? 令 5x? ， 得 0010 5yy x? ? ， 则 00105, 5yD x? 以 BD 为 直径的圆的圆心 0055, 5yM x?，半径 为 005 5yx? ?11 分 直线 PF 方程 为 ? ?00 44yyxx? ， 即 ? ?0 0 04 4 0y x x y y? ? ? ? 圆心 M 到 直线 PF 的 距离? ? ?00 0 00220055 4 454yy x yxdyx? ? ?13 分 ? ? ?00022002 5 4599 8 1 625xyxx xx? ? ? ? ?000025 454 55xyxx? 0
15、05 5yx? 所 以 圆 M 与直线 PF 相 切 ?15 分 综上所述， 当直线 AP 绕点 A 转动时 ，以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切 ? 16 分 20 解 ：（ 1）设圆 S 的半径为 R ， 点 ? ?2 2,0P ? 在圆 ? ?2 2: 2 2 3 6Q x y? ? ?内， 且 两圆相切 设 PS R? ， 6QS R?， 6 4 2PS QS PQ? ? ? ?， 圆心 S 的轨迹为以 P， Q 为焦点，长轴长为 6 的椭圆 ? ?1 分 26a? ， 2 4 2c? ， 3a? ， 22c? ， 2 1b? ， 曲线 C 的方程为 2 2 19x y? ?3 分
16、 （ 2） 由 （ 1）可知 ? ? ? ?3,0 , 0,1AB 设 AM 的 斜率为 k ,则直线 AM 方程 为 ? ?3y k x?， 直线 BN 方程 为 1y kx? ? - 8 - 由 ? ?22399y k xxy? ? ?，得 M 点 坐标为 22227 3 6,9 1 9 1kk? ?5 分 由22199y kxxy? ? ?， 得 2221 8 1 9,1 9 1 9kkN? ?7 分 所 以 MN 的 斜率22222 2226 1 96 9 1 19 1 9 12 7 3 1 8 2 7 1 8 3 39 1 9 1MNkkkkkkkkkkk? ? ? ? ? ?9 分 （ 3）设 MN 的方程为 1 , 1 13y x m m? ? ? ? ?， 由221399y x mxy? ?，得 222 6 9 9 0x m x m? ? ? ? 则 2993, 2M N M N mx x m x x ? ? ? ? ? ? 22 221 9 91 3 4 1 0 232 mM N m m? ? ? ? ? ? ? 11 分 A 到直线 MN 的距离分别为 ? ?1 231| 1 |10113mmd ? ?
